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1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時(shí))大綱人教版必修
課時(shí)安排
4課時(shí)
從容說課
本節(jié)通過類比橢圓的幾何性質(zhì),結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的幾何性質(zhì),讓學(xué)生再一次體會(huì)用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法.
學(xué)生通過自學(xué),可以掌握雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等性質(zhì),對(duì)于雙曲線的漸近線的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)“漸近”兩個(gè)字的含義:當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線逐漸接近,接近的程度是無限的,或當(dāng)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P沿著雙曲線無限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時(shí),點(diǎn)P到這條直線的距離逐漸變小而無限接近于0.
本節(jié)例2的設(shè)計(jì),旨在讓學(xué)生利用雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)地解決實(shí)
2、際問題,例3則給出了雙曲線的第二定義(比值定義)及雙曲線準(zhǔn)線的方程,為解決問題提供了方便.
對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的掌握,仍是從直線與雙曲線的公共點(diǎn)展開的,通過直線與雙曲線的方程將其轉(zhuǎn)化為求方程解的個(gè)數(shù)問題,教學(xué)中應(yīng)指出:所得的方程不一定是一元二次方程,需要對(duì)其二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到,脫離了二次方程而去談?wù)摗骱透c系數(shù)的關(guān)系是毫無意義的.
●課 題
§8.4.1 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
雙曲線的范圍、對(duì)稱性(對(duì)稱軸、對(duì)稱中心)、頂點(diǎn)(截距)、實(shí)軸、虛軸的概念及雙曲線的漸近線與離心率.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.使學(xué)生理解并掌握
3、雙曲線的范圍.
2.使學(xué)生理解并掌握雙曲線的對(duì)稱性,明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的雙曲線的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.
3.使學(xué)生理解雙曲線的漸近線的定義,掌握雙曲線漸近線的方程,并能利用雙曲線的漸近線較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖.
4.使學(xué)生掌握離心率的定義及其幾何意義.
(三)德育滲透目標(biāo)
使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系,數(shù)與形的辯證統(tǒng)一.
●教學(xué)重點(diǎn)
雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法.
●教學(xué)難點(diǎn)
雙曲線的漸近線
●教學(xué)方法
指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法
雙曲線的幾何性質(zhì)討論的內(nèi)容,除漸近線外,與橢圓的幾何性質(zhì)類同,對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法,學(xué)生已經(jīng)初步掌握,在教師的指導(dǎo)下,自學(xué)雙曲線的幾何
4、性質(zhì)不會(huì)有什么問題,同時(shí)通過學(xué)生的自學(xué),學(xué)生的親身實(shí)踐與體驗(yàn),對(duì)于學(xué)生掌握雙曲線的幾何特征及問題的研究方法,能起到加深印象與理解的作用,達(dá)到突破難點(diǎn)、鞏固所學(xué)知識(shí)的目的.
●教具準(zhǔn)備
投影片一張
本課時(shí)教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱(記作§8.4.1 A)
多媒體課件一個(gè):
先作出中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,其次,隨著內(nèi)容的討論至頂點(diǎn)時(shí),標(biāo)出A1、A2、B1、B2點(diǎn),第三,討論到實(shí)軸、虛軸概念時(shí),讓線段A1A2、B1B2閃動(dòng),第四,到漸近線時(shí),按要求作出矩形,作出對(duì)角線,并隨著x的增大(縮?。┭娱L(zhǎng)漸近線、雙曲線,讓學(xué)生觀察曲線逐步接近直線.
●教學(xué)過程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
[師]
5、前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì):范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率,請(qǐng)同學(xué)們回憶一下,對(duì)于橢圓(a>b>0)其幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法.
[生]橢圓的范圍是|x|≤a,|y|≤b(教師板書)
[師]討論方法是什么?
[生]因兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于1,那么由方程可知,每一個(gè)大于1,即小于或等于1,據(jù)此得到橢圓的范圍.
[師]請(qǐng)接著談一下其他性質(zhì).
[生]對(duì)稱性:橢圓關(guān)于x 軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱,原點(diǎn)是橢圓的中心.
頂點(diǎn):橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn),其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(±a,0),(0,±b)
離心率:e=(e∈(0,1))
(學(xué)生回答,教師板書)
[師]在橢圓頂點(diǎn)的研究中,我們給出
6、了長(zhǎng)軸、短軸的概念,明確了長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng),以及a、b、c的幾何意義,誰來補(bǔ)充一下?
[生]橢圓在同一條對(duì)稱軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段,較長(zhǎng)的是橢圓的長(zhǎng)軸,較短的是橢圓的短軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2a,短軸長(zhǎng)是2b,a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng),b是短半軸的長(zhǎng),c是半焦距.
[師]很好!離心率對(duì)橢圓的扁圓情況有怎樣的影響呢?
[生]0<e<1,當(dāng)e越接近1時(shí),c越接近于a,b=越小,橢圓就越扁;當(dāng)e越接近于0時(shí),c越小,b=越接近于a,橢圓就越接近于圓.
[師]好!橢圓的對(duì)稱性、離心率、頂點(diǎn)三種性質(zhì)的討論方法是什么呢?
[生]討論橢圓的對(duì)稱性時(shí),用-y代y,方程不變,則橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱;用-x代x,方程不變,則橢圓
7、關(guān)于y軸對(duì)稱;同時(shí)用-y代y,-x代x,方程不變,則橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
討論離心率時(shí),由離心率的定義,得到了離心率的范圍.
討論頂點(diǎn)時(shí),由頂點(diǎn)的定義及橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,令x=0,得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),令y=0得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),據(jù)此可寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo).
[師]很好!同學(xué)們對(duì)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),掌握得基本熟練.下面,我們用類比的方法來研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(板書課題)
Ⅱ.講授新課
[師]上節(jié)課下課時(shí),老師請(qǐng)同學(xué)們依照研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的方法和步驟去試推雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),完成了這個(gè)作業(yè)的同學(xué)請(qǐng)舉手.
[生]舉手
[師]好!請(qǐng)放下,哪位同學(xué)對(duì)照橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的順序,來談一下雙
8、曲線(a>0,b>0)的幾何性質(zhì),并談?wù)勥@個(gè)性質(zhì)的討論方法.
[生甲]范圍,|x|≥a,
即x≥a,x≤-a
討論方法是由標(biāo)準(zhǔn)方程可知與一個(gè)非負(fù)數(shù)的差等于1,所以≥1,由此推得x的范圍.y除受到式子本身的制約外,沒有任何限制,說明雙曲線位于x≥a與x≤-a的區(qū)域內(nèi).
[師]好,請(qǐng)另一位同學(xué)接著說.
[生乙]對(duì)稱性,雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的,坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸,原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心,即雙曲線的中心.
討論方法是以-y代y,方程不變,所以雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱;以-x代x,方程不變,所以雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;同時(shí)以-y代y,以-x代x,方程不變,所以雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
9、
[生丙]頂點(diǎn),只有兩個(gè),即(±a,0).
討論方法是令y=0,得x=±a,因此雙曲線和它的一條對(duì)稱軸——x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
A1(-a,0),A2(a,0),所以雙曲線的頂點(diǎn)是(±a,0).
令x=0時(shí),解得y2=-b2,無實(shí)數(shù)解,說明雙曲線與它的另一條對(duì)稱軸——y軸沒有交點(diǎn),故雙曲線頂點(diǎn)只有兩個(gè).
[師]請(qǐng)注意:雙曲線(a>0,b>0)與y軸沒有交點(diǎn),但我們也把B1(0,-b),B2(0,b)畫在y軸上.(打出多媒體課件)
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,實(shí)軸的長(zhǎng)為2a,虛軸的長(zhǎng)為2b,a是實(shí)半軸的長(zhǎng),b是虛半軸的長(zhǎng),焦點(diǎn)始終在實(shí)軸上.下面,請(qǐng)一
10、位同學(xué)來談一下離心率.
[生丁]雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=叫做雙曲線的離心率.e=且e∈(1,+∞),這是因?yàn)閏>a>0.
[師]離心率對(duì)雙曲線張口的大小有什么影響?為搞清這個(gè)問題,我們先來看雙曲線特有的另外一個(gè)性質(zhì)——漸近線.
經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y=±b,這四條直線圍成一個(gè)矩形(打出多媒體課件),矩形的兩條對(duì)角線所在的直線的方程是——(教師可拉長(zhǎng)語氣,等待學(xué)生作答)y=±x,從圖中可以看出,雙曲線的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線逐漸接近.我們觀察到的這個(gè)結(jié)論可靠不可靠呢?下面,我們來進(jìn)行證明.
先取雙曲線在第一象限的部分進(jìn)行證明,這一部
11、分的方程可寫成
y=(x>a)
設(shè)M(x,y)是它上面的點(diǎn),N(x,y)是直線y=x上與M有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn),則y=x
∵y==
∴|MN|=Y-y=
∴|MN|=
∴|MN|=
設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線y=x的距離,則|MQ|<|MN|,當(dāng)x逐漸增大時(shí),|MN|逐漸減小,x無限增大,|MN|接近于0,|MQ|也接近于0,就是說,雙曲線在第一象限部分從射線ON的下方逐漸接近于ON.
在其他象限內(nèi),也可以證明類似的情況.
我們把兩條直線y=±x叫做雙曲線的漸近線.
在方程中,如果a=b,那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)都等于2a,這時(shí)四條直線x=±a,y=
12、±a圍成正方形.漸近線方程為y=±x,它們互相垂直,并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角,實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線.
利用雙曲線的漸近線,可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖,具體做法:畫出雙曲線的漸近線,先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置,然后再過這兩個(gè)點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性畫出完整的雙曲線.
有了雙曲線的漸近線,我們?cè)賮碛懻撾x心率對(duì)雙曲線張口大小的影響,就方便了.
由等式c2-a2=b2可得
由上式可以看出,e越大,也越大,即漸近線y=±x的斜率的絕對(duì)值越大,這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹
13、逐漸變得開闊,由此可知,雙曲線的離心率越大,它的張口就越大.
Ⅲ.例題分析
[例1]求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)是多少?虛半軸長(zhǎng)呢?焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程各是什么?
[師]要解決這個(gè)問題,首先需要怎樣做?
[生]將所給的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.
[師]好,下面請(qǐng)同學(xué)們完成此題.
(學(xué)生在下面做,請(qǐng)一位同學(xué)在黑板上板書)
(教師在巡視時(shí)可提出問題:化成標(biāo)準(zhǔn)方程后,可以看出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上呢?或者雙曲線的實(shí)軸在哪個(gè)坐標(biāo)軸上?寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程時(shí)一定要注意?。?
(學(xué)生解答之后,教師講解,也許漸近線方程會(huì)出錯(cuò),要告訴學(xué)生怎樣正確地寫出漸近線方程)
[師]根據(jù)雙曲線的
14、標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程的方法有兩種:
1.畫出以實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)為鄰邊的矩形,寫出其對(duì)角線方程,特別要注意對(duì)角線的斜率的確定.
2.將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為0,即得雙曲線的漸近線方程,再據(jù)此推出y=kx的形式.
另外需要注意的是:若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程則可以寫出其漸近線方程,但若已知雙曲線的漸近線方程,則不能僅據(jù)此確定a、b的值,只能確定a、b的關(guān)系,這點(diǎn)與離心率是類同的.
Ⅳ.課堂練習(xí)
課本P113練習(xí)1、5
1.求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程:
(1)x2-8y2=32
(2)9x2-y2=81
(3)x2-y2=-4
(4)
15、答案:(1)2a=8,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),(-4,0);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(-6,0);e=;漸近線方程為y=±x.
(2)2a=6,2b=18;頂點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),(-3,0);焦點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),(-3,0);e=;漸近線方程為y=±3x.
(3)2a=4,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),(0,-2);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(0,-2);離心率e=;漸近線方程為x=±y.
(4)2a=10,2b=14;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,5),(0,-5);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),(0,-);離心率e=;漸近線方程為y=±x.
5.當(dāng)漸近線的方程為y=±x時(shí),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是嗎?如果
16、不一定,舉出一個(gè)反例.
答案:不一定是
反例:雙曲線的準(zhǔn)線方程為:
y=±x.
Ⅴ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課我們討論了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線.為了加深理解和掌握,大家可以與橢圓對(duì)照,比較異同點(diǎn),準(zhǔn)確把握,同時(shí),請(qǐng)同學(xué)們寫出焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程.
Ⅵ.課后作業(yè)
(一)課本P113習(xí)題8.4 1、5、6
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:課本P111例2、例3
2.預(yù)習(xí)提綱:
(1)解有實(shí)際意義的題目關(guān)鍵是什么?
(2)不清楚雙曲線焦點(diǎn)位置時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式?是怎樣的?
(3)雙曲線的比值定義是什么?
(4)怎樣的直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線?
(5)對(duì)于確定的雙曲線,它有幾條準(zhǔn)線?
(6)中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,它的準(zhǔn)線方程是怎樣的?
●板書設(shè)計(jì)
§8.4.1 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(a>b>0)
范圍
對(duì)稱性
頂點(diǎn)
離心率
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(a>0,b>0)
范圍
對(duì)稱性
頂點(diǎn)
離心率
漸近線
例1
練習(xí)
小結(jié)