6、a，b，c∈D，．f(a)，f (b)，f(c)分別為某個三角形的
三邊長，則稱f(x)為“三角形函數(shù)”．給出‘F列四個函數(shù)：
①f(x)f=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx，③f(x)= (1≤x≤8)，④f(x)= ，
其中為“三角形函數(shù)”的個數(shù)是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
本卷包括必考題和選考題兩個部分．第13題～第21題為必考題，每個考生都必須作答，第22
題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
二、填空題：本大題共4小題，每小
7、題5分，共20分．
(13)已知向量a=(1，)，向量a，c的夾角是，a·c=2，則|c|等于 。
(14) 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn+Sn一1=2n-l (n>2)，且S2 =3，則a1+a3的值為 。
(15)正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體
ABCD外接球表面積為____．
(16)已知拋物線C:x2 =4y的焦點為F，過點F且斜率為l的直線與拋物線相交于M，N兩點．設(shè)
直線l是拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，則的最小值為 .
三、解答題：解
8、答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
(17)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)=（sinx+ cosx）cosx一（xR，>0）．若f(x)）的最小止周期為4．
( I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(II)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a-c)cosB=bcosC，求函數(shù)f(A)
的取值范圍．
(18)（本小題滿分12分）
某校高三數(shù)學備課組為了更好的制定二輪復(fù)習的計劃，開展了試卷講評后效果的調(diào)研，從
上學期期末數(shù)學試題中選出一些學生易錯題，重新進行測試，并認為做這些題不出任何錯誤的
同學為“過關(guān)”，出了錯誤的
9、同學認為“不過關(guān)”，現(xiàn)隨機抽查了年級50人，他們的測試成績
的頻數(shù)分布如下表：
(I)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為期末數(shù)學成績不
低于90分與測試“過關(guān)”是否有關(guān)？說明你的理由．
(II)在期末分數(shù)段[105，120）的5人中，從中隨機選3人，記抽取到過關(guān)測試“過關(guān)”的人
數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
下面的臨界值表供參考：
(19)（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1
DC=SD=2， E為棱SB上的一點，且SE=2
10、EB．
(I)證明：DE⊥平面SBC；
(II)證明：求二面角A- DE -C的大小。．
(20)（本小題滿分12分）
已知橢圓C：=1（a>0，b>0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形，直
線x+y+2一1=0與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
(I)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)點B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點B與點D關(guān)于原點O對稱．設(shè)直線
CD，CB，OB，OC的斜率分別為k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．
(i)求k1k2的值： (ii)求OB2+ OC2的值．
(21)（本小題滿分l2分）
11、
已知函數(shù)f(x)=lnx+x2一2ax+1．（ a為常數(shù)）
(I)討論函數(shù)f(x)的單凋性；
(II)若存在x0∈(0，1]，使得對任意的a∈(-2，0]，不等式2mea+f(x0）> a2+2a+4（其中e為自然對數(shù)
的底數(shù)）都成立，求實數(shù)m的取值范圍．
請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，
則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．
(22)（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講
如圖， 圓M與圓N交于A， B兩點， 以A為切點
12、作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C、
D兩點，延長DB交圓M于點E， 延長CB交圓N于點F．已知BC=5， DB=10.
(I)求AB的長；
（II）求。
(23)（本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
己知曲線C的極坐標方程是ρ= 4cosθ.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正
半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）．
( I)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
( II)若直線，與曲線c相交于A、B兩點，且|AB|=，求直線的傾斜角a的值．
(24)（本小題滿分10分）選修4-5:不等式選講
13、 設(shè)函數(shù)f(x)= 的最大值為M.
(I)求實數(shù)M的值；
(II)求關(guān)于x的不等式|x一|+| x+2|≤M的解集。
NCSxx0607項目第一次模擬測試卷
數(shù)學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
答案：（1）（B） （2）（C） （3）（B） （4）（C） （5）（A） （6） （B）
（7）（D） （8）（A） （9）（A） （10）（D） （11）（D） （12）（B）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
答案：（13） （14） （15）
14、（16）
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
(17)（本小題滿分12分）
解：（I）
．
，．由 ，
得 ．
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為------------------（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得，， ∴．
∵，∴．
或：，，∴．
又，
． ．------------------（12分）
(18)（本小題滿分12分）
解：(I)依題意得
分數(shù)低于90分人數(shù)
分數(shù)高于90分人數(shù)
合計
過關(guān)人數(shù)
12
14
26
不過關(guān)人數(shù)
15、 18
6
24
合計
30
20
50
因此有%的把握認為期末數(shù)學成績不低于90分與測試 “過關(guān)”有關(guān).（6分）
（II）在期末分數(shù)段[105,120）的5人中，有3人 測試“過關(guān)”，隨機選3人，抽取到過關(guān)測試“過關(guān)”的人數(shù)為的可能取值為
X
X的分布列為：
------------------（12分）
(19)（本小題滿分12分）
解：分別以，，所在直線為x軸，軸，z建立空間直角坐標系（如圖），
則，
（Ⅰ）∵SE=2
16、EB，
∴
又
∴
∴
又 ∴DE平面SBC ----------（6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE⊥平面SBC，
∵平面SBC，∴
當時，知，，
取中點，則，
故，由此得FA⊥DE
∴向量與的夾角等于二面角的平面角
又，
∴二面角的大小為.------------------（12分）
(20)（本小題滿分12分）
x
O
F1
F2
B
C
D
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點，則
由題意，以橢圓的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長
為半徑的圓的方程為，
∴圓心到直線的距離
（*）……………
17、…………1分
∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形，
∴,， 代入（*）式得，，
故所求橢圓方程為 ………………………………………4分
（Ⅱ）（i）設(shè)，則，
于是--（8分）
（ii）方法一由（i）知，，故．
所以，
即，所以，．
又，故．
所以，OB2+OC2 =．------------------（12分）
方法二由（i）知，．將直線方程代入橢圓中，
得．同理，．
所以，．
下同方法一．------------------（12分）
(21)（本小題滿分12分）
解：（I），記
（i）當時，因為，所以，
18、函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（ii）當時，因為，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（iii）當時，由，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增．------------------（6分）
（II）由（I）知當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)的最大值是，對任意的，
都存在，使得不等式成立，
等價于對任意的，不等式都成立，
即對任意的，不等式都成立，
記，由，
，
由得或,因為，所以，
①當時，，且時，，
時，，所以，
所以時，恒成立；
②當時，，因為，所以，
此時單調(diào)遞增，且，
所以時，成立；
③當時，，，
所以存在使得，因此不恒成立．
19、
綜上，的取值范圍是． ------------------（12分）
另解（II）由（Ⅰ）知，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以時，函數(shù)的最大值是，
對任意的，都存在，
使得不等式成立，
等價于對任意的，不等式都成立，
即對任意的，不等式都成立，
記，
由，且
∴對任意的，不等式都成立的必要條件為
又，
由得或
因為，所以，
① 當時，，且時，，
時，，所以，
所以時，恒成立；
②當時，，因為，所以，
此時單調(diào)遞增，且，
所以時，成立．
綜上，的取值范圍是． ------------------（12分）
(22)（本小題滿分10分）選修4－1：
20、幾何證明選講
解：（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，
知，，
∴△∽△ ，則，
故.--------（5分）
（Ⅱ）根據(jù)切割線定理，知，，
兩式相除，得（*）.
由△∽△，得，，
又，由（*）得． ------------------（10分）
(23)（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
解：（I）由得： ------------------（3分）
（II）將代入圓的方程得，
化簡得.
設(shè)、兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為、,則,
,
∴,故,即或.------------------（10分）
(24)（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
解：（I），
當且僅當時等號成立． 故函數(shù)的最大值 ---------------（5分）
（II）由絕對值三角不等式可得．
所以不等式的解就是
方程的解．
由絕對值的幾何意義得，當且僅當時，．
所以不等式的解集為--------------（10分）
2022年高三數(shù)學第一次模擬考試試題 理(IV)
