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1、2022年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法 初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法．本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無(wú)理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會(huì)驗(yàn)根；(2)了解無(wú)理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無(wú)理方程的解法，會(huì)用”平方”或”換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根． 一、可化為一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程為一元二次方程 【例1】解方程 ． 分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程． 解：原方程可化為： 方程兩邊各項(xiàng)都乘以： 即，

2、 整理得： 解得：或． 檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 說(shuō)明： (1) 去分母解分式方程的步驟： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母； ③去括號(hào)，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類(lèi)項(xiàng)； ④解一元二次方程； ⑤驗(yàn)根． (2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，但代入原方程計(jì)算量較大．而分式方程可能產(chǎn)生的增根，就是使分式方程的分母為0的根．因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡(jiǎn)公分母為0．若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解． 2．用

3、換元法化分式方程為一元二次方程 【例2】解方程 分析：本題若直接去分母，會(huì)得到一個(gè)四次方程，解方程很困難．但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)，即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程．最后在已知的值的情況下，用去分母的方法解方程． 解：設(shè)，則原方程可化為： 解得或． (1)當(dāng)時(shí)，，去分母，得； (2)當(dāng)時(shí)，． 檢驗(yàn)：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0． 所以，，都是原方程的解． 說(shuō)明：用換元法解分式方程常見(jiàn)的錯(cuò)誤是只求出的值，而沒(méi)有求到原方程的解，即的值． 【例3】解方程 ． 分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)．因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方

4、程． 解：設(shè)，則 原方程可化為：． (1)當(dāng)時(shí)，； (2)當(dāng)時(shí)，． 檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0． 所以，原方程的解是，，． 說(shuō)明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想． 二、可化為一元二次方程的無(wú)理方程 根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，叫做無(wú)理方程． 1．平方法解無(wú)理方程 【例4】解方程 分析：移項(xiàng)、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解． 解：移項(xiàng)得： 兩邊平方得： 移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得： 解得：或 檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 把代入原方程，左邊 = 右邊，所以是

5、原方程的根． 所以，原方程的解是． 說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟： ①移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；②兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根． 【例5】解方程 分析：直接平方將很困難．可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程． 解：原方程可化為： 兩邊平方得： 整理得： 兩邊平方得： 整理得：，解得：或． 檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根． 把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 所以，原方程的解是． 說(shuō)明：含

6、未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟： ①移項(xiàng)，使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；②兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程；③一下步驟同例4的說(shuō)明． 2．換元法解無(wú)理方程 【例6】解方程 分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大．注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：．因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理． 解：設(shè)，則 原方程可化為：， 即，解得：或． (1)當(dāng)時(shí)，； (2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解． 檢驗(yàn)：把分別代入原方程，都適合． 所以，原方程的解是． 說(shuō)

7、明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想． 練 習(xí) A 組 1．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．用換元法解方程： 3．解下列方程： (1) (2) (3) 4．解下列方程： (1) (2) 5．用換元法解下列方程： (1) (2) B 組 1．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．用換元法解下列方程： (1) (2) (3) 3．若是方程的解，試求的值． 4．解下列方程： (1) (2) 5．解下列方程： (1) (2) (3) 第七講 分式方程和無(wú)理方程的解法答案 A 組 1． 2． 3． 4．(1)．(2) ． 5． B 組 1． 2． 3． 4． 5．