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1、2022年中考數(shù)學專題復習 第四單元 三角形 課時訓練(二十一)相似三角形及其應用練習
|夯實基礎|
1.[xx·樂山] 如圖K21-1,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,則EG與GC的關系是 ( )
圖K21-1
A.EG=4GC B.EG=3GC
C.EG=GC D.EG=2GC
2.[xx·連云港] 如圖K21-2,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,則下列等式一定成立的是( )
圖K21-2
A.= B.=
2、
C.= D.=
3.[xx·棗莊] 如圖K21-3,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是 ( )
圖K21-3
圖K21-4
4.如圖K21-5,下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是 ( )
圖K21-5
A.∠ABD=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.AB2=AD·AC
D.=
5.[xx·紹興] 學校門口的欄桿如圖K21-6所示,欄桿從水平位置BD繞O點旋轉到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4
3、 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應下降的垂直距離CD為 ( )
A.0.2 m B.0.3 m
C.0.4 m D.0.5 m
圖K21-6
6.[xx·畢節(jié)] 如圖K21-7,在平行四邊形ABCD中,E是DC上的點,DE∶EC=3∶2,連接AE交BD于點F,則△DEF與△BAF的面積之比為 ( )
圖K21-7
A.2∶5 B.3∶5
C.9∶25
4、 D.4∶25
7.[xx·永州] 如圖K21-8,在△ABC中,點D是邊AB上的一點,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為 ( )
圖K21-8
A.2 B.4 C.6 D.8
8.[xx·南充] 如圖K21-9,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延長線于點F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF= .?
圖K21-9
9.[xx·岳
5、陽] 《九章算術》是我國古代數(shù)學名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是 步.?
圖K21-10
10.[xx·菏澤] 如圖K21-11,△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形,相似比為3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若點B的坐標是(6,0),則點C的坐標是 .?
圖K21-11
11.[xx·上海] 如圖K21-12,已知正方形DEFG的頂點D,E在△ABC的邊BC上,頂點G,F分別
6、在邊AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個正方形的邊長是 .?
圖K21-12
12.如圖K21-13,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點F.
圖K21-13
(1)求證:△ACD∽△BFD;
(2)當tan∠ABD=1,AC=3時,求BF的長.
13.如圖K21-14,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)求證:OA2=OE·OF.
圖K21-14
|拓展提升|
1
7、4.如圖K21-15,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點,AE和過點C的切線互相垂直,垂足為E,AE交☉O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PB∶PC=1∶2.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關系,并說明理由.
圖K21-15
參考答案
1.B [解析] ∵DE∥FG∥BC,∴=,又∵DB=4FB,∴==,∴EC=4CG,∴EG=3GC,故選擇B.
2.D [解析] 根據(jù)“相似三角形的周長比等于相似比”可得兩個三角形的周長比是1∶2,因此D選項正確.
3.C [解析] A.陰影部分的三角形與原三
8、角形有兩個角相等,故兩三角形相似;B.陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似;C.兩三角形的對應邊成比例,但夾角不相等,故兩三角形不相似;D.兩三角形對應邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似.故選C.
4.D [解析] 在△ADB和△ABC中,∠A是它們的公共角,那么當=時,才能使△ADB∽△ABC,不是=.故選D.
5.C [解析] 由題意可知△ABO∽△CDO,根據(jù)相似三角形的性質可得=,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴=,CD=1.6×1÷4=0.4(m),故選C.
6.C [解析] ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,且AB=CD,∴∠ED
9、F=∠ABF,∠DEF=∠BAF,
∴△DEF∽△BAF,又∵DE∶EC=3∶2,∴=,
∴=2=,故選C.
7.B [解析] ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4.因此本題選B.
8. [解析] ∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴=,即=,解得:DE=.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F,
∴∠ABF=∠F,∴BD=DF=2,
∵DF=DE+EF,∴EF=2-=.故答案為:.
9. [解析] 如圖①,∵四邊形CDEF是正
10、方形,∴CD=ED=CF.設ED=x,則CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,
∴=,∴=,∴x=.
如圖②,四邊形DGFE是正方形,過C作CP⊥AB于P,交DG于Q,設ED=y,S△ABC=AC·BC=AB·CP,則12×5=13CP,CP=,同理得:△CDG∽△CAB,∴=,∴=,y=<,∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是步,故答案為:.
10.(2,2) [解析] 如圖,作AE⊥x軸于E,∵∠OCD=90°,∠AOB=60°,∴∠ABO=∠OAE=30°.∵點B的坐標是(6,0),∴AO=OB=3,∴OE=OA=,∴
11、AE===,∴A,.
∵△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形,相似比為3∶4,∴點C的坐標為×,×,
即(2,2).
11. [解析] 作AH⊥BC于點H,交GF于點I,設正方形DEFG的邊長是x.因為△ABC的面積是6,所以×BC×AH=6,又因為BC=4,所以AH=3,AI=3-x,在正方形DEFG中,GF∥BC,所以=,=,
解得x=,所以正方形的邊長是.
12.解:(1)證明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.
(2)∵
12、tan∠ABD=1,∠ADB=90°,
∴=1,∴AD=BD,
∵△ACD∽△BFD,
∴==1,
∴BF=AC=3.
13.證明:(1)∵EC∥AB,∴∠C=∠ABF.
∵∠EDA=∠ABF,∴∠C=∠EDA.
∴DA∥CF.
又∵EC∥AB,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)∵DA∥CF,∴=.
∵EC∥AB,∴=.
∴=,
即OA2=OE·OF.
14.解:(1)證明:如圖,連接OC.
∵PE是☉O的切線,∴OC⊥PE,
∵AE⊥PE,∴OC∥AE,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠BAD.
(2)線段PB,AB之間的數(shù)量關系為AB=3PB.
理由:
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC,
∵∠PCB+∠OCB=90°,∴∠PCB=∠PAC,
又∵∠P是公共角,∴△PCB∽△PAC,
∴=,∴PC2=PB·PA,
∵PB∶PC=1∶2,∴PC=2PB,
∴PA=4PB,∴AB=3PB.