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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版

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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版_第1頁
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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版 1.在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsin θ=3,求點到直線l的距離. 解 ∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y=3,點化為直角坐標(biāo)為(,1)∴點到直線l的距離為2. 2.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cos θ與直線3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求實數(shù)a的值. 解 化為平面直角坐標(biāo)系: 圓:x2-2x+y2=0,即:(x-1)2+y2=1. 直線:3x+4y+a=0. ∵直線和圓相切,∴=1, ∴a=2或a=-8. 3.在極坐標(biāo)系中,已知點O(0,0),P,求以O(shè)P為直徑的圓的極坐標(biāo)方程. 解

2、 設(shè)點Q(ρ,θ)為以O(shè)P為直徑的圓上任意一點(不包括端點),在Rt△OQP中,ρ=3cos, 故所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=3cos. 4.從極點O作直線與另一直線ρcos θ=4相交于點M,在OM上取一點P,使|OM|·|OP|=12,求點P的軌跡方程. 解 設(shè)動點P的坐標(biāo)為(ρ,θ),則M(ρ0,θ). ∵|OM|·|OP|=12.∵ρ0ρ=12.ρ0=. 又M在直線ρcos θ=4上,∴cos θ=4, ∴ρ=3cos θ.這就是點P的軌跡方程. 5.在極坐標(biāo)系中,P是曲線ρ=12sin θ上的動點,Q是曲線ρ=12cos (θ-)上的動點,試求PQ的最大值. 解 ∵ρ=

3、12sin θ. ∴ρ2=12ρsin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-12y=0, 即x2+(y-6)2=36. 又∵ρ=12cos (θ-), ∴ρ2=12ρ(cos θcos +sin θsin ), ∴有x2+y2-6x-6y=0, 即(x-3)2+(y-3)2=36, ∴PQmax=6+6+=18. 6.設(shè)過原點O的直線與圓(x-1)2+y2=1的一個交點為P,點M為線段OP的中點,當(dāng)點P在圓上移動一周時,求點M軌跡的極坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線. 解 圓(x-1)2+y2=1的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cos θ, 設(shè)點P的極坐標(biāo)為(ρ1,θ1),點M的極坐標(biāo)為(

4、ρ,θ), ∵點M為線段OP的中點,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,將ρ1=2ρ,θ1=θ代入圓的極坐標(biāo)方程,得ρ=cos θ. ∴點M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=cos θ,它表示原心在點,半徑為的圓. 7.⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點的直線的直角坐標(biāo)方程. 解 (1)ρ=4cos θ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=4ρcos θ; ρ=-4sin θ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=-4ρsin θ. 由ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),ρ2=x2+y2, 得⊙O1,⊙O2的

5、直角坐標(biāo)方程分別為 x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0. (2)由 ①-②得-4x-4y=0,即x+y=0為所求直線方程. 8.求圓心為C,半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程. 解 如圖,設(shè)圓上任一點為P(ρ,θ), 則OP=ρ,∠POA=θ-, OA=2×3=6, 在Rt△OAP中,OP=OA×cos∠POA, ∴ρ=6cos.∴圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos. 9.已知A是曲線ρ=12sin θ上的動點,B是曲線ρ=12cos上的動點,試求線段AB長的最大值. 解 曲線ρ=12sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-6)2=36, 其圓心為(0,6),半徑為6; 曲線ρ

6、=12cos的直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+(y-3)2=36,其圓心為(3,3),半徑為6. 所以AB長的最大值= +6+6=18. 10. 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程. 解 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因為ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2, 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減, 得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin

7、=. 11.已知圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=,以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求焦點到準線的距離. 解 由ρ=,得ρcos2θ=4sin θ,ρ2cos2θ=4ρsin θ.又ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),故所求曲線的直角坐標(biāo)方程是x2=4y,故焦點到準線的距離為2. 12. 已知直線l的參數(shù)方程:(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:ρ=2·sin. (1)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系. 解 (1)消去參數(shù),得直線l的普通方程為y=2x+1. ρ=2sin,即ρ

8、=2(sin θ+cos θ),兩邊同乘以ρ, 得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ). 得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(x-1)2=2. (2)圓心C到直線l的距離d==<, 所以直線l和⊙C相交. 13.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為,判斷點P與直線l的位置關(guān)系; (2)設(shè)點Q是曲線C 上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值. 解 (1)把極坐標(biāo)系下的點P化為直角坐標(biāo),得P(0,4).因為點P的

9、直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x-y+4=0,所以點P在直線l上. (2)因為點Q在曲線C上,故可設(shè)點Q坐標(biāo)為(cos α,sin α),從而點Q到直線l的距離為d===cos+2, 由此得,當(dāng)cos=-1時,d取得最小值,且最小值為. 14.已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合.若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=3. (1)把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)已知P為橢圓C:+=1上一點,求P到直線l的距離的最大值. 解 (1)直線l的極坐標(biāo)方程ρsin=3,則ρsin θ-ρcos θ=3,即ρsin θ-ρcos θ=6,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+6=0. (2)P為橢圓C:+=1上一點,設(shè)P(4cos α,3sin α),其中α∈[0,2π),則P到直線l的距離 d==,其中cos φ=,所以當(dāng)cos(α+φ)=1時,d的最大值為.

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