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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5空間向量及其運(yùn)算試題 理 蘇教版

上傳人:xt****7 文檔編號(hào):105255900 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁(yè)數(shù):6 大?。?07.02KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5空間向量及其運(yùn)算試題 理 蘇教版 一、填空題 1.給出下列四個(gè)命題: ①若p=xa+yb,則p與a,b共面; ②若p與a,b共面,則p=xa+yb. ③若=x+y,則P,M,A、B共面; ④若P,M,A,B共面,則=x+y. 其中真命題的序號(hào)是________. 解析 其中①③為正確命題. 答案?、佗? 2. 如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若=a,=b,=c,則用a,b,c表示為_(kāi)_______. 解析?。剑剑?-)=c+(b-a)=-a+b+c. 答案 -a+b+c 3.已知

2、a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值是________. 解析 由題意知:解得或 答案 2,或-3, 4.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),則|b-a|的最小值為_(kāi)_______. 解析 b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|== , ∴當(dāng)t=時(shí),|b-a|取得最小值為. 答案  5. 如圖,已知空間四邊形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為_(kāi)_______. 解析 設(shè)=a,=b,=c 由已知條件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|, ·=a·(c-b)=a·c-a·b

3、 =|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0. 答案 0 6.已知a+3b與7a-5b垂直,且a-4b與7a-2b垂直,則 〈a,b〉=________. 解析 由條件知(a+3b)·(7a-5b) =7|a|2+16a·b-15|b|2=0, 及(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0. 兩式相減,得46a·b=23|b|2,∴a·b=|b|2. 代入上面兩個(gè)式子中任意一個(gè),即可得到|a|=|b|. ∴cos〈a,b〉===. ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=60°. 答案 60° 7.正方體ABCD-A1B1C

4、1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在A(yíng)C1上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為_(kāi)_______.  解析 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 設(shè)M(x,y,z), ∵點(diǎn)M在A(yíng)C1上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z), ∴x=a,y=,z=.得M, ∴||= =a. 答案 a 8.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是________. ①=2--;②=++; ③++=0;④+++=0; 解析 ∵++=0,∴=--,則、、為共面向量,即M、A、B、C四點(diǎn)共面. 答案 ③ 9.已知a=(2,-1,2),

5、b=(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為_(kāi)_______. 解析 |a|==3,|b|==3, a·b=2×2+(-1)×2+2×1=4,∴cos〈a,b〉==,sin〈a,b〉=,S平行四邊形=|a||b|sin〈a,b〉=. 答案  10.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,給出下列四個(gè)命題: ①(++)2=3A1B12;②·(-)=0;③向量與向量的夾角是60°;④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|A··A|.其中正確命題的序號(hào)是________. 解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,①中(++)2=32=3,故①正確;②中-=,由于A(yíng)B1⊥A1C,故②正確

6、;③中A1B與AD1兩異面直線(xiàn)所成角為60°,但與的夾角為120°,故③不正確;④中|··|=0.故④也不正確. 答案?、佗? 二、解答題 11.若a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k. 解 ka+b=(k-2,5k+3,-k+5), a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5) =(7,-4,-16). (1)∵(ka+b)∥(a-3b), ∴==,解得k=-. (2)∵(ka+b)⊥(a-3b), ∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0.

7、 解得k=. 12. 如圖,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn). (1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求MN的長(zhǎng). 解 (1)設(shè)A=p,A=q,A=r. 由題意可知:|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°. M=A-A=(A+A)-A =(q+r-p), ∴M·A=(q+r-p)·p =(q·p+r·p-p2) =(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0. ∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD. (2)由(1)可知,MN=(q+r-p). ∴|M2|=2=(q+r-p)2

8、 =[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] ==×2a2=. ∴|M|=a,∴MN的長(zhǎng)為a. 13.已知非零向量e1,e2不共線(xiàn),如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求證:A、B、C、D共面. 證明 令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 則(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. ∵e1,e2不共線(xiàn),∴. 易知是其中一組解,則-5++=0. ∴A、B、C、D共面. 14. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn),計(jì)算: (1)·; (2)

9、·; (3)EG的長(zhǎng); (4)異面直線(xiàn)AG與CE所成角的余弦值. 解 設(shè)=a,=b,=c. 則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ==c-a,=-a,=b-c, (1)·=·(-a) =a2-a·c=, (2)·=(c-a)·(b-c) =(b·c-a·b-c2+a·c)=-; (3)=++=a+b-a+c-b =-a+b+c, ||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a =,則||=. (4)=b+c,=+=-b+a, cos〈,〉==-, 由于異面直線(xiàn)所成角的范圍是, 所以異面直線(xiàn)AG與CE所成角的余弦值為.

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