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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題質(zhì)量評估二 理
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=sin的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
解析:因為y=sin=sin2,
y=sin=sin2,
所以將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y=sin的圖象.故選B.
答案:B
2.已知函數(shù)f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期為,則f
2、(x)的圖象的一條對稱軸方程是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析:依題意得,,|ω|=3,
又ω>0,因此ω=3,注意到當(dāng)x=時,y=sin=1,因此函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x=,選A.
答案:A
3.(xx遼寧五校協(xié)作體高三聯(lián)考,6)已知直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量a=(1,3),b=(m,2m-3)使平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb,則m的取值范圍是( )
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,-3)∪(-3,+∞)
C.(-∞,3)∪(3,+∞)
D.[-3,3)
解析:由題意可知向量a與b為基底,所以不
3、共線,,得m≠-3,選B.
答案:B
4.設(shè)ω>0,函數(shù)y=sin+2的圖象向右平移個單位長度后與原圖象重合,則ω的最小值是( )
A. B. C. D.3
解析:本題的實質(zhì)是為已知函數(shù)y=sin+2(ω>0)的最小正周期的整數(shù)倍.求ω的最小值對應(yīng)函數(shù)周期的最大值,即對應(yīng).由T=,所以ω=.
答案:C
5.已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x,x∈R.若f(x)≥1,則x的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵f(x)=sin x-cos x=2sin,
∴f(x)≥1,即sin.
∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z).
∴2kπ+≤x≤2kπ+
4、π(k∈Z).故選A.
答案:A
6.(xx云南昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考,6)若sin,則cos=( )
A.- B.-
C. D.
解析:∵cos=sin,
即cos,
∴cos=2cos2-1=2×-1=-,故選A.
答案:A
7.設(shè)A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的兩個實根,那么△ABC是( )
A.鈍角三角形
B.銳角三角形
C.等腰直角三角形
D.以上均有可能
解析:依題意得,tan A+tan B=>0,tan Atan B=>0,因此tan A>0,tan B>0,tan C=-tan(A+B
5、)=-=-<0,內(nèi)角C是鈍角,故△ABC是鈍角三角形,選A.
答案:A
8.(xx東北三校第二次聯(lián)考,7)已知△ABC中,||=10,=-16,D為邊BC的中點,則||等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:由題知),=-16,
∴||·||cos∠BAC=-16.在△ABC中,||2=||2+||2-2||||cos∠BAC,∴102=||2+||2+32,即||2+||2=68,∴||2=+2)=(68-32)=9,∴||=3,故選D.
答案:D
9.已知函數(shù)y=f(x)sin x的一部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的表達式可以是( )
A.f(x)=2sin
6、 x
B.f(x)=2cos x
C.f(x)=-2sin x
D.f(x)=-2cos x
解析:y=f(x)sin x的圖象與y=sin2x的圖象關(guān)于x軸對稱,
所以其解析式為y=-sin2x=-2sin xcos x,
結(jié)合已知,得y=f(x)sin x.
f(x)=-2cos x.
答案:D
10.(xx黑龍江大慶第二次質(zhì)檢,11)如圖為函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象,B,C分別為圖象的最高點和最低點,若=||2,則ω=( )
A. B. C. D.
解析:由題意可知||=2||,由=||2知-||·||cos∠ABC=||2,解得
7、∠ABC=120°,過B作BD垂直于x軸于D,則||=3,T=12,ω=.故選C.
答案:C
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
11.在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.設(shè)點P,Q滿足=λ=(1-λ),λ∈R.若=-2,則λ= .?
解析:設(shè)=a,=b,
則|a|=1,|b|=2,且a·b=0.
=()·()
=[(1-λ)b-a]·(λa-b)
=-λa2-(1-λ)b2
=-λ-4(1-λ)
=3λ-4=-2,
所以λ=.
答案:
12.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的
8、夾角,則m= .?
解析:∵a=(1,2),b=(4,2),
∴c=ma+b=(m+4,2m+2).
又∵c與a的夾角等于c與b的夾角,
∴cos=cos,
∴,
即,
∴,
∴,
∴10m+16=8m+20,
∴m=2.
答案:2
13.方程2cos在區(qū)間(0,π)內(nèi)的解為 .?
解析:依題意得,cos,當(dāng)x∈(0,π)時,x-,于是有x-,即x=.故方程2cos在區(qū)間(0,π)內(nèi)的解是.
答案:
14.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a方向上的投影為 .?
解析:由題意知a+b在a方向上
9、的投影為=2.
答案:2
15.(xx云南昆明第一次摸底調(diào)研,13)在△ABC中,B=90°,AB=BC=1,點M滿足=2,則= .?
解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因為=2,故點A是BM的中點.依題意C(1,0),A(0,1),M(0,2),則=(-1,1),=(-1,2),所以=(-1)×(-1)+1×2=3.
答案:3
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)(xx河南開封第一次摸底測試,17)已知函數(shù)f(x)=4cos xsin-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)
10、間上的最值.
解:(1)f(x)=4cos xsin-1
=4cos x-1
=sin2x+2cos2x-1
=sin2x+cos2x=2sin,
∴f(x)的最小正周期T==π.
(2)∵-≤x≤,
∴-≤2x+π.
當(dāng)2x+,即x=時,f(x)max=f=2;
當(dāng)2x+=-,即x=-時,f(x)min=f=-1.
17.(本小題滿分12分)(xx湖南高考,理18)
如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長.
解:(1)如題圖,在△ADC中,由余弦定理,得
11、cos∠CAD=.
故由題設(shè)知,cos∠CAD=.
(2)如題圖,設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD.
因為cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD=,sin∠BAD=.
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=
=.
在△ABC中,由正弦定理,.
故BC==3.
18.(本小題滿分12分)已知向量a=(2sin x,cos x),b=(-sin x,2sin x),函數(shù)f(x)=a·b.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且
12、f(C)=1,c=1,ab=2,且a>b,求a,b的值.
解:(1)f(x)=-2sin2x+2sin xcos x
=-1+cos2x+2sin xcos x
=sin2x+cos2x-1=2sin-1.
函數(shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為
(k∈Z).
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是
(k∈Z).
(2)f(C)=2sin-1=1,
∴sin=1.
∵C是三角形內(nèi)角,
∴2C+,
即C=.
∴cos C=,即a2+b2=7.
將ab=2代入上式可得a2+=7,解之,得a2=3或a2=4,
13、
∴a=或a=2,
∴b=2或b=.
∵a>b,
∴a=2,b=.
19.(本小題滿分12分)(xx吉林長春調(diào)研,18)已知向量m=(cos x,-1),n=,函數(shù)f(x)=(m+n)·m.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,A為銳角,a=1,c=,且f(A)恰是函數(shù)f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面積.
解:(1)f(x)=(m+n)·m=cos2x+sin xcos x+sin2x+cos2x+sin2x+2=sin+2.
因為ω=2,
所以最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+2,
14、當(dāng)x∈時,≤2x+.
由正弦函數(shù)圖象可知,當(dāng)2x+時,f(x)取得最大值3.
又A為銳角,
所以2A+,A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得1=b2+3-2××b×cos,所以b=1或b=2,經(jīng)檢驗均符合題意.
從而當(dāng)b=1時,△ABC的面積S=×1×sin;
當(dāng)b=2時,△ABC的面積S=×2×sin.
20.
(本小題滿分13分)如圖,有一塊邊長為1(單位:百米)的正方形區(qū)域ABCD,在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠PAQ始終為45°(其中點P,Q分別在邊BC,CD上),設(shè)∠PAB=θ,tanθ=t.
(1)用t表示出PQ的長度,并探求△CP
15、Q的周長l是否為定值;
(2)問探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為多少?
解:(1)由tanθ==t,得BP=t(0≤t≤1),可得CP=1-t.
∵∠DAQ=45°-θ,
∴DQ=tan(45°-θ)=,CQ=1-.
∴PQ=,
∴△CPQ的周長l=CP+PQ+CQ=1-t+=2為定值.
(2)∵S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1-=2-≤2-,
當(dāng)且僅當(dāng)t+1=,即t=-1時等號成立.
∴探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為(2-)平方百米.
21.(本小題滿分14分)在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且
16、tan A-tan B=(1+tan Atan B).
(1)若c2=a2+b2-ab,求角A,B,C的大小;
(2)已知向量m=(sin A,cos A),n=(cos B,sin B),求|3m-2n|的取值范圍.
解:∵tan A-tan B=(1+tan Atan B),
∴=tan(A-B)=.
∵△ABC為銳角三角形,
∴A-B=,即A=B+.①
(1)∵c2=a2+b2-ab,
根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得2cos C=1,
∴cos C=.
∴C=.
而A+B+C=π,
∴A+B=.②
聯(lián)立①②解得A=,B=.
(2)∵m=(sin A,cos A),∴|m|=1.
∵n=(cos B,sin B),
∴|n|=1.
|3m-2n|2=9m2+4n2-12m·n
=9+4-12(sin Acos B+cos Asin B)
=13-12sin(A+B)=13-12sin.
∵△ABC為銳角三角形,
∴
解得