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1、2022年高二數學 9.4直線和平面垂直(第二課時)大綱人教版 ●教學目標 (一)教學知識點 1.直線和平面垂直的性質. 2.點到面的距離,線到面的距離. （二）能力訓練要求 1.轉化思想滲透. 線面垂直線線平行. 線面距離點面距離. 2.培養(yǎng)學生的空間想象能力. 性質定理的證明. （三）德育滲透目標 從問題解決過程,認識事物發(fā)展、變化的規(guī)律. ●教學重點 直線和平面垂直的性質. ●教學難點 性質定理的證明、等價轉化思想的滲透. ●教學方法 學生依已有知識和方法,在教師指導下,自主地完成定理的證明、問題的轉化. ●教具準備 投影片三張. 第一張：（記作

2、9.4.2 A） 已知a⊥α,b⊥α. 求證：b∥a. 證明：假定b不平行于a,設b∩α=O,b′是經過點O與直線a平行的直線. ∵a∥b′,a⊥α, ∴b′⊥α, 即經過同一點O的兩直線b、b′都與α垂直,這是不可能的,因此b∥a. 第二張：（記作9.4.2 B） 第三張：（記作9.4.2 C） 1.已知直線a、b、c和平面β,則a∥b的充分條件是 A.a∥β,b∥β B.a⊥β,b⊥β C.a⊥c,b⊥c D.a與b、a與c所成的角相等 2.平面α外的點A到平面α內各點的線段中,以OA最短,那么OA所在直線與平面α的關系是 A.平行

3、 B.垂直 C.在α內 D.不確定 3.如果平面外一直線上有兩點到這個平面的距離相等,則這條直線和這個平面的位置關系是 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 4.矩形ABEF和矩形EFCD不共面,已知EF=4,BD=5,求平行直線AB與CD之間的距離. ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 1.判定直線和平面垂直的方法有幾種？ ［生］定義、例1的結論、判定定理. 2.各判定方法在何種條件或情形下方可熟練運用？ ［生］若能確定直線與平面內任意一直線垂直,則運用定義說明.若能說明所證直線和平面內的一條直線平行,則可運用

4、例題結論說明. 若能說明直線和平面內兩相交直線垂直,則可運用判定定理去完成判定. Ⅱ.講授新課 ［師］直線和平面是否垂直的判定方法上節(jié)課我們已研究過,這節(jié)課我們來共同探討直線和平面如果垂直,則其應具備的性質是什么？ 下面先思考一個問題： ［例1］已知:a⊥α,b⊥α. 求證：b∥a. ［師］此問題是在a⊥α,b⊥α的條件下,研究a和b是否平行,若從正面去證明b∥a,則較困難.而利用反證法來完成此題,相對的要容易,但難在輔助線b′的作出,這也是立體幾何開始的這部分較難的一個證明. 在老師的指導下,學生嘗試證明,稍后投影給出過程. （9.4.2 A） 已知a⊥α,b⊥α.

5、 求證：b∥a. 證明：假定b不平行于a,設b∩α=O, b′是經過點O與直線a平行的直線. ∵a∥b′,a⊥α, ∴b′⊥α, 即經過同一點O的兩直線b、b′都與α垂直,這是不可能的,因此b∥a. 有了上述證明,師生可共同得到結論： 直線和平面垂直的性質定理 如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行,也可簡記為線面垂直,線線平行. ［師］下面給出點到面的距離: 從平面外一點引這個平面的垂線,這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離. 應明白,點到面的距離是一線段. 同學們思考例2,考慮其證法,特別是注意其轉化的思想. ［例2］已知一條直線l和一個平

6、面α平行,求證：直線l上各點到平面α的距離相等. 生依題思考片刻,師可指導生尋找解題途徑. ［師］要證明結論,需說明其上任兩點到面的距離相等,而這兩條相等的線段若是能使其夾在兩平行線間最好,為此要作輔助面完成證明. （9.4.2 B） 證明：經過直線l上任意兩點A、B分別引平面α的垂線AA′、BB′,垂足分別為A′、B′. ∵AA′⊥α,BB′⊥α, ∴∥BB′. 設經過AA′和BB′的平面為β,則β∩α=. ∵l∥α, ∴l(xiāng)∥. ∴A=B. 由A、B是直線l上任取的兩點,可知直線l上各點到平面α的距離相等. (以上證明學生在教師指導下完成) ［師］從整個證明過程

7、能否看出轉化思想的滲透? (在教師的指導下) ［生］從證明過程看出,這是一道空間圖形的問題,問題的求解關鍵是利用輔助面β,平面β起了一個橋梁作用,它將空間問題轉化為平面問題,即在同一平面內（β）,解決平行線間的平行線段相等的問題,這就容易多啦. ［師］說得很好.許多空間問題都需這樣轉化為平面問題,在以后的學習中,大家不妨體會該思想,感悟其意圖. 其次由該題可得下面結論: 一條直線和一個平面平行時,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫做這條直線和這個平面的距離. 而線面距離也是通過轉化為點面距離而完成的. Ⅲ.課堂練習 （一）P24 練習4. 已知A、B兩點在平面α的同側,

8、且它們與α的距離相等,求證直線AB∥α,并由此說明安裝日光燈時,怎樣才能使燈管與天花板、地板平行. 證明：作出點A、B到α的垂線段A、B. AA′BB′AB是平行四邊形 . 由此題得出結論,安裝日光燈時,應使燈管上兩任意點到天花板（或地板）的距離相等,實際中一般選這兩點為燈管的兩端點. (此題給我們啟示最多的應是：立體幾何可以解釋許多生活中的客觀現象,可以幫助我們認識到數學無處不在,數學可以使我們事事如意) （二）補充練習 （9.4.2 C） 1.已知直線a、b、c和平面β,則a∥b的充分條件是 A.a∥β,b∥β B.a⊥β,b⊥β C.a⊥c,b⊥c

9、 D.a與c、b與c所成的角相等 2.平面α外的點A到平面α內各點的線段中,以OA最短,那么OA所在直線與平面α的關系是 A.平行 B.垂直 C.在α內 D.不確定 3.如果平面外一直線上有兩點到這個平面的距離相等,則這條直線和這個平面的位置關系是 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 4.矩形ABEF和矩形EFCD不共面,已知EF=4,BD=5,求平行直線AB與CD之間的距離. 經學生考慮題目后,教師給出評述. 1.排除法找滿足題意的選項B. (對于選項A,平行于同一平面的兩直線可能相交,也可能異

10、面,故不一定推出a∥b.排除A. 對于選項C,因垂直于同一直線的兩直線可能異面,故排除C. 對于選項D,若a、b、c三直線能圍成三角形， 且a與c、b與c所成的角相等,則a與b不平行,排除D.故選B. 而選項B利用性質定理可驗證其正確) 2.此題也可用排除法找到正確選項B. (滿足題目的線段,其一個端點在平面外,故A、C應排除,因該線不會和平面平行,也不會在平面α內,而滿足OA最短的線段只有一條,故應選B.或依平面外一點和平面內各點的連線中垂線段最短,從而選B) 3.利用分類討論找選項C. (平面外的直線上有兩點到這個平面的距離相等,這條直線和這個平面的位置取決于點與平面的關系

11、,當這兩點在平面的同側時,直線和平面平行;當這兩點在平面的異側時,直線和平面相交) 4.(此題的解決主要是充分利用直線和平面垂直的判定及平行線間的距離完成) 解：因四邊形ABEF及EFCD都是矩形,故應有 EF⊥BE,EF⊥CE.而BE∩CE=E, 故EF⊥面BEC. 而AB∥EF,CD∥EF, 則AB⊥面BEC,CD⊥面BEC, BC面BEC. 那么,AB⊥BC,CD⊥BC, BC就是AB與CD間的距離, BC2=BD2－CD2=25－16=9, 即BC=3. Ⅱ.課時小結 1.能正確利用性質定理解題. 2.等價轉化思想在線面距離點面距離中的滲透. Ⅲ.課后作業(yè)

12、 （一）課本P29 習題9.4第8題. 如圖,m、n是空間兩條相交直線,l1、l2是與m、n都垂直的兩條直線,直線l與l1、l2都相交,求證：∠1=∠2. 證明：∵m、n是空間兩條相交直線, ∴m、n可確定平面α. ∵l1⊥m,l2⊥m,l1⊥n,l2⊥n, 故l1⊥α,l2⊥α. 那么l1∥l2. 又l與l1、l2都相交, 故∠1=∠2. (要解決此題,找平面α是關鍵,有了α才使l1、l2與α有垂直關系,進而推得l1∥l2.從而有∠1=∠2,其間滲透等價轉化思想,也要求有一定的空間想象能力) （二）1.預習內容 P24~P25. 2.預習提綱 （1）平面外一點和平面內各點連線構成的線段有幾種？ （2）這些線段之間的關系如何？ （3）直線和平面所成角的范圍、性質如何？ ●板書設計 9.4.2 直線和平面垂直的判定和性質（二） 3.直線和平面垂直的性質 例題及補充 練習求解 線面距離 練習、小結 點面距離 作業(yè)