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1、九年級數學競賽輔導講座 第五講 一元二次方程的整數整數解 在數學課外活動中，在各類數學競賽中，一元二次方程的整數解問題一直是個熱點，它將古老的整數理論與傳統的一元二次方程知識相結合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關注，解含參數的一元二次方程的整數解問題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解； 從判別式手，運用判別式求出參數或解的取值范圍，或引入參數(設△=)，通過窮舉，逼近求解； 從韋達定理入手，從根與系數的關系式中消去參數，得到關于兩根的不定方程，借助因數分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當方程中參數次數較低時，可考慮以

2、參數為主元求解． 注：一元二次方程的整數根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數、偶數、質數、合數等整數知識密切相關． 【例題求解】 【例1】若關于的方程的解都是整數，則符合條件的整數是的值有 個． 思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確． 注：系數含參數的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據問題的題設條件，看是否要分類討論． 【例2】 已知、為質數且是方程的根，那么的值是( )

3、A． B． C． D． 思路點撥 由韋達定理、的關系式，結合整數性質求出、、的值． 【例3】 試確定一切有理數，使得關于的方程有根且只有整數根． 思路點撥 由于方程的類型未確定，所以應分類討論．當時，由根與系數關系得到關于r的兩個等式，消去r，利用因式(數)分解先求出方程兩整數根． 【例4】 當為整數時，關于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請說明理由． 思路點撥 整系

4、數方程有有理根的條件是為完全平方數． 設△=(為整數)解不定方程，討論的存在性． 注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數必為有理數，而△=為完全平方數是方程的根為有理數的充要條件． 【例5】 若關于的方程至少有一個整數根，求非負整數的值． 思路點撥 因根的表示式復雜，從韋達定理得出的的兩個關系式中消去也較困難，又因的次數低于的次數，故可將原方程變形為關于的一次方程． 學歷訓練 1．已知關于的方程的根都是整數，那么符合條件的整數有 ． 2．已知方程有兩個質數解，則m＝ ． 3．給出四個命

5、題：①整系數方程(a≠0)中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；②整系數方程(a≠0)中，若方程有有理數根，則△為完全平方數；③無理數系數方程(a≠0)的根只能是無理數；④若、、均為奇數，則方程沒有有理數根，其中真命題是 ． 4．已知關于的一元二次方程 (為整數)的兩個實數根是 、，則= ． 5．設rn為整數，且4

6、方程的兩根均為質數，試解此方程． 9．設關于的二次方程的兩根都是整數，試求滿足條件的所有實數的值． 10．試求所有這樣的正整數，使得方程至少有一個整數解． 11．已知為質數，使二次方程的兩根都是整數，求出的所有可能值． 12．已知方程及分別各有兩個整數根、及、，且 >0， >0． (1)求證：<0,<0，<0,< 0； (2)求證：； (3)求、所有可能的值． 13．如果直角三角形的兩條直角邊都是整數，且是方程的根(為整數)，這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由． 參考答案