2022年高三數(shù)學大一輪復習 3.3導數(shù)的應用(二)教案 理 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 3.3導數(shù)的應用(二)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值等綜合問題;2.利用導數(shù)研究方程根的個數(shù),證明不等式或不等式恒成立問題;3.利用導數(shù)解決實際問題. 復習備考要這樣做 1.理解數(shù)形結合思想、轉化思想在導數(shù)中的應用;2.會建立函數(shù)模型解決不等式問題、實際問題等. 1. 不等式問題 (1)證明不等式時,可構造函數(shù),將問題轉化為函數(shù)的極值或最值問題. (2)求解不等式恒成立問題時,可以考慮將參數(shù)分離出來,將參數(shù)范圍問題轉化為研究新函數(shù)的值域問題. 2. 研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點,歸
2、根到底還是研究函數(shù)的性質,如單調性、極值,然后通過數(shù)形結合的思想找到解題思路,因此使用的知識還是函數(shù)的單調性和極值的知識. [難點正本 疑點清源] 1.利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用. 2.將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉化為函數(shù)的單調性、極值問題來處理. 1. 函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間,則a的取值范圍是__________. 答案 (-∞,0) 解析 ∵f′(x)=3ax2+1,依題意得f′(x)=3ax2+1有兩個不相等的實根,∴a<0. 2. 若函數(shù)f(x)=x+asin x在R上遞
3、增,則實數(shù)a的取值范圍為________.
答案 [-1,1]
解析 ∵f′(x)=1+acos x,∴要使函數(shù)f(x)=x+asin x在R上遞增,則1+acos x≥0對任意實數(shù)x都成立.
∵-1≤cos x≤1,
①當a>0時,-a≤acos x≤a,∴-a≥-1,∴0
4、x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)·f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).
4. 若f(x)=,00,即f′(x)>0,
∴f(x)為增函數(shù),∴f(a) 5、C.(2,3)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
答案 A
解析 由題圖知,f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,又f(-2)=1,f(3)=1,所以所求不等式等價于-2 6、
令f′(x)=0,得x=ln 2,于是當x變化時,
f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
單調遞減
2(1-ln 2+a)
單調遞增
故f(x)的單調遞減區(qū)間是(-∞,ln 2],單調遞增區(qū)間是[ln 2,+∞),
f(x)在x=ln 2處取得極小值,極小值為
f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).
(2)證明 設g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知當a>ln 2-1時 7、,g′(x)的最小值為
g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.
于是對任意x∈R,都有g′(x)>0,
所以g(x)在R上單調遞增.
于是當a>ln 2-1時,對任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
探究提高 利用導數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后根據函數(shù)的單調性,或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0,其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么時候可以等于零,這往往就是解決問題 8、的一個突破口.
當0 9、2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
思維啟迪:(1)求導數(shù)f′(x)→判斷f′(x)>0或f′(x)<0→確定單調性.
(2)根據單調性→求f(x)在[1,e]上的最小值→列方程求解.
(3)f(x) 10、(1)=-a=,∴a=-(舍去).
②若a≤-e,則x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).
③若-e0,∴f(x)在(-a,e)上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-.
綜上所述,a=-.
(3)∵f(x) 11、-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,
h′(x)=-6x=.
∵x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
∴h(x) 12、數(shù)a的取值范圍是__________.
答案 [4,+∞)
解析 當x∈(0,1]時不等式ax3-3x+1≥0可化為
a≥,設g(x)=,x∈(0,1],
g′(x)==-,
g′(x)與g(x)隨x的變化情況如下表:
x
g′(x)
+
0
-
g(x)
4
因此g(x)的最大值為4,則實數(shù)a的取值范圍是[4,+∞).
題型三 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法
例3 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m 13、的取值范圍.
思維啟迪:分別求出f(x)的極大、極小值,使y=m界于極大值與極小值之間.
解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當a<0時,對x∈R,有f′(x)>0,
∴當a<0時,f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞).
當a>0時,由f′(x)>0,解得x<-或x>.
由f′(x)<0,解得- 14、=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的單調性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,
結合如圖所示f(x)的圖象可知:
實數(shù)m的取值范圍是(-3,1).
探究提高 (1)對于該問題的求解,一般利用研究函數(shù)的單調性、極值等性質,并借助函數(shù)圖象的交點情況,建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之,實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.
(2)本題常見的錯誤是不能把函數(shù)的極值與圖象交點聯(lián)系起來,缺乏轉化與化歸、數(shù)形結合的意識.
已知函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)對?x∈R 15、,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
因為x∈R時,f′(x)≥m恒成立,
∴對x∈R,恒有3x2-9x+(6-m)≥0.
因此Δ=81-12(6-m)≤0,得m≤-.
∴實數(shù)m的最大值為-.
(2)因為當x<1時,f′(x)>0,當1 16、個實根,
解得a<2或a>.
∴當a>或a<2時,函數(shù)f(x)僅有一個零點.
導數(shù)與不等式的綜合問題
典例:(12分)(xx·遼寧)設函數(shù)f(x)=x+ax2+bln x,曲線y=f(x)過P(1,0),且在P點處的切線斜率為2.
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)≤2x-2.
考點分析 本題考查曲線的切線、導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
解題策略 本題的關鍵點:P(1,0)點處切線斜率為2,可以列方程解出a,b;證明不等式時可以構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性來證明不等式.
規(guī)范解答
(1)解 f′(x)=1+2ax+.[1分]
由已知條件得 17、即[4分]
解得[5分]
(2)證明 因為f(x)的定義域為(0,+∞),
由(1)知f(x)=x-x2+3ln x.
設g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,
則g′(x)=-1-2x+=-.[8分]
當0 18、查綜合解決問題的能力,多為高考中較難的題目.
二審結論會轉換
典例:(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+aln x.
(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(2)若a=1,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(3)若a=1,求證:在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.
審題路線圖
求f(x)的極值
↓(從結論出發(fā)向條件轉化,注意隱含條件——定義域)
求f′(x)=0的解,即f(x)的極值點
↓(轉化為求函數(shù)值)
將極值點代入f(x)求對應的極大、極小值
↓(轉化為研究單調性)
求f(x 19、)在[1,e]上的單調性
↓(轉化為求函數(shù)值)
比較端點值、極值,確定最大、最小值
↓(構造函數(shù)進行轉化)
F(x)=f(x)-g(x)
↓(將圖象的上、下關系轉化為數(shù)量關系)
求證F(x)<0在[1,+∞)上恒成立.
↓研究函數(shù)F(x)在[1,+∞)上的單調性.
規(guī)范解答
(1)解 由于函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
當a=-1時,f′(x)=x-=,[1分]
令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去),[2分]
當x∈(0,1)時,函數(shù)f(x)單調遞減,[3分]
當x∈(1,+∞)時,函數(shù)f(x)單調遞增,[4分]
所以f(x)在x=1處取得極小值為.[5 20、分]
(2)解 當a=1時,易知函數(shù)f(x)在[1,e]上為增函數(shù),[6分]
∴f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1.[7分]
(3)證明 設F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,
則F′(x)=x+-2x2=,[9分]
當x>1時,F(xiàn)′(x)<0,
故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù),又F(1)=-<0,
∴在區(qū)間[1,+∞)上,F(xiàn)(x)<0恒成立.
即f(x) 21、、最值、參數(shù)等問題的有效方法,應用導數(shù)求單調區(qū)間關鍵是求解不等式的解集;最值問題關鍵在于比較極值與端點函數(shù)值的大??;參數(shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調性的逆向應用等,求解時注意分類討論思想的應用.
(2)對于一些復雜問題,要善于將問題轉化,轉化成能用熟知的導數(shù)研究問題.
方法與技巧
1. 理解極值與最值的區(qū)別,極值是局部概念,最值是整體概念.
2. 利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題是將問題轉化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用.
3. 要充分理解列表在研究函數(shù)極值過程中的重要性,以及列表的操作步驟與算法思想,能利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值.
失誤與防范
22、
1. 函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內單調遞增,則f′(x)≥0而不是f′(x)>0 (f′(x)=0在有限個點處取到).
2. 導數(shù)為0的點不一定是極值點,極大值未必大于極小值.
A組 專項基礎訓練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案 B
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x) 23、=0有兩個不相等的實根.
∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0.
∴a>6或a<-3.
2. 曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為 ( )
A.e2 B.2e2 C.e2 D.
答案 D
解析 ∵點(2,e2)在曲線上,
∴切線的斜率k=y(tǒng)′|x=2=ex|x=2=e2,
∴切線的方程為y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e2=0.
與兩坐標軸的交點坐標為(0,-e2),(1,0),
∴S△=×1×e2=.
3. 已知函數(shù)f(x)=x2+mx+ln x是單調遞增函數(shù),則m的取值范圍是 ( 24、 )
A.m>-2 B.m≥-2
C.m<2 D.m≤2
答案 B
解析 依題意知,x>0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞),
當-≤0時,g(0)=1>0恒成立,∴m≥0成立,
當->0時,則Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<0,
綜上,m的取值范圍是m≥-2.
4. 若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調函數(shù),
只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,
即Δ=4-12m 25、≤0,∴m≥.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 設P為曲線C:y=x2-x+1上一點,曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是[-1,3],則點P縱坐標的取值范圍是__________.
答案
解析 設P(a,a2-a+1),則y′|x=a=2a-1∈[-1,3],
∴0≤a≤2.而g(a)=a2-a+1=2+,
當a=時,g(a)min=.當a=2時,g(a)max=3,
故P點縱坐標的取值范圍是.
6. (xx·福建改編)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于________.
答案 9
解析 f′(x)= 26、12x2-2ax-2b,∵f(x)在x=1處有極值,
∴f′(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.
又a>0,b>0,∴a+b≥2,∴2≤6,
∴ab≤9,當且僅當a=b=3時等號成立,
∴ab的最大值為9.
7. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是________.
答案 -13
解析 對函數(shù)f(x)求導得f′(x)=-3x2+2ax,
由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x 27、,
易知f(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增,
∴當m∈[-1,1]時,f(m)min=f(0)=-4.
又∵f′(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,
且對稱軸為x=1,∴當n∈[-1,1]時,
f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值為-13.
三、解答題(共22分)
8. (10分)設函數(shù)f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且x=2是y=f(x)的極值點.
(1)求實數(shù)a的值,并求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調區(qū)間.
解 (1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因為x=2是 28、函數(shù)y=f(x)的極值點,所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,
因此a=1.
經驗證,當a=1時,x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點.
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
所以y=f(x)的單調增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);
單調減區(qū)間是(0,2).
(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex,
因為ex>0,所以y=g(x)的單調增區(qū)間是(-,0),(,+∞);單調減區(qū)間是(-∞,-),(0,).
9.已知函數(shù)f(x)=x+b的圖象與函數(shù)g(x)=x2+3x+2的圖 29、象相切,記F(x)=f(x)g(x).
(1)求實數(shù)b的值及函數(shù)F(x)的極值;
(2)若關于x的方程F(x)=k恰有三個不等的實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍.
解 (1)依題意,令f′(x)=g′(x),得1=2x+3,
故x=-1,∴函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象的切點為(-1,0).將切點坐標代入函數(shù)f(x)=x+b可得b=1.
(或:依題意方程f(x)=g(x),
即x2+2x+2-b=0有惟一實數(shù)解,
故Δ=22-4(2-b)=0,即b=1)
∴F(x)=(x+1)(x2+3x+2)=x3+4x2+5x+2,
故F′(x)=3x2+8x+5=3(x+1),
令 30、F′(x)=0,解得x=-1或x=-,
列表如下:
x
(-∞,-)
-
(-,-1)
-1
(-1,+∞)
F′(x)
+
0
-
0
+
F(x)
極大值
極小值0
從上表可知F(x)在x=-處取得極大值,在x=-1處取得極小值0.
(2)由(1)可知函數(shù)y=F(x)的大致圖象如圖所示.作函數(shù)y=k的圖象,當y=F(x)的圖象與函數(shù)y=k的圖象有三個交點時,關于x的方程F(x)=k恰有三個不等的實數(shù)根,結合圖形可知:k∈.
B組 專項能力提升
(時間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 函數(shù)f(x 31、)=ex(sin x+cos x)在區(qū)間上的值域為 ( )
A. B.
C.[1,e] D.(1,e)
答案 A
解析 f′(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)
=excos x,
當0≤x≤時,f′(x)≥0,且只有在x=時,f′(x)=0,
∴f(x)是上的增函數(shù),
∴f(x)的最大值為f=e,
f(x)的最小值為f(0)=.
∴f(x)在上的值域為.
2. 若函數(shù)f(x)= (a>0)在[1,+∞)上的最大值為,則a的值為( )
A. B. C.+1 D.-1
答案 D
解 32、析 f′(x)==,
當x>時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
當- 33、x),g(-x)=g(x),知f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù).
又x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,
由奇、偶函數(shù)的性質知,當x<0時,f′(x)>0,g′(x)<0.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 已知函數(shù)f(x)=+ln x,若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則正實數(shù)a的取值范圍為________.
答案 [1,+∞)
解析 ∵f(x)=+ln x,∴f′(x)= (a>0),
∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),∴f′(x)=≥0對x∈[1,+∞)恒成立,∴ax-1≥0對x∈[1,+∞)恒成立,即a≥對x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.
34、5.已知函數(shù)f(x)=x2(x-a).
若f(x)在(2,3)上單調,則實數(shù)a的取值范圍是__________________;
若f(x)在(2,3)上不單調,則實數(shù)a的取值范圍是______________.
答案 (-∞,3]∪
解析 f′(x)=3x2-2ax,若f′(x)在(2,3)上單調,
則f′(x)≥0或f′(x)≤0在(2,3)上恒成立,
∴a≤x或a≥x.
∵x∈(2,3),∴a≤3或a≥.
6. 已知函數(shù)f(x)=aln x+x在區(qū)間[2,3]上單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是__________.
答案 [-2,+∞)
解析 ∵f(x)=aln x+ 35、x,∴f′(x)=+1.
又∵f(x)在[2,3]上單調遞增,
∴+1≥0在x∈[2,3]上恒成立,
∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞).
三、解答題
7. (13分)(xx·浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)證明:當0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.
(1)解 由題意得f′(x)=12x2-2a.
當a≤0時,f′(x)≥0恒成立,
此時f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
當a>0時,f′(x)=12,
此時函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為
和,
單調遞減區(qū)間為.
(2)證明 由于0≤x≤1,故當a≤2時,
f(x)+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.
當a>2時,
f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2
=4x3-4x+2.
設g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,
則g′(x)=6x2-2=6,
于是g′(x),g(x)隨x的變化情況如下表:
x
0
1
g′(x)
-
0
+
g(x)
1
減
極小值
增
1
所以,g(x)min=g=1->0.
所以,當0≤x≤1時,2x3-2x+1>0.
故f(x)+|2-a|≥4x3-4x+2>0.
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