《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 3 三角函數(shù)與平面向量教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 3 三角函數(shù)與平面向量教學(xué)案 理（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.三角函數(shù)與平面向量 ■要點重溫…………………………………………………………………………· 1．三角函數(shù)的定義： 在平面直角坐標系中，設(shè)α的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點的距離是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 特別地，當(dāng)r＝1時，sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝. [應(yīng)用1]　已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________． [答案]?。? 2．弧長公式：l＝|α|R，扇形面積公式：S＝lR＝|α|R2,1弧度(1 rad)＝≈57.3°. [應(yīng)用2]　已知扇形的周長為8 cm

2、，圓心角為2 rad，求該扇形的面積． [解]　設(shè)扇形的半徑為r, 弧長為l，則有，解得 . 故扇形的面積為S＝rl＝4 cm2. 3．關(guān)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，( A，ω>0) ①五點法作圖； [應(yīng)用3]　函數(shù)f(x)＝sin x＋2|sin x|, x∈(0,2π)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是________． [答案]　(1,3)．(要作出y＝f(x)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想求解. ) ② 周期T＝.一般來說，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．如y＝sin2x, y＝|cos x|，但y＝|tan x|的周期是π，y＝|sin x|

3、＋|cos x|的周期是；函數(shù)y＝sin(x2), y＝sin|x|都不是周期函數(shù)． [應(yīng)用4]　函數(shù)y＝|sin x|cos x－1的最小正周期與最大值分別為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804168】 [解析]　y＝ 作出其圖象(圖略)知原函數(shù)的最小正周期為2π，最大值為－. [答案]　2π；－ ③ 單調(diào)性和對稱性： y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)； 對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)；對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)． y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

4、 對稱軸為x＝kπ(k∈Z)；對稱中心為(kπ＋，0)(k∈Z)． y＝tan x的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)；對稱中心為(k∈Z)． [應(yīng)用5]　函數(shù)f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的單調(diào)遞減區(qū)間為________． [解析]　∵x∈[－π，0]，∴x－∈，令z＝x－，則z∈， ∵正弦函數(shù)y＝sin z在上單調(diào)遞增， ∴由－≤x－≤－得：－≤x≤0. ∴函數(shù)f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的單調(diào)遞增區(qū)間為. ∴函數(shù)f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的單調(diào)遞減區(qū)間為. [答案]　 [應(yīng)用6]　求函數(shù)y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x的最小正周期和最小值

5、；并寫出該函數(shù)在 [0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間． [解]　∵函數(shù)y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x ＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋sin2x ＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)． 故該函數(shù)的最小正周期是π. 當(dāng)2x－＝2kπ－時，即x＝kπ－時，y有最小值． 由于函數(shù)y＝2sin，∴ymin＝－2， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z. 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 令k＝0時，－ ≤x≤. 又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， k＝1時， π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π. 故該函數(shù)的最小正周期是π；最小值是－2

6、；單調(diào)遞增區(qū)間是，. ④ 變換： y＝sin xy＝siny＝sin y＝sin xy＝sin(2x)y＝sin 你知道上述兩種變換過程的區(qū)別嗎？ [應(yīng)用7]　要得到函數(shù)y＝cos x的圖象，只需將函數(shù)y＝sin的圖象上所有的點(　　) A．橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度 B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度 C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度 D．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度 [解析]　將函數(shù)y＝sin(2x＋)圖象上所有的點的橫坐標伸長到原

7、來的2倍(縱坐標不變)，得函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象；再向左平行移動個單位長度后便得y＝sin(x＋＋)＝cos x的圖象．故選C. [答案]　C [應(yīng)用8]　將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804169】 A．　　 B． C．0 D．－ [解析]　y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin， 由于所得函數(shù)為偶函數(shù)，則 f(0)＝sin＝±1， φ＋＝kπ＋?φ＝kπ＋，k∈Z，取k＝0得φ＝，故選A. [答案]　A ⑤用待定系數(shù)法求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式．

8、 由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定ω，由圖象上“特殊點”的坐標來確定φ. 特別提醒：將點的坐標代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點．“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可． [應(yīng)用9]　已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的圖象如圖4所示，則φ＝________. 圖4 [解析]　由圖象可得T＝2＝π＝，解之得ω＝.將代入y＝sin，得sin＝－1，則π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z. 又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝π. [答案]　π. 4．三角恒等變換的切入點

9、 (1)角的變換：可利用和、差、倍、半角公式； (2)名的互換：誘導(dǎo)公式、正切化正余弦公式； (3)次的變換：利用升、降冪公式； (4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式． 值得注意的是： ①在三角恒等變換中，要特別注意角的各種變換．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β， ＝－； [應(yīng)用10]　已知sin(－α)＝，則sin(π＋2α)＝________. [解]?。?(提示：設(shè)－α＝β) ②注意sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者間的關(guān)系． [應(yīng)用11]　已知θ∈，sin θ－cos θ＝，求的值． [解]?。剑剑剑? 因為θ∈，sin

10、θ－cos θ＝，所以sin θcos θ＝，sin θ＋cos θ＝，所以原式＝. ③在三角函數(shù)的求值問題中，要特別關(guān)注角的范圍，通常需要結(jié)合已知的三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍，以確定所求值的符號，這是此類問題中的難點． [應(yīng)用12]　設(shè)α為第四象限的角，若＝，則tan2α＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804170】 [解析]　∵＝＝＝cos2α＋2cos2α＝2cos2α＋1＝∴cos2α＝.又∵α為第四象限角，即2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z， ∴4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，k∈Z，即2α為第三、四象限角． ∴sin2α＝－＝－＝－. ∴tan2α＝＝＝－

11、. [答案]?。? ④注意二倍角公式的變形，如： sin2α＝，cos2α＝. 輔助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝. [應(yīng)用13]　已知函數(shù)f(x)＝sincos＋cos2 . (1) 將f(x)寫成Asin(ωx＋φ)＋k的形式．并求其圖象對稱中心的橫坐標； (2) 如果△ABC的三邊，a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域． [解]　(1)f(x)＝sin＋， 由sin＝0，即x ＋＝kπ(k∈Z)． 得x＝π，k∈Z. 即對稱中心的橫坐標為π，k∈Z. (2)由已知b2＝ac，cos x

12、＝＝ ＝－≥， 又x＝B∈(0，π)， ∴0＜x≤， ∴x＋∈(，]． ∴sin＜sin≤1. ∴

13、sin A＋sin C的值． [解]　(1)由cos Asin B＋(c－sinA)cos(A＋C)＝0， 得cos Asin B－(c－sin A)cos B＝0， 即sin(A＋B)＝ccos B，sin C＝ccos B，＝cos B， 因為＝，所以＝cos B， 即tan B＝，B＝. (2)由S＝acsin B＝，得ac＝2， 由b＝及余弦定理得()2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以a＋c＝3，所以sin A＋sin C＝(a＋c)＝. (4)解三角形時，可能會出現(xiàn)多解的情況，一定要注意檢驗．比如，在已知兩邊a，b及一邊的對

14、角A的情況下，如果A為銳角，那么可能出現(xiàn)以下情況(如圖5). 圖5 a＜bsin A　　a＝bsin A　　bsin A＜a＜b　　a≥b 無解　　　　一解　　　　 　兩解　　　一解 [應(yīng)用15]　在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，則解此三角形的結(jié)果有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804171】 A．無解 B．一解 C．兩解 D．一解或兩解 [解析]　由正弦定理知sin C＝＝，又由c>b>csin B知，C有兩解．也可依已知條件，畫出△ABC(圖略)，由圖知有兩解．故選C. [答案]　C 6．向量共線基本定理：a∥b?存在實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)?

15、x1y2－x2y1＝0 [應(yīng)用16]　若a＝(2，－2)，則與a平行的單位向量的坐標為________． [答案]　， 7．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 特別地，＝λ1＋λ2，則λ1＋λ2＝1是三點P，A，B共線的充要條件． [應(yīng)用17]　如圖6，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 圖6 [解析]　由B，H，C三點共線，可令＝x＋(1－x).又M是AH的中點，所以＝＝x＋(1－x).又＝λ＋μ

16、，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝. [答案]　 8．夾角與數(shù)量積的關(guān)系 (1)當(dāng)θ為銳角時，a·b＞0，且a、b不同向，a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件； (2)當(dāng)θ為直角時，a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a⊥b，還可能a＝0或b＝0. (3)當(dāng)θ為鈍角時，a·b＜0，且a、b不反向，a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件． [應(yīng)用18]　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________． [解析]　由θ為銳角，得a·b＞0，且a、b不同向． ∴0<≠1，∴，解得 ∴λ的取值范圍是{λ|λ>－且λ≠2}． [答

17、案]　{λ|λ>－且λ≠2} 9．解決向量問題有兩條途徑： 數(shù)的角度：①利用平面向量基本定理，用兩個基向量表示所求向量； ②建系，利用坐標運算． 形的角度：利用向量運算的幾何意義． [應(yīng)用19]　如圖7在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝2，D為BC邊上一點，＝2，則·＝________. 圖7 [答案]　 10．向量中常用的結(jié)論： (1)＝λ＋μ (λ，μ為實數(shù))，若λ＋μ＝1，則三點A、B、C共線； (2)在△ABC中，若D是BC邊的中點，則＝(＋)； (3)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)．若||＝||＝||，則O為△ABC的外心；若＋＋＝0，則N

18、為△ABC的重心；若·＝·＝·，則P為△ABC的垂心． [應(yīng)用20]　已知O是邊長為1的正三角形ABC的中心，則(＋)·(＋)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804172】 [解析]　取邊長為1的等邊△ABC的邊AB的中點為D，邊AC的中點為E， 則＋＝2，＋＝2， 而由等邊三角形的性質(zhì)可得，OA＝2OD，OD⊥AB， 所以∠AOD＝， 同理可得∠AOE＝， 再根據(jù)OD＝OE＝·＝，可得(＋)·(＋)＝2·2＝4·＝4××cos＝－. [答案]　－ ■查缺補漏…………………………………………………………………………· 1．點A(sin 2 018°，cos 2

19、018°)位于(　　) A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[因為sin2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°<0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos 38°<0，所以點A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，選C.] 2．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) A. B． C. D． A　[(a－b)⊥(3a＋2b)?(a－b)·(3a＋2b)＝0?3a2－2b2－a·b＝0?a·b＝b2. ∴cos〈a，b〉＝＝＝?〈a

20、，b〉＝.選A. 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，則sin B為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804173】 A. B． C. D． A　[因為bsin B－asin A＝asin C，所以b2－a2＝ac， ∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝4a2－ac＝3a2， ∴cos B＝＝＝， 由于0

21、)＝sin(2x＋φ)向右平移個單位得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin2x－＋φ，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.因為0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值為sin＝－，故選D.] 5．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為(　　) A． B． C． D．－ C　[∵cos C＝＝，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2. ∴cos C≥. ∴cos C的最小值為.] 6．如圖8，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠

22、A＝60°，點M在AB邊上，且AM＝AB，則·等于(　　) 圖8 A．－ B． C．－1 D．1 D　[＝＋＝＋， 又＝＋， 所以·＝(＋)·(＋) ＝2＋2＋· ＝1＋－· ＝－||·||cos 60° ＝－×1×2×＝1.] 7．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖9所示，其中A，B兩點之間的距離為5，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804174】 圖9 A．[6k－1,6k＋2](k∈Z) B．[6k－4,6k－1](k∈Z) C．[3k－1,3k＋2](k∈Z) D．[3k－4,3k－1](k∈

23、Z) B　[∵|AB|＝5，|yA－yB|＝4，∴|xA－xB|＝3，即＝3，∴T＝＝6，∴ω＝. ∵f(x)＝2sin過點(2，－2)， 即2sin＝－2，∴sin＝－1， 又∵0≤φ≤π，∴＋φ＝，解得φ＝， ∴f(x)＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得6k－4≤x≤6k－1(k∈Z)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6k－4,6k－1](k∈Z)．故選B.] 8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，c＝4，·＝5，sin C＋sin A－4sin B＝0，則cos A＝(　　) A. B． C. D．

24、 C　[由題意O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點， 可得：＝(＋)，∵·＝5，可得 ·(＋)＝(·)＋(·)＝5， ∴＝，同理＝，∴＋＝5， 即＋＝5；∵c＝4，∴b＝2， 又∵sin C＋sin A－4sin B＝0，∴4b－c＝a，∴a＝4， 由余弦定理可得：cos A＝＝，故選C. ] 9．已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則cos β＝________. 　[∵0<α<且cos α＝

25、 β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.] 10．當(dāng)0＜x＜時，函數(shù)f(x)＝的最小值為________． [解析]　∵f(x)＝＝＋4tan x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)tan x＝時取等號，所以最小值為4. [答案]　4 11．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表： x x1 x2 x3 ωx＋φ 0 π 2π Asin(ωx＋φ)＋B 1 4 1 －2 1 (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若

26、<α<π，f＝，求f的值. 【導(dǎo)學(xué)號：07804175】 [解]　(1)由題意可得，即. 由題意可得，即 ∴函數(shù)f(x)的解析式為：f(x)＝3sin＋1 (2)由f＝可得3sin＋1＝，化簡得sin＝， ∵f＝3sin＋1 ＝3sin＋1 ＝－3sin＋1 ＝－6sin·cos＋1. 又∵α∈，∴α＋∈， ∴cos＝－， f＝－6sincos＋1＝－6××＋1＝. 12．(2017·青島模擬)已知向量，a＝，b＝，實數(shù)k為大于零的常數(shù)，函數(shù)f(x)＝a·b，x∈R，且函數(shù)f(x)的最大值為. (1)求k的值； (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所

27、對的邊，若