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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專題01 三角解答題（含解析） 三角函數(shù)與三角恒等變換綜合題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.熟悉誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系式、兩角和與差、倍角公式是化簡(jiǎn)求值的關(guān)鍵 2.熟悉三角函數(shù)的圖像是解決有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題的前提 3.切化弦、變角處理是三角化簡(jiǎn)與求值的常用手段 【講一講提高技能】 1.必備技能：高考對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)的性質(zhì)之中.常需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為的形式，再進(jìn)一步討論其定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等性質(zhì). 2.典型例題： 例1已知函數(shù)滿足

2、，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為. （1）求與的值； （2）若，，求的值. 分析：（1）由可解得，因此根據(jù)輔助角公式可得，再由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為可推出的周期為，故；（2）由（1）及條件，從而可得，再由可得，從而，因此，考慮到，因此用兩角和的余弦公式，即可求得. 【解析】（1）∵，∴，∴， 由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為， ∴，∴，又∵，∴； （2）∵，∴， 又∵，∴，∴，即，∴. 例2已知函數(shù)的最大值為．（12分） （Ⅰ）求常數(shù)的值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅲ）若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 分析：（1）化簡(jiǎn)

3、，由最大值為，由三角函數(shù)的有界性可求；（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由題意的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象可得的解析式，根據(jù)，可求在在區(qū)間上的最大值和最小值． 【解析】 （3）由題意將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，， 當(dāng)時(shí)，，取最大值，當(dāng)時(shí)，，取最小值-3. 【練一練提升能力】 1.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，，且． （1）若，求的值； （2）若也是單位圓上的點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)分別做軸的垂線，垂足為，記的面積為，的面積為．設(shè)，求函數(shù)的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 （2）由，

4、得． 由定義得，，又，于是， ∴ = === ，即． 2. 已知函數(shù)，. （1）求的最小正周期； （2）求在上的最小值和最大值. 【解析】 三角函數(shù)與平面向量綜合題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.向量是具有大小和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問(wèn)題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 2.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以實(shí)現(xiàn)與三角函數(shù)無(wú)縫對(duì)接. 3.兩向量平行與垂直關(guān)系、向量數(shù)量積、向量的模等知識(shí)點(diǎn)是與三角函數(shù)知識(shí)的交匯點(diǎn) 【講一講提高技能】 1必備技能：等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，主要是將向量形式的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三

5、角函數(shù)的等量關(guān)系，再利用三角恒等變換實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題目的，如 2典型例題： 例1已知向量，，函數(shù)，. （1）求函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)； （2）將函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像，試寫(xiě)出的解析式并作出它在上的圖像. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 4分 由于得：，所以. 所以的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)為 6分 （2）=，列表： 描點(diǎn)、連線得函數(shù)在上的圖象如圖所示： 12分 例2已知向量，＝，函數(shù)， （1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)的值域． 【答案】（1） ，單調(diào)遞增區(qū)間是

6、； （2） 函數(shù)的值域是． 【解析】 【練一練提升能力】 1.已知． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【解析】（1∵，∴ （2）∵∴，， ，==7 2. 如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓與軸正半軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，且 （1）求的值； （2）設(shè)，四邊形的面積為， ，求的最值及此時(shí)的值． 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，． 【解析】 三角函數(shù)與三角形綜合題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.正余弦定理，三角形面積公式 2.根據(jù)已知條件，正確合理選用正余弦定理.一般已知兩角用正弦定理，已知一角求邊用余弦定理 3.關(guān)注三

7、角形中隱含條件，如 【講一講提高技能】 1必備技能：等價(jià)變形是應(yīng)用三角函數(shù)解三角形時(shí)的注意點(diǎn).大邊對(duì)大角，在三角形中等價(jià)為大角對(duì)大正弦值.在解三角形時(shí)，由正弦值求角時(shí)一定要注意角的取值范圍，否則易出現(xiàn)增根或失根.在三角形中求三角函數(shù)最值或取值范圍更要挖掘三角形中隱含條件，密切注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響. 2典型例題： 例1 在中，角所對(duì)的邊分別是，已知. (1)若的面積等于，求； (2)若，，求的面積. 分析：（Ⅰ）由，運(yùn)用余弦定理可得，由的面積等于，運(yùn)用三角形面積公式可得，，聯(lián)立即可解得；（Ⅱ）利用三角形內(nèi)角和定理先將化為，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式將上式化為，

8、因?yàn)?，若，求出A，B關(guān)系，利用正弦定理求出關(guān)系，結(jié)合（Ⅰ）中結(jié)果求出，從而求出三角形面積. 【解析】 例2在中，角所對(duì)的邊分別為，已知． （1）求； （2）若，的面積，求． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 試題分析：（1）由已知；利用兩角和與差的三角函數(shù)，展開(kāi)整理可得 ，則 可求；（2）由（1）．再由，可得，則根據(jù)余弦定理可求的值 【練一練提升能力】 1. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知， （1）求角的大??； （2）若，求的面積. 【解析】（1）由題意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，從而，故，所以的面積為． 2.在中，角的對(duì)邊分別為，

9、且． （1）求角的大??； （2）求函數(shù)的值域． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 三角形與向量 綜合題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.三角形中的邊長(zhǎng)與內(nèi)角和向量的模及夾角的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2.向量加法、減法、投影、數(shù)量積、共線等幾何意義在三角形中體現(xiàn) 3.正余弦定理、面積公式中邊長(zhǎng)及角與涉及向量模及夾角關(guān)系 【講一講提高技能】 1必備技能：若分所成比為，則;若，則三點(diǎn)關(guān)線.夾角為鈍角的充要條件是且不反向；同樣夾角為銳角的充要條件是且不同向. 2典型例題： 例1已知中，角的對(duì)邊分別為，且有. ⑴求角的大小； ⑵設(shè)向量,且，求的值. 分析：⑴由正弦定理

10、已知條件可化為即，從而得 ，故； ⑵由得從而，代入得. 【解析】 例2 設(shè)△的面積為，且. （1）求角的大?。? （2）若，且角不是最小角，求的取值范圍． 分析：（1）根據(jù)三角形面積公式及向量數(shù)量積得：，即，所以，又，所以.（2）因?yàn)榻遣皇亲钚〗?，所以將面積化為B角函數(shù)，利用正弦定理現(xiàn)將邊化為角：由正弦定理，得，所以，因此 ，，所以. 【解析】 【練一練提升能力】 1.設(shè)銳角△的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ． （1）設(shè)向量，，若與共線，求角的大小． （2）若，，且△的面積小于，求角的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：第（1）小題設(shè)計(jì)為綜合平

11、面向量的共線定理，求角A的大?。门c共線，可得，然后化簡(jiǎn)得，再根據(jù)A的范圍，可求得A的大??；第（2）小題設(shè)計(jì)為在面積小于的條件下，求角B的取值范圍．利用面積公式可得，所以解不等式得B的取值范圍． 試題解析：（1）因?yàn)榕c共線，則， 即， 所以，即． 又為銳角，則，所以． 2. 已知函數(shù)，其中， ．若函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸的距離等于． （1）求的值；并求函數(shù)在區(qū)間的值域； （2）在△中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，求邊、的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）先把化為的形式，由函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸的距離等于得，進(jìn)一步求函數(shù)在區(qū)間的值域；（2）求出，再根據(jù)余弦定

12、理求出邊、的長(zhǎng). 試題解析：（1）． ，． 即的值域是． （2）． ，． ． 解答題（共10題） 1. 已知向量且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角． （1）求角C的大?。? （2）若成等差數(shù)列，且，求c邊的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 （2）由成等差數(shù)列，得， 由正弦定理得， 即由余弦弦定理， ， 2. 已知向量，設(shè)函數(shù). （1）求的單調(diào)增區(qū)間； （2）若 ,求的值． 【解析】 3. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角的終邊上，點(diǎn)在角的終邊上，且． （1）求的值；（2）求的值． 【解析】（1）因?yàn)?，所以?/p>

13、即：，所以，所以． （2）因?yàn)?，所以，所以，? 又點(diǎn)在角的終邊上，所以 ，同理 所以： 4. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表: （Ⅰ）請(qǐng)求出上表中的，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式； （Ⅱ）將的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，若函數(shù)在（其中）上的值域?yàn)椋掖藭r(shí)其圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為，求與夾角的大小. 【解析】 5.已知的面積為，且． （1）求的值； （2）若，，求的面積． 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及面積公式化簡(jiǎn)已知等式，求出的值即可；（2）由與的值，利用兩角和與

14、差的正切函數(shù)公式求出的值，進(jìn)而求出的值，利用正弦定理求出的值，再利用三角形面積公式即可求出． 試題解析：解：（1）設(shè)的角所對(duì)應(yīng)的邊分別為， ∵，∴，∴，∴． ∴． （2），即， ∵，，∴，． ∴． 由正弦定理知：， ． 6. 已知向量，，． (1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸方程； (2)當(dāng)時(shí)，若，求的值． 【解析】 7. 如圖，在△中，為鈍角，．為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． （Ⅰ）求的大??； （Ⅱ）求的長(zhǎng)及△的面積． 【解析】 8. 已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)． （1）求的值； （2）在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，若，且．求． 【答案】

15、（1）（2） 【解析】 9. 已知函數(shù)． （1）試將函數(shù)化為的形式，并求該函數(shù)的對(duì)稱中心； （2）若銳角中角所對(duì)的邊分別為，且，求的取值范圍． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 試題分析：（1）利用三角函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)得，再由三角函數(shù)的和差公式的逆運(yùn)用得，令，即可求得函數(shù)對(duì)稱中心． 10. 已知向量，，函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若對(duì)任意滿足條件的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合二倍角與兩角和與差的正弦公式求得，再利用函數(shù)單調(diào)性求得單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）先用正弦定理把進(jìn)行轉(zhuǎn)換，求得角，再利用函數(shù)單調(diào)性求解．