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1、2022年高二數(shù)學(xué) 第2章(第8課時)平面向量的數(shù)量積(2)教案 新人教A版必修4
教學(xué)目的:
⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件
⑶能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題
教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
授課類型:新授課
課時安排:1課時
教 具:多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量與,作=,=,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫與的夾角.
2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角是θ,則數(shù)量||||cosq
2、叫與的數(shù)量積,記作×,即有× = ||||cosq,
(0≤θ≤π).并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0
3.向量的數(shù)量積的幾何意義:
數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積
二、講解新課:
⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知兩個非零向量,,試用和的坐標(biāo)表示
設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么
,
所以
又,,
所以
這就是說:兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和 即
2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式
(1)設(shè),則或
(2)如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)
3.向量垂直的判定
設(shè),,則
4
3、.兩向量夾角的余弦()
cosq =
三、講解范例:
例1 設(shè) = (5, -7), = (-6, -4),求×
解: = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2
例2 已知A(1, 2),B(2, 3),C(-2, 5),求證:△ABC是直角三角形
證明:∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)
∴×=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴^
∴△ABC是直角三角形
例3 已知 = (3, -1), = (1, 2),求滿足× = 9與× = -4的向量
解:設(shè)= (t, s)
4、,
由 ∴= (2, -3)
例4 已知=(1,),=(+1,-1),則與的夾角是多少?
分析:為求與夾角,需先求及||·||,再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值.
解:由=(1,),=(+1,-1)
有·=+1+(-1)=4,||=2,||=2.
記與的夾角為θ,則cosθ=
又∵0≤θ≤π,∴θ=
評述:已知三角形函數(shù)值求角時,應(yīng)注重角的范圍的確定.
例5 如圖,以原點(diǎn)和A (5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△ABC,使DB = 90°,求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo)
解:設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x, y),則= (x, y),= (x-5, y-2)
∵^ ∴x(x-5) + y(y-2)
5、 = 0即:x2 + y2 -5x - 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29
由
∴點(diǎn)坐標(biāo)或;=或
例6 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,
求k值
解:當(dāng) = 90°時,×= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
當(dāng) = 90°時,×= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =
當(dāng)C= 90°時,×= 0,∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
四、課堂練習(xí):
五、小結(jié) 兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示長度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示
六、課后作業(yè):
七、板書設(shè)計(略)
八、課后記