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1、2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題八 數(shù)列（含解析） 抓住5個高考重點 重點1 數(shù)列的概念與通項公式 1.數(shù)列的定義 2.通項與前項和的關系： 3.數(shù)列的一般性質(zhì)：（1）單調(diào)性；（2）周期性-若，則為周期數(shù)列，為的一個周期. 4.數(shù)列通項公式的求法：觀察、歸納與猜想 [高考?？冀嵌萞 角度1 已知數(shù)列滿足，則 解析：主要考查對數(shù)列中項數(shù)的分析處理能力， 角度2 已知數(shù)列的前項和為第項滿足則（ ） A. B. C. D. 解析：當時，；當時，，故 由，故選B

2、 重點2等差數(shù)列及其前項和 1.等差數(shù)列的通項公式： 2.等差數(shù)列的前項和公式：，為常數(shù) 3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應用：也成等差數(shù)列 4.等差數(shù)列前項和的最值：（1）若，數(shù)列的前幾項為負數(shù)，則所有負數(shù)項或零項之和為最??； （2）若，數(shù)列的前幾項為正數(shù)，則所有正數(shù)項或零項之和為最大； （3）通過用配方法或?qū)?shù)求解. 5等差數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義，（2）利用等差中項， （3）利用通項公式為常數(shù)，（4）利用前項和，為常數(shù) [高考?？冀嵌萞 角度1在等差數(shù)列中，，則__________ 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知. 角度2已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比

3、中項，為的前項和，，則的值為（ ） A． 　　 B． 　　 C． 　 D． 解析：∵，∴，解之得， ∴. 故選D. 角度3設等差數(shù)列的前項和為,若,,則當取最小值時等于（ ） A． B． C． D． 解析：設該數(shù)列的公差為，則，解得， 所以，所以當時，取最小值.選A 角度4已知數(shù)列滿足對任意的，都有，且． （1）求，的值； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）設數(shù)列的前項和為，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 解：（1）當時，有，由于，所以．

4、 當時，有，將代入上式，由于，所以． （2）由于， ① 則有． ② ②－①，得， 由于，所以． ③ 同樣有，， ④ ③－④，得． 所以． 由于，即當時都有，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列． 故． （3） 數(shù)列是遞增數(shù)列，故 要使不等式對任意的正整數(shù)恒成立 只須，又 故 所以 實數(shù)的取值范圍是 角度5 （xx.福建）已知等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ

5、）若數(shù)列的前項和，求的值． 解析：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差，則， 由題設，，所以．． （Ⅱ）因為， 所以，解得或．因為，所以． 重點3 等比數(shù)列及其前項和 1.等比數(shù)列的通項公式： 2.等比數(shù)列的前項和公式： 3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應用: 也成等比數(shù)列 4.等比數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義為常數(shù)（2）利用等比中項， [高考?？冀嵌萞 角度1若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ） A. B. C. D. 解析：由題有，故選擇B. 角度2在等比數(shù)列中，若則公比 ；

6、 . 解析：由已知得；所以. 角度3設數(shù)列的前項和為 已知 （Ⅰ）設，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式。 解析：（Ⅰ）由及，有 由，………………………① 　 則當時，有……….② ②－①得 ， 又， 是首項，公比為2的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， （如果不這樣，就要用到累差法了） 　　　數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列． 　　　， 故 角度4等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14

7、 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和. 解析：（Ⅰ）當時，不合題意；當時，不合題意. 當時，當且僅當時，符合題意；因此 故 （Ⅱ）因為 重點4 數(shù)列的求和 1.數(shù)列求和的注意事項：（1）首項：從哪項開始相加；（2）有多少項求和；（3）通項的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式； （2）倒序相加法； （3）錯位相減法； （4）分組求和法； （5）裂項法； （6）并項法 [高考?？冀嵌萞 角度1若數(shù)列的通項公式是,則（

8、 ） A. B. C. D. 解析:方法一：分別求出前10項相加即可得出結(jié)論； 方法二：，故.故選A. 角度2 已知數(shù)列，求此數(shù)列的前項和 解析：由 角度3數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且， 數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，. （1）求； （2）求證. 解：設{}公差為，由題意易知，且 則{}通項，前項和 再設{}公比為，則{}通項 由可得 ① 又{}為公比為64的等比數(shù)列，∴，∴ ② 聯(lián)立①、②及，且可解

9、得 ∴{}通項， 的通項， （2）由（1）知， ∴ 角度4 設若，則________ 解析： 由得 ， 角度5 設數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項公式 （2）設求數(shù)列的前項和 解析：（1）由已知 ① 當時， ② 兩式相減得， 在①中，令，得 所以 （2） ③ ④ 相減得 重點5 數(shù)列的綜合應用 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 2.數(shù)列的實際應用（貴州省所考的新課程全國Ⅱ卷基本上不考此類題，故未選入）

10、[高考?？冀嵌萞 角度1設，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是________ 解析：由題意：， ，而的最小值分別為 . 角度2已知是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項和． （Ⅰ）當、、成等差數(shù)列時，求q的值； （Ⅱ）當、、成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，、、也成等差數(shù)列． 解析：（Ⅰ）由已知，，因此，，． 當、、成等差數(shù)列時，，可得． 化簡得．解得． （Ⅱ）若，則的每項，此時、、顯然成等差數(shù)列． 若，由、、成等差數(shù)列可得，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差數(shù)列． 突破3個高考難點 難點1 數(shù)列的遞推公式及

11、應用 1.求（為常數(shù)）型的通項公式 （1）當時，為等差數(shù)列 （2）當時，為等差數(shù)列 （3）當且時，方法是累差法或待定系數(shù)法，具體做法是： 數(shù)列為等比數(shù)列 2.求（且為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是：“倒代換” 由變形為，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求解 3. 求（為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是： 由，令，則，再行求解. 典例 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式 （1） （待定系數(shù)法） 解析：由，是以為公比，為首項的等比數(shù)列 （2）（換元法） 解析：由，是以公差，1為首項的等差數(shù)列 （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法） 解析：兩

12、邊除以得，令，則 是以為公比，為首項的等比數(shù)列， （4） （累積法） 解析：由已知得 以上各式相乘，得 （5） （換元法） 解析：由已知 是以為公比，為首項的等比數(shù)列， 所以 難點2 數(shù)列與不等式的交匯 典例設數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設記證明： 解析：（Ⅰ）由已知，是公差為1的等差數(shù)列，， （Ⅱ） 難點3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯 典例1已知等比數(shù)列的公比，前3項和。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為，求的解析式。 點評：本題考察等比數(shù)列的通項公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查運算求

13、解能力，考查函數(shù)與方程思想?；A題。 解：（Ⅰ）由題有； （Ⅱ）由（Ⅰ），故，又， 所以 規(guī)避4個易失分點 易失分點1 忽略成立的條件 典例 已知數(shù)列滿足， （1）證明是等差數(shù)列，并求出公差 （2）求數(shù)列的通項公式 解析：（1）由已知，，所以是等差數(shù)列，且公差為 （2） 當時，，驗證與不符 故 易失分點2 數(shù)列求和中包含的項數(shù)不清 典例 設，則等于（ ） A. B. C. D. 解析：容易錯選A，其實仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，有項，故選D 易失分點3 數(shù)列中的最值求解不當 典例 已

14、知數(shù)列滿足則的最小值為___________ 解析：由已知得以上各式相加得 ， 令，由對鉤函數(shù)或者求導可以知道在上遞減，在上遞增 又，所以時可能取到最小值，而，故的最小值為 易失分點4 使用錯位相減法求和時對項數(shù)處理不當 典例 數(shù)列是等差數(shù)列，,其中，數(shù)列前項和存在最小值. （1）求通項公式; （2）若，求數(shù)列的前項和 解：（1）∵ ∴ ………………………………2分 又數(shù)列是等差數(shù)列， ∴ ∴（）+（）= 解之得：或 …………………4分 當時，，此時公差， 當時，，公差，此時數(shù)列前n項和不存在最小值，故舍去。 ∴ ……………6分 （2）由（1）知， …………… ………8分 ∴（點評：此處有一項為0，但是必須寫上，否則會引起混亂） ………10分（點評：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)） …………12分