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2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.3空間點、直線、平面之間的位置關系教案 理 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號:105280293 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):13 大?。?22.02KB
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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.3空間點、直線、平面之間的位置關系教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查點、線、面的位置關系,考查邏輯推理能力與空間想象能力;2.考查公理、定理的應用,證明點共線、線共點、線共面的問題;3.運用公理、定理和結論證明或判斷一些空間圖形的位置關系. 復習備考要這樣做 1.理解、熟記平面的性質公理,靈活運用并判斷直線與平面的位置關系;2.異面直線位置關系的判定是本節(jié)難點,可以結合實物、圖形思考. 1. 平面的基本性質 公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內. 公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

2、 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 2. 直線與直線的位置關系 (1)位置關系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義:設a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b,把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角(或夾角). ②范圍:. 3. 直線與平面的位置關系有平行、相交、在平面內三種情況. 4. 平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況. 5. 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 6. 定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補. [難點正本 疑點清源

3、] 1. 公理的作用 公理1的作用是判斷直線是否在某個平面內;公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法;公理3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據(jù);公理4是對初中平行線的傳遞性在空間中的推廣. 2. 正確理解異面直線的定義:異面直線不同在任何一個平面內,沒有公共點.不能錯誤地理解為不在某一個平面內的兩條直線就是異面直線. 1. 在下列命題中,所有正確命題的序號是________. ①平面α與平面β相交,它們只有有限個公共點; ②經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面; ③經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面; ④如果兩個平面有

4、三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合; ⑤四邊形確定一個平面. 答案?、冖邰? 2. 正方體各面所在平面將空間分成________部分. 答案 27 解析 如圖,上下底面所在平面把空間分成三部分;左右兩個側面所在平面將上面的每一部分再分成三個部分;前后兩個側面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分,共9×3=27部分. 3. 空間四邊形ABCD中,各邊長均為1,若BD=1,則AC的取值范圍是 ________. 答案 (0,) 解析 如圖所示,△ABD與△BCD均為邊長為1的正三角形,當△ABD與△CBD重合時,AC=0,將△ABD以BD為軸轉動,到A,B,C,D四

5、點再共面時,AC=,故AC的取值范圍是0

6、.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A 答案 C 題型一 平面基本性質的應用 例1 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,求證:點C1,O,M共線. 思維啟迪:證明三點共線常用方法是取其中兩點確定一直線,再證明其余點也在該直線上. 證明 如圖所示,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C確定平面A1C. ∵A1C?平面A1C,O∈A1C, ∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩線A1C, ∴O∈平面BDC1, ∴O在平面BDC1與平面A1C的交線上. ∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C, ∴平面BD

7、C1∩平面A1C=C1M, ∴O∈C1M,即C1,O,M三點共線. 探究提高 (1)證明若干點共線也可以公理3為依據(jù),找出兩個平面的交線,然后證明各個點都是這兩平面的公共點. (2)利用類似方法也可證明線共點問題. 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點.求證: (1)E、C、D1、F四點共面; (2)CE、D1F、DA三線共點. 證明 (1)連接EF,CD1,A1B. ∵E、F分別是AB、AA1的中點, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四點共面. (2)∵EF∥CD1,EF

8、∴CE與D1F必相交,設交點為P, 則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點. 題型二 異面直線的判定 例2 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別是A1B1、B1C1 的中點.問: (1)AM和CN是否是異面直線?說明理由; (2)D1B和CC1是否是異面直線?說明理由. 思維啟迪:第(1)問,連接MN,AC,證MN∥AC,即AM與CN共面;第(2)問可采用反證法. 解 (1)不是異面直線.理由如下: 連接MN、A1C1、

9、AC. ∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C, ∴A1ACC1為平行四邊形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面內,故AM和CN不是異面直線. (2)是異面直線.證明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1是正方體, ∴B、C、C1、D1不共面. 假設D1B與CC1不是異面直線, 則存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, ∴D1、B、C、C1∈α,與ABCD—A1B1C1D1是正方體矛盾. ∴假設不成立,即D1B與CC1是異面直線. 探究提高 (1)證明直線異面通常用反證法;(2)證明直線相交

10、,通常用平面的基本性質,平面圖形的性質等. 已知空間四邊形ABCD中,E、H分別是邊AB、AD的中點,F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點.求證: (1)BC與AD是異面直線; (2)EG與FH相交. 證明 (1)假設BC與AD共面,不妨設它們所共平面為α,則B、C、A、D∈α. ∴四邊形ABCD為平面圖形,這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾. ∴BC與AD是異面直線. (2)如圖,連接AC,BD, 則EF∥AC,HG∥AC, 因此EF∥HG;同理EH∥FG, 則EFGH為平行四邊形. 又EG、FH是?EFGH的對角線, ∴EG與FH相交. 題型三 異面直線所成的角

11、 例3 正方體ABCD—A1B1C1D1中, (1)求AC與A1D所成角的大??; (2)若E、F分別為AB、AD的中點,求A1C1與EF所成角的大小. 思維啟迪:(1)平移A1D到B1C,找出AC與A1D所成的角,再計算.(2)可證A1C1與EF垂直. 解 (1)如圖所示,連接B1C,由ABCD—A1B1C1D1是正方體, 易知A1D∥B1C,從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成 的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)如圖所示,連接AC、BD,在正方體ABCD—A1B1C1D1中, AC⊥BD,AC∥A

12、1C1, ∵E、F分別為AB、AD的中點, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. 探究提高 求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于 (  )                    A.30° B.45° C.60°

13、 D.90° 答案 C 解析 如圖,可補成一個正方體, ∴AC1∥BD1. ∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1. 又易知△A1BD1為正三角形, ∴∠A1BD1=60°. 即BA1與AC1成60°的角. 點、直線、平面位置關系考慮不全面致誤 典例:(5分)l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是 (  ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面 易錯分析 由于空間點、直線、平面的位置關系是在

14、空間考慮,這與在平面上考慮點、線的位置關系相比復雜了很多,特別是當直線和平面的個數(shù)較多時,各種位置關系錯綜復雜、相互交織,如果考慮不全面就會導致一些錯誤的判斷. 解析 當l1⊥l2,l2⊥l3時,l1與l3也可能相交或異面,故A不正確;當l1∥l2∥l3時,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三條側棱,故C不正確;l1,l2,l3共點時,l1,l2,l3未必共面,如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱,故D不正確. 答案 B 溫馨提醒 (1)平面幾何中的一些定理和結論在空間中不一定成立,如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立,所以在用一些平面幾何中的定理和結論時,必須說明涉及的

15、元素都在某個平面內. (2)解決點、線、面位置關系問題的基本思路:一是逐個判斷,利用空間線面關系證明正確的結論,尋找反例否定錯誤的結論;二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷,但要注意定理應用要準確、考慮問題要全面細致. 構造襯托平面研究直線相交問題 典例:(4分)在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有________條. 審題視角 找三條異面直線都相交的直線,可以轉化成在一個平面內,作與三條直線都相交的直線.因而可考慮過一條直線及另外一條直線上的一點作平面.進而研究公共

16、交線問題. 解析 方法一 在EF上任意取一點M,直線A1D1與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有1個交點N,當M取不同的位置時就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點.如圖所示. 方法二 在A1D1上任取一點P,過點P與直線EF作一個平面α,因CD與平面α不平行,所以它們相交,設它們交于點Q,連接PQ,則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線.由點P的任意性,知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1,EF,CD都相交. 答案 無數(shù) 溫馨提醒 (1)本題難度不大,但比較靈活.對平面的基本性質、空間兩條直線的位置關系的考查,難度一般都不會太大. (2)誤區(qū)

17、警示:本題解法較多,但關鍵在于構造平面,但不少學生不會構造平面,因此失分較多.這說明學生還是缺少空間想象能力,缺少對空間直線位置關系的理解. 方法與技巧 1. 主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面,再證其余直線或點也在這個平面內(即“納入法”). (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線,只要證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)公理3可知這些點在交線上,因此共線. 2. 判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理:平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經(jīng)過該點B的直線是異面直線. (2)反證法:證明兩線不可能平

18、行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面. 3. 求兩條異面直線所成角的大小,一般方法是通過平行移動直線,把異面問題轉化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知,異面直線所成角的大小與頂點位置無關,往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解. 失誤與防范 1.全面考慮點、線、面位置關系的情形,可以借助常見幾何模型. 2.異面直線所成的角范圍是(0°,90°]. A組 專項基礎訓練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的 (  ) A

19、.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件 答案 A 解析 若兩條直線無公共點,則兩條直線可能異面,也可能平行.若兩條直線是異面直線,則兩條直線必無公共點. 2. 下列命題正確的個數(shù)為 (  ) ①經(jīng)過三點確定一個平面 ②梯形可以確定一個平面 ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面,∴①不正確; 兩條平行線可以確定一個平面,∴②正確; 兩

20、兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面,∴③正確; 命題④中沒有說清三個點是否共線,∴④不正確. 3. 設P表示一個點,a、b表示兩條直線,α、β表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是 (  ) ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案 D 解析 當a∩α=P時,P∈a,P∈α,但a?α,∴①錯;a∩β=P時, ②錯; 如圖,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直線a與點

21、P確定唯一平面α, 又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過直線a與點P, ∴β與α重合,∴b?α,故③正確; 兩個平面的公共點必在其交線上,故④正確. 4. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,過頂點A1與正方體其他頂點的連線與 直線BC1成60°角的條數(shù)為 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 有2條:A1B和A1C1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 平面α、β相交,在α、β內各取兩點,這四點都不在交線上,這四點能確定________個平面. 答案 1或4 解析 若過四點中任意兩點的連線與

22、另外兩點的連線相交或平行,則確定一個平面;否則確定四個平面. 6. 下列命題中不正確的是________.(填序號) ①沒有公共點的兩條直線是異面直線; ②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面; ③一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線不可能平行; ④一條直線和兩條異面直線都相交,則它們可以確定兩個平面. 答案?、佗? 解析 沒有公共點的兩直線平行或異面,故①錯;命題②錯,此時兩直線有可能相交;命題③正確,因為若直線a和b異面,c∥a,則c與b不可能平行,用反證法證明如下:若c∥b,又c∥a,則a∥b,這與a,b異面矛盾,故cD∥\b;命題④也正確,若c與兩異面直線a

23、,b都相交,由公理2可知,a,c可確定一個平面,b,c也可確定一個平面,這樣,a,b,c共確定兩個平面. 7. (xx·大綱全國)已知正方體ABCD-A1 B1 C1 D1中,E為C1D1的中點,則異面直線AE與BC所成角的余弦值為______. 答案  解析 取A1B1的中點F,連接EF,AF. ∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中, EF∥B1C1,B1C1∥BC, ∴EF∥BC,∴∠AEF即為異面直線 AE與BC所成的角. 設正方體的棱長為a, 則AF==a,EF=a. ∵EF⊥平面ABB1A1,∴EF⊥AF, ∴AE==a. ∴cos ∠AEF===. 三、

24、解答題(共22分) 8. (10分) 如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD =∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G、H分別為FA、FD的 中點. (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形; (2)C、D、F、E四點是否共面?為什么? (1)證明 由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD, 可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC, ∴四邊形BCHG為平行四邊形. (2)解 方法一 由BE綊AF,G為FA的中點知, BE綊FG,∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E

25、四點共面. 方法二 如圖所示,延長FE,DC分別與AB交于點M,M′, ∵BE綊AF,∴B為MA的中點. ∵BC綊AD,∴B為M′A的中點, ∴M與M′重合,即FE與DC交于點M(M′),∴C、D、F、E四點共面. 9. (12分)如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延長 線交于M,RQ、DB的延長線交于N,RP、DC的延長線交于K, 求證:M、N、K三點共線. 證明 ∵M∈PQ,直線PQ面PQR,M∈BC,直線BC面BCD, ∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點, 即M在面PQR與面BCD的交線l上. 同理可證N、K也在l上.∴M、N、K三點共線

26、. B組 專項能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 如圖,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B, C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必通過 (  ) A.點A B.點B C.點C但不過點M D.點C和點M 答案 D 解析 ∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根據(jù)公理3可知,M在γ與β的交線上. 同理可知,點C也在γ與β的交線上. 2. 已知空間中有三條線段AB、BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關系是

27、 (  ) A.AB∥CD B.AB與CD異面 C.AB與CD相交 D.AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交 答案 D 解析 若三條線段共面,如果AB、BC、CD構成等腰三角形,則直線AB與CD相交,否則直線AB與CD平行;若不共面,則直線AB與CD是異面直線,故選D. 3. 以下四個命題中 ①不共面的四點中,其中任意三點不共線; ②若點A、B、C、D共面,點A、B、C、E共面,則點A、B、C、D、E共面; ③若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面; ④依次首尾相接的四條線段必共面. 正確命題的個數(shù)是 (  ) A

28、.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析?、偌僭O其中有三點共線,則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾,故其中任意三點不共線,所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C,但是若A、B、C共線,則結論不正確;③不正確;④不正確,因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上,如空間四邊形. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 在圖中,G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________.(填上所有正確答案的序號) 答案?、冖? 解析 圖①中,直線GH∥MN; 圖②中,

29、G、H、N三點共面,但M?面GHN, 因此直線GH與MN異面; 圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面; 圖④中,G、M、N共面,但H?面GMN, 因此GH與MN異面. 所以圖②、④中GH與MN異面. 5. 如圖是正四面體的平面展開圖,G、H、M、N分別為DE、BE、EF、 EC的中點,在這個正四面體中, ①GH與EF平行; ②BD與MN為異面直線; ③GH與MN成60°角; ④DE與MN垂直. 以上四個命題中,正確命題的序號是________. 答案?、冖邰? 解析 還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE⊥

30、MN. 6. (xx·四川)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是棱CD、 CC1的中點,則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________. 答案 90° 解析 如圖,取CN的中點K,連接MK,則MK為△CDN的中位線, 所以MK∥DN. 所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角. 連接A1C1,AM.設正方體棱長為4, 則A1K==, MK=DN==, A1M==6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°. 三、解答題 7. (13分)如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中 心,H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證:D1、H、O三點共線. 證明 連接BD,B1D1, 則BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1,∴四邊形BB1D1D為平行四邊形,又H∈B1D, B1D平面BB1D1D, 則H∈平面BB1D1D, ∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三點共線.

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