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1、2022年高考數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計易錯題評析教案 概率是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識。這部分內(nèi)容由于問題情境源于實際，貼近生活，所以學(xué)生樂學(xué)且易于接受；但這部分內(nèi)容由于易混點多，重復(fù)、遺漏情況不易察覺等，學(xué)生感覺易做但易錯。下面我們將學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤列舉出來,并加以辨別分析,以期對今后的學(xué)習(xí)提供幫助。 一、概念理解不清致錯 例1．拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點數(shù)不超過3”，求P（A+B） 錯誤解法：事件A：朝上一面的點數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點數(shù)為1，2，3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）= 錯因分析：事件

2、A：朝上一面的點數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點數(shù)為1，2，3，很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。 即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是錯誤的。實際上： 正確解法為：A+B包含：朝上一面的點數(shù)為1，2，3，5四種情況 ∴P（A+B）= 錯誤解法2：事件A：朝上一面的點數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點數(shù)1、3 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B） = 錯因分析：A、B事件中重復(fù)點數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯誤解法在于簡單地類比應(yīng)用容斥原理致錯 正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）

3、 = 例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 求且的概率。 錯解：記事件A：，即前8項中，5項取值1，另3項取值－1 ∴的概率 記事件B：，將分為兩種情形： （1）若第1、2項取值為1，則3，4項的取值任意 （2）若第1項為1，第2項為－1，則第3項必為1第四項任意 ∴P（B）= ∴所求事件的概率為P=P（A）·P（B）= 錯因分析：且是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨立事件。對的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為： 正解：∵ ∴前4項的取值分為兩種情形 ①若1、3項為1；則余下6項中3項為1，另3項為-1即可。即； ②若1、2項為正，為避免與第①類重復(fù)

4、，則第3項必為-1， 則后5項中只須3項為1，余下2項為-1，即， ∴所求事件的概率為 二、有序與無序不分致錯 例3．甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙依次各抽一題。 求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？ （2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？ 錯誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為 乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為 而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為 ∴所求概率為： 錯因分析：甲、乙依次從10個題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為。為避免錯誤，對于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果

5、應(yīng)為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種，所以 正確解答： （2）錯誤解法：從對立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為種，所以都抽到判斷題的概率為，所求事件的概率為 錯因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為種，所以所求事件概率應(yīng)為 說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答： ，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無序的，則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識角度必須準(zhǔn)確。 例4．已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰

6、有兩支弱隊的概率。 錯解1：將8支球隊均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的分法為：先從3支弱隊取2支弱隊，又從5支強隊取2支強隊，組成這一組共有種方法，其它球隊分在另一組，只有一種分法。 ∴所求事件的概率為：。 錯因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為： 正解：或 說明：這道題也可從對立事件求解： 3支弱隊分法同一組共有：種結(jié)果。 ∴所求事件概率為 三、分步與分類不清致錯 例5．某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問他恰在第3次打開

7、房門的概率？ 錯誤解法：由于此人第一次開房門的概率為，若第一次未開，第2次能打開房門的概率應(yīng)為；所以此人第3次打開房門的概率為。 錯因分析：此人第3次打開房門實際是第1次未打開，第2次未打開，第3次打開“這三個事件的積事件” ，或者理解為“開房門是經(jīng)過未開、未開、開”這三個步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個步驟，所以，正確解答應(yīng)為： 正解：第1次未打開房門的概率為；第2次未開房門的概率為；第3次打開房門的概率為，所求概率為：。 例5．某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時在距目標(biāo)100m處射擊，若命中記3分，同時停止射擊。若第一次未命中，進行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時命中記

8、2分，同時停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進行第3次射擊，此時目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3，P2，P1，P0的值。 ：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系 為，由已知 錯誤解法： 錯因分析：求P2時，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。 ∴P2

9、應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個事件的積事件的概率。求P1時也如此。 正解： 四、考慮不周致錯 例6．某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記為，求：的分布列。 錯誤解法：的取值為8，9，10。=7，兩次環(huán)數(shù)為7,7；=8，兩次成績?yōu)?，8或8，8；=9，兩次成績7，9或8，9或9，9；=10，兩次隊數(shù)為7，10或8，10或9，10或10，10。 ∴ （分布列略） 錯因分析： ，即兩次成績應(yīng)為7，8或8，7或8，

10、8實際為三種情形， 兩次環(huán)數(shù)分別為7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 ∴ 同理 例7．將n個球等可能地放入到N（n×n）個有編號的盒子中（盒子中容納球的個數(shù)不限）。求A：某指定的n個盒子中恰有一球的概率。 錯誤解法：將n個球等可能地放入到N個盒子中，共有Nn種方法。 而指定的n個盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率： 錯因分析：這種解法不全面，如果球是有編號的，則答案是對的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯了，若球是不可辨認(rèn)的，則若考慮盒子中球的個數(shù)而不考慮放的是哪幾個球，為此，我們用“□”表示一個盒子；用“○”表示一個球，先將盒子按編號 1 2 3 4 5

11、 n 把n個球放入N中盒子中，形如：1010011……10001，正好看作N+1個“1”和n個“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種；而指定的n個盒子中恰有一球的放法只有1種，故 五、混淆“互斥”與“獨立”出錯 例8．甲投籃命中概率為0.8，乙投籃命中概率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？ 錯解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好投中2次為A+B。 所以P（A+B）=P（A）+P（B）=。 錯因分析：本題解答錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理

12、解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和。 正解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好都投中2次為AB。 所以P（AB）=P（A）×P（B）= 六.混淆有放回與不放回致錯 例9．某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測試，取后不放回，求： （1）恰好到第5次3只次品全部被測出的概率； （2）恰好到第k次3只次品全部被測出的概率的最大值和最小值。 錯解：（1）P（A）= （2）。 錯因分析：錯解（1）的錯誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨立的；而錯解（2）的錯誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個）。 正解：（1） （2） 當(dāng)時，； 當(dāng)時，。