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1、2022年高中物理 力學提升 專題02 追擊相遇問題 【專題概述】 1. 當兩個物體在同一條直線上運動時,由于兩物體的運動情況不同,所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化,兩物體間距越來越大或越來越小時,就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題。 2. 追及問題的兩類情況 (1) 若后者能追上前者,則追上時,兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。 (2) 若后者追不上前者,則當后者的速度與前者速度相等時,兩者相距最近。 3.相遇問題的常見情況 (1)同向運動的兩物體追及即相遇。 (2)相向運動的兩物體,當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時即相遇。 4.追及相遇

2、問題中的兩個關系和一個條件 (1)兩個關系:即時間關系和位移關系,這兩個關系可通過畫草圖得到。 (2)一個條件:即兩者速度相等,它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷的切入點。 5.追及相遇問題常見的情況 物體A追物體B,開始時,兩個物體相距s。 (1)A追上B時,必有s=且; (2)要使兩物體恰好不相撞,必有s=且; (3)若使物體肯定不相撞,則由時,且之后。 【典例精講】 1. 基本追趕問題 【典例1】在水平軌道上有兩列火車A和B,相距s,A車在后面做初速度為、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直

3、線運動,兩車運動方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度滿足什么條件。 【答案】v0

4、初速度v0應滿足的條件是 v0

5、x0＝40 m處有一貨車以72 km/h的速度行駛，在不能改變車道的情況下采取剎車方式避讓(加速度仍為5 m/s2)，通過計算說明是否會與前車相碰． 【答案】(1)s0＝105 m (2)不會相碰 車的位移為x1，運動時間為t2，貨車的位移為x2，則速度相等經歷的時間為： t2＝＝ s＝2 s， 則私家車的位移為： x1＝＝ m＝50 m， 對貨車：位移為：x2＝v1t2＝20×2 m＝40 m， 因為x2＋x0＞x1，所以不會相碰 【典例3】2014年11月22日16時55分，四川省康定縣境內發(fā)生6.3級地震并引發(fā)一處泥石流．一汽車停在小山坡底，突然司機發(fā)現山坡上距坡

6、底240 m處的泥石流以8 m/s的初速度，0.4 m/s2的加速度勻加速傾瀉而下，假設泥石流到達坡底后速率不變，在水平地面上做勻速直線運動，司機的反應時間為1 s，汽車啟動后以恒定的加速度一直做勻加速直線運動．其過程簡化為圖所示，求： (1)泥石流到達坡底的時間和速度大??？ (2)試通過計算說明：汽車的加速度至少多大才能脫離危險？(結果保留三位有效數字) 【答案】（1）t1＝20 s，v1＝16 m/s (2)a′＝0.421 m/s2 3. 能否追上及最大值的問題 【典例4】甲車以3 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速直線運動．乙車落后2 s在同一地點由靜止開始，

7、以6 m/s2的加速度做勻加速直線運動．兩車的運動方向相同．求： (1)在乙車追上甲車之前，兩車距離的最大值是多少？ (2)乙車出發(fā)后經多長時間可追上甲車？此時它們離出發(fā)點多遠？ 【答案】(1)12 m (2)x1＝x2≈70 m 【解析】 兩車距離最大時速度相等，設此時乙車已開動的時間為t，則甲、乙兩車的速度分別是多少？ v1＝3×(t＋2)＝3t＋6 【典例5】一列火車從車站出發(fā)做勻加速直線運動，加速度為0.5 m/s2，此時恰好有一輛自行車(可視為質點)從火車頭旁邊駛過，自行車速度v0＝8 m/s，火車長l＝336 m. (1)火車追上自行車以前落后于自行車的

8、最大距離是多少？ (2)火車用多少時間可追上自行車？ (3)再過多長時間可超過自行車？ 【答案】(1)xm＝v0t1－at＝8×16－×0.5×162＝64 m (2)t2＝＝ s＝32 s (3)t3＝24 s 代入數據解得：t2＝＝ s＝32 s (3)追上時火車的速度：v＝at2＝0.5×32 m/s＝16 m/s 設再過t3時間超過自行車，則 vt3＋at－v0t3＝l 代入數據解得t3＝24 s 注意 ①在解決追及、相遇類問題時,要緊抓“一圖三式”,即:過程示意圖,時間關系式、速度關系式和位移關系式。最后還要注意對結果的討論分析。

9、 ②分析追及、相遇類問題時,要注意抓住題目中的關鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如 “剛好”“恰好”“最多”“至少”等,往往對應一個臨界狀態(tài),滿足相應的臨界條件。 三 總結提升 速度小者追速度大者 圖像 說明 勻加速追勻速 ①以前,后面物體與前面物體間距離增大 ②時,兩物體相距最遠,為 ③以后,后面物體與前面物體間距離減小 ④能追上且只能相遇一次 勻速追勻減速 勻加速追勻減速 速度大者追速度小者 圖像 說明 勻減速追勻速 開始追趕時,后面物體與前面物體間的距離在 減小,當兩物體速度相等時,即時刻: ①若,則恰能追上,兩物體只能相遇

10、一次, 這也是避免相撞的臨界條件 ②若,則不能追上,此時兩物體最小距離 為 ③若,則相遇兩次,設時刻,兩物體 第一次相遇,則時刻兩物體第二次相遇 勻速追勻加速 勻減速追勻加速 說明： (1)表中的Δx是開始追趕以后,后面物體因速度大而比前面物體 多運動的位移; (2)是開始追趕以前兩物體之間的距離; (3) (4)是前面物體的速度,是后面物體的速度。 【提升專練】 1.(多選)甲、乙兩車某時刻由同一地點,沿同一方向開始做直線運動,若以該時刻作為計時起點,得到兩車的位移-時間圖像,即x-t圖像如圖所示,甲圖像過O點的切線與AB平行,過C點的切線與OA平行,則下

11、列說法中正確的是( ) A.在兩車相遇前,t1時刻兩車相距最遠 B.t3時刻甲車在乙車的前方 C.0~t2時間內甲車的瞬時速度始終大于乙車的瞬時速度 D.甲車的初速度等于乙車在t3時刻的速度 【答案】AD 【解析】 圖像的縱坐標表示物體所在的位置,由圖可知t1時刻兩車相距最遠,故A正確;t3時刻兩車的位移相同,兩車處在同一位置,故B錯誤;圖線(或圖線切線)的斜率表示速度,由圖可知,t1時刻以后甲車瞬時速度小于乙車瞬時速度,甲車的初速度等于乙車在t3時刻的速度,故C錯誤,D正確。 2.甲、乙兩輛汽車沿同一方向做直線運動,兩車在某一時刻剛好經過同一位置,此時甲的速度為5 m

12、/s,乙的速度為10 m/s,甲車的加速度大小恒為1.2 m/s2。以此時作為計時起點,它們的速度隨時間變化的關系如圖所示,根據以上條件可知( ) A.乙車做加速度先增大后減小的變加速運動 B.在前4 s的時間內,甲車運動位移為29.6 m C.在t=4 s時,甲車追上乙車 D.在t=10 s時,乙車又回到起始位置 【答案】B 【解析】v-t圖線的斜率表示物體的加速度,由圖可知,乙的加速度先減小后反向增大,再減小,故A錯誤;在前4 s的時間內,甲車運動位移為x=v0t+at2=5×4 m+×1.2×16 m=29.6 m,故B正確;在t=4 s時,兩車的速度相同,但0~4

13、 s內兩車的位移不同,則兩車沒有相遇,故C錯誤;在前10 s內,乙車一直做變加速直線運動,速度一直沿同一方向,故t=10 s時乙車沒有回到起始位置,故D錯誤。 3.如圖所示為甲、乙兩物體從同一位置出發(fā)沿同一方向做直線運動的v-t圖像,其中t2=2t1,則下列判斷正確的是( ) A.甲的加速度比乙的大 B.t1時刻甲、乙兩物體相遇 C.t2時刻甲、乙兩物體相遇 D.0~t1時間內,甲、乙兩物體之間的距離逐漸減小 【答案】C 4.如圖所示為甲、乙兩個物體在同一條直線上運動的v-t 圖像,t=0時兩物體相距3s0,在t=1 s時兩物體相遇,則下列說法正確的是 ( )

14、 A.t=0時,甲物體在前,乙物體在后 B.t=2 s時,兩物體相距最遠 C.t=3 s時,兩物體再次相遇 D.t=4 s時,甲物體在乙物體后2s0處 【答案】C 【解析】因t=1 s時兩物體相遇,且0~1 s內甲的速度始終比乙大,則可知t=0時,甲物體在后,乙物體在前,A錯誤;1 s 末兩物體相遇,由對稱性可知1~3 s內甲、乙的位移相同,因此3 s末兩物體再次相遇,C正確;由對稱性可知4 s末,甲物體在乙物體后3s0處,此后甲、乙間距離不斷增大,因此兩者間距最大值無法獲得,B、D錯誤。 5.A、B兩質點同時、同地沿同一直線運動,其v-t圖像分別如圖中a、b所示,t1時刻圖線

15、b的切線與圖線a平行,在0~t2時間內,下列說法正確的是( ) A.質點A一直做勻加速直線運動 B.t1時刻兩質點的加速度相等,相距最遠 C.t2時刻兩質點速度相等,相距最遠 D.t2時刻兩質點速度相等,A恰好追上B 【答案】C 6.甲、乙兩車在某時刻由同一地點沿同一方向開始做直線運動,若以該時刻作為計時起點,得到兩車的位移-時間圖像如圖所示,則下列說法正確的是 ( ) A.甲做勻加速直線運動,乙做變加速直線運動 B.t1時刻乙車從后面追上甲車 C.t1時刻兩車的速度剛好相等 D.0到t1時間內,乙車的平均速度小于甲車的平均速度 【答案】B 【解析

16、】因位移圖線的斜率表示速度,故甲車做勻速直線運動,乙車做變速直線運動,A項錯;兩圖線有交點,表明兩車在同一時刻到達同一位置,即相遇,則由圖可知t1時刻乙從后面追上甲,B項正確;在t1時刻,乙圖線切線斜率(速度)大于甲圖線斜率(速度),C項錯;0~t1時間內,兩車初、末位置相同,即位移相同,故兩車平均速度相同,D項錯。 7.甲、乙兩車在公路上沿同一方向做直線運動,在t=0時刻,乙車在甲車前方50 m處,它們的v-t圖像如圖所示,下列對兩車運動情況的描述正確的是 ( ) A.在第30 s末,甲、乙兩車相距100 m B.甲車先做勻速運動再做反向勻減速運動 C.在第20 s末,甲、乙

17、兩車的加速度大小相等 D.在整個運動過程中,甲、乙兩車可以相遇兩次 【答案】D 8.兩個質點A、B放在同一水平面上,由靜止開始從同一位置沿相同方向同時開始做直線運動,其運動的v-t圖像如圖所示。對A、B運動情況的分析,下列結論正確的是( ) A.A、B加速時的加速度大小之比為2∶1,A、B減速時的加速度大小之比為1∶1 B.在t=3t0時刻,A、B相距最遠 C.在t=5t0時刻,A、B相距最遠 D.在t=6t0時刻,A、B相遇 【答案】D 【解析】由v-t圖像可知,加速時A、B的加速度大小之比為10∶1,減速時A、B的加速度大小之比為1∶1,選項A錯誤;由A、B

18、的運動關系可知,當A、B速度相同時,A、B間的距離最大,故選項B、C錯誤;由題意可知A、B是從同一位置同時開始運動的,由速度-時間圖像可以算出運動位移,可知6t0時刻,A、B的位移xA=xB=3v0t0,因此在此時刻A、B相遇,選項D正確。 9.A、B兩物體在同一直線上運動,當它們相距7 m時,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以4 m/s的速度向右做勻速運動,而物體B此時速度為10 m/s,方向向右,它在摩擦力作用下做勻減速運動,加速度大小為2 m/s2。求: (1)A追上B之前兩者之間的最大距離; (2)A追上B所用的時間。 【答案】(1)16 m (2)8 s 10.某物

19、體A靜止于水平地面上,它與地面間的動摩擦因數μ=0.2,若給物體A一個水平向右的初速度v0=10 m/s,g=10 m/s2。求: (1)物體A向右滑行的最大距離; (2)若物體A右方x0=12 m處有一輛汽車B,在物體A獲得初速度v0的同時,汽車B從靜止開始以a=2 m/s2的加速度向右運動,通過計算說明物體A能否撞上汽車B。 【答案】(1)25 m (2)見解析 【解析】(1)由牛頓第二定律得 μmg=ma0 a0=2 m/s2 根據v2-=-2a0x 解得x=25 m (2)假設二者不相撞,設經過時間t二者有共同速度v共 則對物體A:v共=v0-a0t 對汽車B:v共=at 解得:v共=5 m/s,t=2.5 s 該過程中物體A的位移:xA=t=18.75 m 該過程中汽車B的位移:xB=t=6.25 m 因為xA>xB+x0 所以物體A能撞上汽車B。