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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練15 文
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=( )
A.2 B.8
C.4 D.10
答案:C
解析:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
∴ 圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,
∴ M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴ |MN|=4.故選C.
2.(xx·重
2、慶卷)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=( )
A.2 B.4 C.6 D.2
答案:C
解析:由于直線x+ay-1=0是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸,∴ 圓心C(2,1)在直線x+ay-1=0上,∴ 2+a-1=0,∴ a=-1,∴ A(-4,-1).
∴ |AC|2=36+4=40.又r=2,∴ |AB|2=40-4=36.∴ |AB|=6.
3.(xx·廣東卷)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是( )
A
3、.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
答案:A
解析:∵ 所求直線與直線2x+y+1=0平行,∴ 設(shè)所求的直線方程為2x+y+m=0.∵ 所求直線與圓x2+y2=5相切,∴ =,∴ m=±5.即所求的直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.
4.已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=( )
A.- B.1
C.2 D.
答案:C
解析:因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)為圓(x-1)2+y2=5上的點(diǎn),
4、由圓的切線性質(zhì)可知,圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過點(diǎn)P(2,2)的切線垂直.因?yàn)閳A心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k=2,故過點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為-,所以直線ax-y+1=0的斜率為2,因此a=2.
5.已知函數(shù)f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,則當(dāng)y≥1時(shí),的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:因?yàn)閒(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),
且f′(x)=1+cos x≥0,
所以函數(shù)為奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),
所以,由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤
5、0得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),y2-2y+3≤-x2+4x-1.即x2+y2-4x-2y+4≤0,(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圓(x-2)2+(y-1)2=1及其內(nèi)部.
表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-1,0)連線的斜率.
結(jié)合圖形分析可知,直線AC的斜率為=最小,切線AB的斜率為tan∠BAx=tan 2∠PAx===最大.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.(xx·湖北卷)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=________.
答案:2
解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長(zhǎng)為,則圓
6、心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2.
7.(xx·湖北卷)如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________________;
(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:
①=;②-=2;
③+=2.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③
解析:(1)取AB的中點(diǎn)D,連接CD,則CD⊥AB.
由題意|AD|=|
7、CD|=1,
故|AC|==,即圓C的半徑為.
又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),所以圓心C的坐標(biāo)為(1,),故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-)2=2.
(2)在(x-1)2+(y-)2=2中,令x=0,得y=±1,
故A(0,-1),B(0,+1).
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),令M(0,-1),N(0,1),
則==-1,==-1.
∴ =.
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+-1,
由得
(1+k2)x2+2(-1)kx+2(1-)=0,
則x1+x2=,x1x2=,
kBM+kNB=+
=+
=
8、+
=-+2k
=-+2k=0,
所以kBM=-kNB,
所以∠MBA=∠NBA,BA是∠MBN的角平分線.
由內(nèi)角平分線定理得=,即=.
故=恒成立.
當(dāng)k=0時(shí),可求得=-1,
故=-1為定值.
所以-=-(-1)=2,
+=+-1=2,
故①②③都正確.
8.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)(其中a,b是實(shí)數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為________.
答案:
解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形,所以C為弦AB的中點(diǎn),又|O
9、A|=|OB|=1,根據(jù)勾股定理得|AB|=,
所以|OC|=|AB|=.
所以圓心到直線的距離為=,
即2a2+b2=2,即a2=-b2+1≥0.
所以-2≤b≤,則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d==
=.
設(shè)f(b)=b2-2b+2=(b-2)2,此函數(shù)為對(duì)稱軸為b=2的開口向上的拋物線,所以當(dāng)-≤b≤<2時(shí),函數(shù)為減函數(shù).
因?yàn)閒()=3-2,
所以d的最小值為==-1.
三、解答題(9題12分,10題、11題每題14分,共40分)
9.(xx·河南豫西五校聯(lián)考)已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).
(1)求|
10、MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.
解:(1)由題意知,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2,
又|QC|==4>2,
|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.
(2)因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率,
所以設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由題意知直線MQ與圓C有交點(diǎn),
所以≤2,
解得2-≤k≤2+,
所以的最大值為2+,最小值為2-.
10.(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交
11、于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.
解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.
設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).由題設(shè)知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.
由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而
12、ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-,
故l的方程為y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為.
11.(xx·廣東卷)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);
(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
解:(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-3)2+y2=4,
∴ 圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0).
(2)設(shè)M(x,y),∵
13、A,B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),
∴ 由圓的性質(zhì)知:MC1⊥MO,∴ ·=0.
又∵ =(3-x,-y),=(-x,-y),
∴ 由向量的數(shù)量積公式得x2-3x+y2=0.
易知直線l的斜率存在,∴ 設(shè)直線l的方程為y=mx,
當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí),d==2,
解得m=±.
把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程化簡(jiǎn)得9x2-30x+25=0,解得x=.
當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時(shí),M的坐標(biāo)為(3,0).
又∵ 直線l與圓C1交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),∴
14、
(3)由題意知直線L表示過定點(diǎn)(4,0),斜率為k的直線,
把直線L的方程代入軌跡C的方程x2-3x+y2=0,其中0時(shí),
①若x=3是方程的解,則f(3)=0?k=0?另一根為x=0<,故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根,滿足題意.
②若x=是方程的解,則f=0?k=±?另外一根為x=,<≤3,故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根,滿足題意.
③若x=3和x=均不是方程的解,則方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根,只需f·f(3)<0?-