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2022年高中數學競賽輔導資料《直線和圓圓錐曲線》

上傳人:xt****7 文檔編號:105374410 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數:12 大?。?81.02KB
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1、2022年高中數學競賽輔導資料《直線和圓,圓錐曲線》 一.直線與圓 1,兩點間的距離公式:設,則; 2,線段的定比分點坐標公式:設,點分的比為,則 , 3,直線方程的各種形式 (1),點斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點式: (4),截距式: ;(5),一般式:不同為零); (6)參數方程:為參數,為傾斜角,表示點與之間的距離) 4,兩直線的位置關系 設(或).則 (1),且(或且); (2),(或). 5,兩直線的到角公式與夾角公式: (1),到角公式:到的到角為,則,(); (2),夾角公式:與的夾角為,則,()

2、. 6,點到直線的距離:. 7,圓的方程 (1),標準方程:,其中為圓心坐標,R為圓半徑; (2),一般方程:,其中,圓心為, 半徑為. (3),參數方程: ,其中圓心為,半徑為R. 二.圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 與兩個定點的距離的 和等于常數 與兩個定點的距離的 差的絕對值等于常數 與一個定點和一條定 直線的距離相等 標準方程 (或), (或) (或) 參數方程 (或) (或) (或) 焦點 或 或 或 正數a,b,c, p的關系 () () 離心率

3、 準線 (或) (或) (或) 漸近線 (或) 焦半徑 (或 ) (, ), (點在左或下支) (或) 統(tǒng)一定義 到定點的距離與到定 直線的距離之比等于定值 的點的集合 ,(注:焦點要與對應 準線配對使用) 三.解題思想與方法導引. 1,函數與方程思想 2,數形結合思想. 3,分類討論思想. 4,參數法. 5,整體處理 例題講解 1.在平面直角坐標系中,方程為相異正數),所表示的曲線是( ) 2.平面上整點(坐標為整數的點)到直線的距離中的最小值是( ) A,

4、 B, C, D, 3.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B 兩點,弦AB的中垂線與軸交于P點,則線段PF的長等于( ) A, B, C, D, 4.若橢圓上一點P到左焦點的距離等于它到右焦點距離的2倍,則P點坐標為( ) A, B, C, D, 5.過橢圓中心的弦AB,是右焦點,則的最大面積為( ) A,

5、 B, C, D, 6.已知P為雙曲線上的任意一點,為焦點,若,則( ) A, B, C, D, 7.給定點,已知直線與線段PQ(包括P,Q在內)有公共點, 則的取值范圍是 . 8.過定點作直線交軸于Q點,過Q點作交軸于T點, 延長TQ至P點,使,則P點的軌跡方程是 . 9.已知橢圓與直線交于M,N兩點,且,(為 原點),當橢圓的離心率時,橢圓長軸

6、長的取值范圍是 . 10.已知是橢圓的兩個焦點,M是橢圓上一點,M到軸的距離為 ,且是和的等比中項,則的值等于 . 11.已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右分支上,是 等邊三角形,則的面積等于 . 12.若橢圓()和雙曲線有相同的焦點 ,P為兩條曲線的一個交點,則的值為 . 13.設橢圓有一個內接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率 適合條件. (1),求證:過A,B的直線的斜率是定值; (2),求

7、面積的最大值. 14.已知為常數且),動點P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設的重心為G,點M在射線OG上,且滿足. (1),求的最小值; (2),求動點M的軌跡方程. 15.過拋物線(為不等于2的素數)的焦點F,作與軸不垂直的直線交拋物線 于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點. (1),求PQ中點R的軌跡L的方程; (2),證明:L上有無窮多個整點,但L上任意整點到原點的距離均不是整數. 課后練習 1.已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右支上,是等邊三角形,則的面積是 (A) (B) (C)

8、 (D) 2.平面上整點(縱、橫坐標都是整數的點)到直線的距離中的最小值是 (A) (B) (C) (D) 3.若實數x, y滿足(x + 5)2+(y – 12)2=142,則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4.直線橢圓相交于A,B兩點,該圓上點P,使得⊿PAB面積等于3,這樣的點P共有 (A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個 5.設a,b∈R,ab≠0,那

9、么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是 y y y y x x x x A B C D 6.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60o的直線,若此直線與拋物線交于A、B兩點,弦AB的中垂線與x軸交于P點,則線段PF的長等于 A. B. C. D. 7.方程表示的曲線是 A. 焦點在x軸上的橢圓 B. 焦點在x軸上的雙曲線 C. 焦點在y軸上的橢圓 D. 焦點在

10、y軸上的雙曲線 8.在橢圓中,記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B。若該橢圓的離心率是,則= 。 9.設F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1| : |PF2|=2 : 1,則三角形PF1F2的面積等于______________. 10.在平面直角坐標系XOY中,給定兩點M(-1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動,當取最大值時,點P的橫坐標為___________________。 11.若正方形ABCD的一條邊在直線上,另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為     . 12.已知:和:。試問:當且

11、僅當a,b滿足什么條件時,對任意一點P,均存在以P為頂點、與外切、與內接的平行四邊形?并證明你的結論。 13. 設曲線C1:(a為正常數)與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。 (1)實數m的取值范圍(用a表示); (2)O為原點,若C1與x軸的負半軸交于點A,當0

12、條直線折痕,當A/取遍圓周上所有點時,求所有折痕所在直線上點的集合. 16.(04,14)在平面直角坐標系xoy中,給定三點,點P到直線BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。 (Ⅰ)求點P的軌跡方程; (Ⅱ)若直線L經過的內心(設為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點,求L的斜率k的取值范圍。 17.過拋物線上的一點A(1,1)作拋物線的切線,分別交軸于D,交軸于B.點C在拋物線上,點E在線段AC上,滿足;點F在線段BC上,滿足,且,線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時,求點P的

13、軌跡方程. 課后練習答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90o 9. 10.設橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c,則由其方程知a=3,b=2,c=,故,|PF1|+|PF2|=2a=6,又已知[PF1|:|PF2|=2:1,故可得|PFl|=4,|PF2|=2.在△PFlF2中,三邊之長分別為2,4,2,而22+42=(2)2,可見△PFlF2是直角三角形,且兩直角邊的長為2和4,故△PFlF2的面積=4. 11. 解:

14、經過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3-x上,設圓心為 S(a,3-a),則圓S的方程為: 對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當取最大值時,經過M,N,P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=-7。 即對應的切點分別為,而過點M,N,的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑,所以,故點P(1,0)為所求,所以點P的橫坐標為1。 12.解:設正方形的邊AB在直線上,而位于拋物線上的兩個頂點坐標為、,則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯立,得 令正方形邊長為則① 在上任取一點(6,,5)

15、,它到直線的距離為②. ①、②聯立解得或 13.利用極坐標解決:以坐標原點為極點,x軸為極軸建立極坐標系,則橢圓的極坐標方程為------(1) 顯知此平行四邊形ABCD必為菱形,設A,則B 代入(1)式相加: 由于該菱形必與單位圓相切,故原點到AB的距離為1, ∴,從而,∴ 14. 解:(1)由 消去y得: ① 設,問題(1)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只需討論以下三種情況: 1°△=0得:,此時xp=-a2,當且僅當-a<-a2<a,即0<a<1時適合; 2°f (a)f (-a)<0,當且僅當-a<m<a

16、; 3°f (-a)=0得m=a,此時xp=a-2a2,當且僅當-a<a-2a2<a,即0<a<1時適合. f (a)=0得m=-a,此時xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,從而m≠-a. 綜上可知,當0<a<1時,或-a<m≤a; 當a≥1時,-a<m<a. (2)△OAP的面積 ∵0<a<,故-a<m≤a時,0<<a, 由唯一性得 顯然當m=a時,xp取值最小.由于xp>0,從而yp=取值最大,此時,∴. 當時,xp=-a2,yp=,此時. 下面比較與的大?。?

17、 令,得 故當0<a≤時,≤,此時. 當時,,此時. 15.解:設點坐標為,點坐標為. 顯然,故 由于,所以 從而,消去,注意到得: 由解得:或. 當時,點的坐標為;當時,點的坐標為,均滿足是題意.故點的縱坐標的取值范圍是或. 16.解:如圖,以O為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標系,則有A(a,0).設折疊時,⊙O上點A/()與點A重合,而折痕為直線MN,則 MN為線段AA/的中垂線.設P(x,y)為MN上任一點,則|PA/|=|PA| 5分   ∴   即 10分 ∴   可得:   ∴≤1 (此不等式也可直接由柯西不

18、等式得到) 15分   平方后可化為 ≥1,   即所求點的集合為橢圓圓=1外(含邊界)的部分. 20分 17. 解:(Ⅰ)直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設,,即,化簡得點P的軌跡方程為 圓S: (Ⅱ)由前知,點P的軌跡包含兩部分 圓S: ① 與雙曲線T: ② 因為B(-1,0)和C(1,0)是適合題設條件的點,所以點B和點C在點P的軌跡上,且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。 的內心D也是適合題設條件的點,由,解得,且知它在圓S上。直線L經過D,且與點P的軌跡有3個公共點,所以,L的斜率存在,設L

19、的方程為 ③ (i)當k=0時,L與圓S相切,有唯一的公共點D;此時,直線平行于x軸,表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點,所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分 (ii)當時,L與圓S有兩個不同的交點。這時,L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況: 情況1:直線L經過點B或點C,此時L的斜率,直線L的方程為。代入方程②得,解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E;直線CD與曲線T有2個交點C、F。 故當時,L恰好與點P的軌跡有3個公共點。 情況2:直線L不經過點B和C(即),因為L與S有兩個不同的交點,所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即

20、方程組有且只有一組實數解,消去y并化簡得 該方程有唯一實數解的充要條件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得,解方程⑤得。 綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。 18.解一:過拋物線上點A的切線斜率為:切線AB的方程為的坐標為是線段AB的中點. 設、、、,則由知, 得 ∴EF所在直線方程為: 化簡得…① 當時,直線CD的方程為:…② 聯立①、②解得,消去,得P點軌跡方程為: 當時,EF方程為:方程為:,聯立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合,∴ ∴所求軌跡方程為 解二:由解一知,AB的方程為故D是AB的中點. 令則因為CD為的中線, 而是的重

21、心. 設因點C異于A,則故重心P的坐標為 消去得 故所求軌跡方程為 例題答案: 1,D 令,得,令得,由此可見,曲線必過四個點:, ,,,從結構特征看,方程表示的曲線是以這四點為頂點的四邊形,易知 它是非正方形的菱形. 2,B ,當(可取)時, (其中為平面上任意整點). 3,A 此拋物線的焦點與原點重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點的橫坐標 滿足方程:.由此求得弦AB中點的橫坐標,縱坐標,進而 求得其中垂線方程為,令,得P點的橫坐標, 即PF=. 4,C 設,又橢圓的右準線為,而,且,

22、得,又,得,代入橢圓方程得. 5,A (1)當軸時,; (2)當AB與軸不垂直時,設AB的方程為,由消去得. 設,,則,, . 6,A 由 ,得,. 7, 設線段PQ上任意一點且令,則 =,,故,, 由得,解得. 8, 設直線的方程為,則Q點坐標為,直線QT的方程為 ,所以T點坐標為,從而P點坐標為,設P的坐標為 ,則,消去可得P點軌跡方程為. 9, 由,可得 ① 由得,即,將, 代入得,即,因為,得 ,得,有,解得. 10, 延長NM與橢圓的右準線:相交于D,設,則 ,因,得,, 又,得,故. 11, 設點C在軸上方,由是等邊三角

23、形得直線AB的斜率,又直線 過點,故方程為,代入雙曲線方程,得點B的坐標為 ,同理可得C的坐標為,所以的面積為. 12, 不妨設P為第一象限的一點,則,,.得 ,,于是. 13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點 P(1, .由題意可設直線PA,PB的方程分別為和, 分別與橢圓方程聯立,可求得A,B的橫坐標分別為,. 從而, 所以(定值). (2)不妨設直線AB的方程為,與橢圓方程聯立,并消去得+ ,有 = 點P到戰(zhàn)線AB的距離,所以= ,當且僅當,即時, . 14,解(1),以O為原點,的平分

24、線為軸建立直角坐標系,則可設 .于是的重心的坐標為 , = . 又已知得,于是 ,且當時等號成立,故. (2),設,則由得,,=b) ,得,,代入,并整理得 ,這就是所求動點M的軌跡方程. 15,解:(1)拋物線的焦點為,設的直線方程為. 由得,設M,N的橫坐標分別為 則,得,, 而,故PQ的斜率為,PQ的方程為. 代入得.設動點R的坐標,則 ,因此, 故PQ中點R的軌跡L的方程為. (2),顯然對任意非零整數,點都是L上的整點,故L上有無窮多個整點. 反設L上有一個整點(x,y)到原點的距離為整數m,不妨設,則 ,因為是奇素數,于是,從可推出,再由可推出 ,令,則有, 由,得,于是,即 ,于是,, 得,故,有,但L上的點滿足,矛盾! 因此,L上任意點到原點的距離不為整數.

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