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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇平面向量第3講 平面向量的數(shù)量積教案 理 【xx年高考會(huì)這樣考】 1．考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 2．考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模． 3．考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)緊扣平面向量數(shù)量積的定義，理解其運(yùn)算法則和性質(zhì)，重點(diǎn)解決平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、模，以及兩向量的垂直關(guān)系． 基礎(chǔ)梳理 1．兩個(gè)向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b

2、反向；如果a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b. 2．兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. 3．向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的數(shù)量積． 4．向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)a⊥b?a·b＝0； (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|

3、a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，特別的，a·a＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|. 5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，則|a

4、|＝(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)． 一個(gè)條件 兩個(gè)向量垂直的充要條件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 兩個(gè)探究 (1)若a·b＞0，能否說(shuō)明a和b的夾角為銳角？ (2)若a·b＜0，能否說(shuō)明a和b的夾角為鈍角？ 三個(gè)防范 (1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量． (2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)c≠a(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與

5、c不一定共線，因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等． (3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120°，而不是60°. 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，則a與b的夾角為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　C 2．若a，b，c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是(　　)． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

6、C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c) 答案　D 3．(xx·廣東)若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案　D 4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)x等于(　　)． A．9 B．4 C．0 D．－4 解析　a－b＝(1－x,4)． 由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0. ∴x＝9. 答案　A 5．

7、(xx·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為_(kāi)_______． 解析　由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2， 得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝. 答案　　　 考向一　求兩平面向量的數(shù)量積 【例1】?(xx·合肥模擬)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，||＝1，＝2，則·(＋)＝________. [審題視點(diǎn)] 由M是BC的中點(diǎn)，得＋＝2. 解析　如圖，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋) ＝·2＝－4||2＝－||2＝－，故填－. 答案　－ 當(dāng)向

8、量表示平面圖形中的一些有向線段時(shí)，要根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識(shí)． 【訓(xùn)練1】 如圖， 在菱形ABCD中，若AC＝4，則·＝________. 解析　＝＋，故·＝·(＋)＝·＋·.而＝－，⊥.所以·＝－CA2＝－8. 答案?。? 考向二　利用平面向量數(shù)量積求夾角與模 【例2】?已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. [審題視點(diǎn)] 由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得a·b的值

9、，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角． 解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6. ∴cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13， ∴|a＋b|＝. |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37. ∴|a－b|＝. 在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|＝要引起足夠重視，是求距離常用的公式． 【訓(xùn)練2】 已知a與b是兩個(gè)非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角． 解　設(shè)a與a＋b的夾角為θ，由|a|＝|b|得|a|2＝|b|2. 又由|b|2＝|a－b|2＝

10、|a|2－2a·b＋|b|2. ∴a·b＝|a|2， 而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2， ∴|a＋b|＝|a|. ∴cos θ＝＝＝. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a與a＋b的夾角為30°. 考向三　平面向量的數(shù)量積與垂直問(wèn)題 【例3】?已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. [審題視點(diǎn)] 利用a⊥b?x1x2＋y1y2＝0及a∥b?x1y2－x2y1＝0，求解． 解　(1)若a⊥b， 則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x

11、)＝0. 整理，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)， ∴|a－b|＝＝2. 當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝2. 綜上，可知|a－b|＝2或2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值．在計(jì)算數(shù)量積時(shí)要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個(gè)向量的坐標(biāo)求出來(lái)，再計(jì)算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行整

12、體計(jì)算，把這個(gè)數(shù)量積的計(jì)算化歸為基本的向量數(shù)量積的計(jì)算． 【訓(xùn)練3】 已知平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實(shí)數(shù)m，n的值． 解　由于A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上， 則∥，＝－＝(7，－1－m)， ＝－＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， 即mn＋n－5m＋9＝0，① 又∵⊥， ∴－2n＋m＝0.② 聯(lián)立①②，解得或　　 規(guī)范解答10——如何解決平面向量與解三角形的綜合問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 平面向量與三角的綜合性問(wèn)題大多是以三角題型為背景的一種向量描述．它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問(wèn)題

13、轉(zhuǎn)化為三角的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，三角知識(shí)是考查的主體．考查的要求并不高，解題時(shí)要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題． 【解決方案】 解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先要考慮向量工具性的作用，如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長(zhǎng)與夾角問(wèn)題，然后注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表達(dá)形式，最后用三角知識(shí)規(guī)范解答． 【示例】? (本題滿分12分)(xx·安徽)△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cos A＝. (1)求·； (2)若c－b＝1，求a的值． 先求sin A，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決． [解答示范] 由cos A＝，得si

14、n A＝ ＝.(2分) 又bcsin A＝30， ∴bc＝156.(4分) (1)·＝bccos A＝156×＝144(8分) (2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A) ＝1＋2×156×＝25，又a＞0(10分) ∴a＝5.(12分) 三角形的三邊可與三個(gè)向量對(duì)應(yīng)，這樣就可以利用向量的知識(shí)來(lái)解三角形了，解決此類(lèi)問(wèn)題要注意內(nèi)角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別，還要注意向量的數(shù)量積與三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用． 【試一試】 已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且·＝6，設(shè)與的夾角為θ. (1)求θ的取值范圍； (2)求函數(shù)f(θ)＝sin2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos2θ的最小值． [嘗試解答]　(1)∵·＝6，∴||·||·cos θ＝6.∴||·||＝. 又∵S＝||·||·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴≤θ≤. (2)f(θ)＝1＋2cos2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2 ＝sin＋2， 由θ∈，得2θ∈，∴2θ＋∈. ∴當(dāng)2θ＋＝π即θ＝時(shí)，f(θ)min＝3.