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1、2022年高三數(shù)學總復習 平面向量的數(shù)量積教案 理 教材分析 兩個向量的數(shù)量積是中學代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學習．這節(jié)內(nèi)容的教學難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應用． 教學目標 1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和

2、數(shù)量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件． 2. 通過對數(shù)量積的引入和應用，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學生的科學思維習慣． 任務分析 兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定． 兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實數(shù)之積“ab”． 通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)

3、系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同． 教學設計 一、問題情景 如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算． W＝｜s｜｜f｜cosθ． 其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數(shù)量． 問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果

4、呢？ 二、建立模型 1. 引導學生從“功”的模型中得到如下概念： 已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影． 規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０． 由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)． 說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2. 引導學生思考討論 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出 （1）設e是單位向

5、量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉． （2）設a·b是非零向量，則a⊥ba·b＝0． （3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝. （4）cos〈a，b〉＝. （5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）． 三、解釋應用 ［例　題］ 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練　習］ 1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．　　?。?）a在b上的投影． 2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·． 四、建立向量數(shù)量積的

6、運算律 1. 出示問題：從數(shù)學的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？ 2. 運算律及其推導 已知：向量a，b，c和λ∈R，則 （1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右． （2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ， ∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ）

7、， ∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）． （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）． 證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c． ∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即 ｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2， ∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜

8、cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b， ∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c． 思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？ （2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？ 五、應用與深化 ［例　題］ 1. 對實數(shù)a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？ 解：類比完全平方和公式與平方差公式，有 （a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b

9、·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2， （a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論． 2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝ ｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72． 3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 因此，當k＝±時，有（

10、a＋kb）⊥（a－kb）． 4. 已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜． 解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2， ∴｜a＋b＋c｜＝2＝2． 解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1× ×＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2． ［練　習］ 1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ． 2. 在邊長為2的正三角形ABC中，求·＋·＋·． 六、拓展延伸 1. 當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？

11、 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）． 2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝＋，＝－．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系． 3. 三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？ 解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2， ∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB

12、，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形． 解法2：如圖40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋． ∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形． 又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°． 同理∠AOC＝∠BOC＝120°，… 4. 在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？ 解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心． 點　評 這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進行類比．以物理學中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問題，越來越成為考查學生數(shù)學思維能力的一個重要方面．認識向量并會使用向量是這一部分的基礎，也是重點．總之，這篇案例較好地實現(xiàn)了教學目標，同時，關(guān)注類比方法的運用，以及學生數(shù)學思維水平的提高．美中不足的是，對學生的自主探究的引導似乎有所欠缺．