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1、2022年(新課程)高中數(shù)學《第三章 三角恒等變換》模塊檢測 新人教A版必修4
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.若cos θ>0,且sin 2θ<0,則角θ的終邊所在的象限是( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 sin 2θ=2sin θcos θ<0,又cos θ>0,
∴sin θ<0,∴θ是第四象限角.
答案 D
2.函數(shù)y=sin x的值域是( ).
A.[-1,1] B.
C. D.
答案 B
3.已知|a|=8,e為單位向量,
2、當它們的夾角為時,a在e方向上的投影為( ).
A. B.- C.4 D.-4
解析 a在e的方向上的投影為|a|cos =8×=-4.
答案 D
4.下列關(guān)系式中,不正確的是( ).
A.sin 585°<0 B.tan(-675°)>0
C.cos(-690°)<0 D.sin 1 010°<0
解析 585°=360°+225°是第三象限角,則sin 585°<0;-675°=-720°+45°,是第一象限角,
∴tan(-675°)>0;1 010°=1 080°-70°,是第
3、四象限角,
∴sin 1 010°<0;而-690°=-720°+30°是第一象限角,
∴cos(-690°)>0.
答案 C
5.函數(shù)y=2sin(3x+φ)的一條對稱軸為x=,則φ=( ).
A. B. C. D.-
解析 由y=sin x的對稱軸為x=kπ+(k∈Z),
所以3×+φ=kπ+(k∈Z),
得φ=kπ+(k∈Z).
又|φ|<,所以k=0,φ=,故應選C.
答案 C
6.已知D是△ABC的邊BC上的一點,且BD=BC,設=a,=b,則等于( ).
A.(a-b) B.(b-
4、a)
C.(2a+b) D.(2b-a)
解析?。剑剑剑?-)=+=a+b,故選C.
答案 C
7.已知a,b均為單位向量,且它們的夾角為60°,那么|a+3b|等于( ).
A. B. C. D.
解析 本題若直接求|a+3b|則較為困難,因此解答時可依據(jù)公式|a|=先求(a+3b)2.
因為|a|=1,|b|=1,且它們的夾角為60°,
故a·b=cos 60°=,
所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+3+9=13,
即|a+3b|=,故應選C.
答案 C
8.計算2sin
5、14°·cos 31°+sin 17°等于( ).
A. B.- C. D.-
解析 原式=2sin 14°cos 31°+sin(31°-14°)
=sin 31°cos 14°+cos 31°sin 14°=sin 45°=.
答案 A
9.設向量a=(cos 25°,sin 25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實數(shù),且c=a+tb,則|c|的最小值為( ).
A. B.1 C. D.
解析 c=a+tb=(cos 25°,si
6、n 25°)+(t sin 20°,tcos 20°)
=(cos 25°+tsin 20°,sin 25°+tcos 20°),
∴|c|=
==
=,
∴當t=-時,|c|最小,最小值為.
答案 C
10.設△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),則C的值為( ).
A. B.
C. D.
解析 ∵m·n=sin Acos B+cos Asin B
=sin(A+B)=1+cos(A+B),
∴sin(A+B)-cos(A+B)=sin C+
7、cos C
=2sin=1.
∴sin=,
∴+C=π或+C=(舍去),∴C=π.
答案 C
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上).
11.若=-,則sin α+cos α=________.
解析 原式可化為
=
=-,∴sin α+cos α=.
答案
12.已知向量m=(sin x,cos x),p=(2,1).若m∥p,則sin x·cos x=________.
解析 ∵m∥p,∴sin x=2cos x,tan x=2,
∴sin x·cos x===.
答案
13.若向量a與b不共線,a·b≠0,且c=a-·b
8、.
則向量a與c的夾角為________.
解析 ∵a·c=a·a-·b·a=a·a-a·a=0,
∴a⊥c,即a與c的夾角為90°.
答案 90°
14.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan(α+)的值為________.
解析 tan(α+)=tan
===.
答案
三、解答題(本大題共5小題,共54分,解答時應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟)
15.(10分)對任意實數(shù)x和整數(shù)n,已知f(sin x)=sin[(4n+1)x],求f(cos x).
解 f(cos x)=f=sin
=sin=sin
=cos[(4n+1)x].
16.(10
9、分)已知a,b不共線,=2a+kb,=a+3b,=2a-b,若A,B,D三點共線,求實數(shù)k的值.
解 ∵=+=-+=a-4b,
而a與b不共線,∴≠0.
又∵A,B,D三點共線,∴,共線.
故存在實數(shù)λ,使=λ,即2a+kb=λa-4λb.
又∵a與b不共線,
∴由平面向量基本定理,得?k=-8.
17.(10分)已知α為銳角,且sin α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解 (1)因α為銳角,且sin α=,∴cos α==.
∴=
==20.
(2)∵tan α==,∴tan===.
18.(12分)設a=,b=,若a∥b,求銳角α的值.
解 ∵a=
10、,b=,且a∥b,
∴×-cos αsin α=0,即sin αcos α=.
由,
得sin α+cos α=
= =,
∴sin α、cos α是方程x2-x+=0的兩根.
解得,或
又α∈,∴α=或.
19.(12分)已知向量b=(m,sin 2x),c=(cos 2x,n),x∈R,f(x)=b·c,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1)和.
(1)求m、n的值;
(2)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在x∈上的最小值;
解 (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x,
∵f(0)=1,∴m=1.
∵f=1,∴n=1.
(2)f(x)=cos 2x+sin 2x=sin,
∴f(x)的最小正周期為π.
∵x∈,∴≤2x+≤.
∴當x=0或x=時,f(x)的最小值為1.