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1、2022年高二數(shù)學(xué) 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修
參考練習(xí)題
1.如果曲線C上的點(diǎn)滿足方程F(x,y)=0,則以下說法正確的是( )
A.曲線C的方程是F(x,y)=0
B.方程F(x,y)=0的曲線是C
C.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)在曲線C上
D.坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)不在曲線C上
分析:判定曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,必須注意兩點(diǎn):(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上,即直觀地說“解不比點(diǎn)多”,稱為完備性,只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng),才能說曲線的方程,方程和曲線.
解:
2、由已知條件,只能說具備純粹性,但不一定具備完備性.故選D.
2.判斷下列結(jié)論的正誤,并說明理由.
(1)過點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x=0;
(2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為y=-2;
(3)到兩坐標(biāo)軸的距離面積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1;
(4)△ABC的頂點(diǎn)A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC中點(diǎn),則中線AD的方程為x=0.
分析:判斷所給問題的正誤,主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義,即考查曲線上的點(diǎn)的純粹性和完備性.
解:(1)滿足曲線方程的定義.
∴結(jié)論正確.
(2)因到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個(gè);y=2,即不具
3、備完備性.
∴結(jié)論錯(cuò)誤.
(3)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)為|x|·|y|=1,即xy=±1.
∴所給問題不具備完備性.
∴結(jié)論錯(cuò)誤.
(4)中線AD是一條線段,而不是直線,
∴x=0(-3≤y≤0),
∴所給問題不具備純粹性.
∴結(jié)論錯(cuò)誤.
3.方程(3x-4y-12)·[log2(x+2y)-3]=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3)、B(0,4)、C()、D(4,0)中的( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
分析:方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0,但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,
∴x
4、+2y>0.
解:由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,得x+2y>0.
∴A(0,-3)、C()不合要求.
將B(0,4)代入方程檢驗(yàn),不合要求.
將D(4,0)代入方程檢驗(yàn),合乎要求.
故選B.
4.已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,),C(4,-),D(3secθ, tanθ),其中在曲線5x2-9y2=45上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:由曲線上的點(diǎn)與方程的解的關(guān)系,只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,若滿足這個(gè)方程,說明這是這個(gè)方程的解,這個(gè)點(diǎn)就在該方程表示的曲線上.
解:將點(diǎn)A(-3,0)、B(0,)、C(4,-)、D
5、(3secθ, tanθ)代入方程5x2-9y2=45檢驗(yàn),只有點(diǎn)A和點(diǎn)B滿足方程.
故選B.
5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,它們的交點(diǎn)M(x0,y0),求證:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點(diǎn).(λ為任意常數(shù))
分析:只要將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程.
F1(x,y)+λF2(x,y)=0,看點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿足方程即可.
證明:∵M(jìn)(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn),
∴F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.
∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)
∴M(x0,y0)
6、在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲線上.
評(píng)述:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程.
●備課資料
參考練習(xí)題
1.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A(0,3)的距離等于它到定直線y=-1的距離,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
分析:依據(jù)求曲線方程的步驟求解.
解:設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)為M(x,y),作MN垂直于直線y=-1于點(diǎn)N,
則由|MN|=|AM|
得|y+1|=
整理:y=x2+1
∴所求軌跡方程為:y=x2+1.
如圖所示:
2.已知點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),(a∈R+),若動(dòng)點(diǎn)M
7、與兩定點(diǎn)A、B構(gòu)成直角三角形,求直角頂點(diǎn)M的軌跡方程.
分析:先依題意畫出草圖,幫助分析,然后按求曲線方程的步驟求解.
解:如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,y)
由AM⊥BM
得kAM·kBM=-1.
即x2+y2=a2
∵M(jìn)、A、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形
∴M、A、B三點(diǎn)不共線,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y≠0,從而得x≠±a.
∴所求軌跡的方程為:
x2+y2=a2(x≠±a)
3.已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a,點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
分析:因已知條件中未給定坐標(biāo)系,所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系,考慮到對(duì)稱性,由|AB|=2a,選A、B兩點(diǎn)所在的直線為
8、x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).A(-a,0),B(a,0),再求解.
解:如圖,以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系.
∵|AB|=2a.
∴設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y)
∵|MA|∶|MB|=2∶1
∶ =2∶1
=2
化簡,得(x-a)2+y2=a2
∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為
(x-a)2+y2=a2.
4.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離的平方和為122,|AB|=10,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
分析一:因兩定點(diǎn)A、B的距離|AB|=10,選A、B所在直線為x軸,原點(diǎn)為AB的中點(diǎn),建立坐標(biāo)系.
解法一:建立坐標(biāo)系,使AB在x軸上,原
9、點(diǎn)為AB的中點(diǎn),
∵|AB|=10,∴A(-5,0)、B(5,0)
設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,y)
依題意|PA|2+|PB|2=122,得
(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122.
化簡,x2+y2=36.
分析二:取A、B所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn),因|AB|=10,則B(10,0),然后依題設(shè)條件,列出方程.
解法二:建立直角坐標(biāo)系,使AB在x軸上,原點(diǎn)為A點(diǎn),
∵|AB|=10,則B(10,0),
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y).
依題意,得x2+y2+(x-10)2+y2=122
化簡:x2+y2-10x-11=0.
評(píng)述:不難發(fā)現(xiàn),在上面兩種解法中,由于選取直角坐標(biāo)系的
10、不同而導(dǎo)致曲線的繁簡程度不一.解法一中利用對(duì)稱性,取AB中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn),解法二中直接將線段AB的左端點(diǎn)取為坐標(biāo)系的原點(diǎn),解法一的方程比解法二的方程簡潔,但不能由此斷定任何情況下,取線段中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是最恰當(dāng)?shù)模厦胬?中,如取A(-,0),B(-,0),則曲線方程為x2+y2=a2.
●備課資料
參考練習(xí)題
1.求點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程.
分析:利用直接法列出方程.
解:設(shè)P(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn),
∵點(diǎn)P到F的距離比它到直線x+5=0的距離小1.
故點(diǎn)P到F(4,0)的距離與點(diǎn)P到直線x+4=0的距離|PD|相等
11、.
∴|PF|=|PD|
∴=|x-(-4)|
∴y2=16x.
2.過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A,l2交y軸于B,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.
分析一:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn),利用l1⊥l2,由k1·k2=-1求解.
解法一:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn),
∵M(jìn)為AB中點(diǎn),
∴A(2x,0),B(0,2y),
∵l1⊥l2且l1,l2過點(diǎn)P(2,4),
∴PA⊥PB
∴kPA·kPB=-1
∵kPA=(x≠1)
kPB=
∴· =-1
即:x+2y-5=0(x≠1)
當(dāng)x=1時(shí),A(2,0)、B(0,4),此時(shí)A
12、B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),它也滿足方程x+2y-5=0.
∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.
分析二:連結(jié)PM,由l1⊥l2,
∴△APB為直角三角形,
|PM|=|AB|
解法二:連結(jié)PM.
設(shè)M(x,y),
則A(2x,0),B(0,2y)
∵l1⊥l2,∴△PAB為直角三角形
∴|PM|=|AB|
即
化簡:x+2y-5=0
∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.
3.已知定點(diǎn)A(4,0)和圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B,點(diǎn)P分AB之比為2∶1,求點(diǎn)P的軌跡方程.
分析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),B(x0,y0)
由=2,找出x、y與x0、y0的關(guān)系.
利用
13、已知曲線方程消去x0、y0,得到x、y的關(guān)系.
解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)及圓上點(diǎn)B(x0,y0)
∵λ==2,
代入圓的方程x2+y2=4
得
即:(x-)2+y2=
∴所求軌跡方程為:(x-)2+y2=.
4.過不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)M(a,b)任作一直線,分別交x軸、y軸于A、B,求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程.
分析:利用平面幾何性質(zhì)求解.
解法一:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P(x,y)
作MC⊥y軸,PD⊥y軸,垂足分別為C、D,
則:CM=a,OC=b,DP=x,OD=DB=y
∵M(jìn)C∥PD
∴△MBC∽△PBD
∴
即(x≠0,y≠0)
故所求軌跡方程為:2xy-
14、bx-ay=0.
分析二:利用B、M、A三點(diǎn)共線得kMA=kMB求解.
解法二:設(shè)點(diǎn)A(m,0),B(0,n)
則線段AB的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足
m=2x,n=2y.
∵B、M、A共線
∴kMA=kMB ∴
得an-mn+mb=0.
由m=2x,n=2y
得ay-2xy+bx=0.
分析三:因AB直線過點(diǎn)M(a,b),設(shè)其方程為:y-b=k(x-a).將斜率k作參數(shù)求解.
解法三:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P(x,y),
過點(diǎn)M(a,b)的直線方程為:
y-b=k(x-a),(k≠0)
則A(a-,0),B(0,b-ak)
∴中點(diǎn)P的坐標(biāo)為:
消去k得所求方
15、程為:
2xy-bx-ay=0.
●備課資料
參考練習(xí)題
1.若直線l:y=x+b與曲線C:y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求b的取值范圍.
分析:將曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題來求解.
解:由
消去x得,得
2y2-2by+b2-1=0(y≥0) ①
由題設(shè)條件直線l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以將問題轉(zhuǎn)化為求方程①有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)數(shù)根.
∴
解得1≤b<.
∴所求b的取值范圍為1≤b<.
2.已知拋物線y=-x2+mx-1與以A(3,0),B(0,3)為端點(diǎn)的線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:由直線AB的方程為y=-x+
16、3,得線段AB的方程為:y=-x+3(0≤x≤3),由題設(shè)拋物線y=-x2+mx-1與線段AB:y=-x+3恰有一個(gè)公共點(diǎn),問題歸結(jié)為方程組
在0≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
解:線段AB方程為y=-x+3.(0≤x≤3).
代入拋物線方程得
x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) ①
問題歸結(jié)為方程x2-(m+1)x+4=0在[0,3]內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
令f(x)=x2-(m+1)x+4,
結(jié)合f(x)=x2-(m+1)x+4在區(qū)間[0,3]上的圖象可知.
(ⅰ)當(dāng)m=3時(shí),方程有兩相等實(shí)根,且對(duì)稱軸在區(qū)間[0,3]內(nèi).
(ⅱ)當(dāng)f(0)·f(3)≤0,即
17、4[9-3(m+1)+4]≤0
即m≥時(shí),方程恰有一實(shí)根在[0,3]內(nèi).
但當(dāng)m=時(shí),由方程①得x1=或x2=3,即方程①當(dāng)m=時(shí),有兩實(shí)根在區(qū)間[0,3]內(nèi),不合題意,舍去.
綜上所述,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為
m=3或m>.
3.曲線2y2+3x+3=0與曲線x2+y2-4x-5=0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解:由
①
②
得:2x2-11x-13=0.
即(2x-13)(x+1)=0.
將 x1=-1,x2=分別代入①,
得
即兩曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(-1,0).
∴應(yīng)選D
18、.
評(píng)述:由曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和它的方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知,兩條曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo),應(yīng)是由這兩條曲線的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解.方程組有幾個(gè)實(shí)數(shù)解,這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn).
4.給出下列曲線,其中與直線y=-2x-3有交點(diǎn)的所有曲線是( )
①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3
③ ④
A. ①③ B.②④
C.①②③ D.②③④
分析:如果不加深入思考,采用直線方程y=-2x-3分別與四個(gè)曲線方程分別聯(lián)立求交點(diǎn),那是何等的復(fù)雜、冗長,且易出現(xiàn)差錯(cuò).作為一個(gè)選擇題,這樣來處理,有些不恰當(dāng),如何解呢?
解:∵y=-2x-3可變形為4x+2y+6=0.顯然此直線與直線4x+2y-1=0平行.故排除A、C,將y=-2x-3代入 .并整理得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0.
解之得
∴應(yīng)選D
評(píng)述:本題考查曲線交點(diǎn),立足基礎(chǔ),設(shè)計(jì)巧妙 .一個(gè)一個(gè)求交點(diǎn)較繁且易出錯(cuò).只有分析判斷能力強(qiáng)、思維靈活、正反面結(jié)合,才能快速準(zhǔn)確地求得解答,本題對(duì)分析、判斷能力要求較高.