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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列專題強化精練提能 理 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．6 D．7 解析：選B.S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3. 2．(xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解析：選C.3an＋1＝3an－2?an＋1＝an－?{an}是等差數(shù)列，則an＝－n

2、.因為ak＋1·ak<0，所以<0，所以0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后

3、成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選D.不妨設a>b，由題意得所以a>0，b>0， 則a，－2，b成等比數(shù)列，a，b，－2成等差數(shù)列， 所以所以所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9. 5．(xx·洛陽市雙基測試)數(shù)列{an}滿足an－an＋1＝an·an＋1(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，則b4·b6(　　) A．最大值為99 B．為定值99 C．最大值為100 D．最大值為200 解析：選B.將an－an＋1＝anan＋1兩邊同時除以anan＋1，可得－＝1，即

4、bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差為d＝1的等差數(shù)列，其前9項和為＝90，所以b1＋b9＝20，將b9＝b1＋8d＝b1＋8，代入得b1＝6，所以b4＝9，b6＝11，所以b4b6＝99，故選B. 6．已知數(shù)列{an}，則有(　　) A．若a＝4n，n∈N*，則{an}為等比數(shù)列 B．若an·an＋2＝a，n∈N*，則{an}為等比數(shù)列 C．若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，則{an}為等比數(shù)列 D．若an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，則{an}為等比數(shù)列 解析：選C.若a1＝－2，a2＝4，a3＝8，滿足a＝4n，n∈N*，但{an}不是等比數(shù)列，故A錯；若a

5、n＝0，滿足an·an＋2＝a，n∈N*，但{an}不是等比數(shù)列，故B錯；若an＝0，滿足an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，但{an}不是等比數(shù)列，故D錯；若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，則有＝＝＝2，則{an}是等比數(shù)列． 7．(xx·高考全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________． 解析：因為a1＝2，an＋1＝2an， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 又因為Sn＝126，所以＝126，所以n＝6. 答案：6 8．(xx·德州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，

6、a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，則an＝________． 解析：因為Sn＝2an＋n，① 所以Sn＋1＝2an＋1＋n＋1，② ②－①，可得an＋1＝2an－1，即an＋1－1＝2(an－1)，又因為a1＝－1，所以數(shù)列{an－1}是以－2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以an－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以an＝1－2n. 答案：1－2n 9．(xx·高考廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 解析：因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a

7、10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50 10．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________． 解析：令x＝2，y＝2n－1，則f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2

8、n，＝＋1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n. 答案：n·2n 11．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中a1＝3，S5－S2＝27. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若Sn，2(an＋1＋1)，Sn＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)n的值． 解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 則S5－S2＝3a1＋9d＝27， 又a1＝3，則d＝2，故an＝2n＋1. (2)由(1)可得Sn＝n2＋2n， 又Sn·Sn＋2＝8(an＋1＋1)2， 即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2， 化簡得n2＋4n－32＝0

9、， 解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n的值為4. 12．已知α為銳角，且tan α＝－1，函數(shù)f(x)＝2x·tan 2α＋sin，數(shù)列{an}的首項a1＝1，an＋1＝f(an)． (1)求函數(shù)f(x)的表達式； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)tan 2α＝＝＝1， 因為α是銳角，所以2α＝， 所以sin＝1，所以f(x)＝2x＋1. (2)因為a1＝1，an＋1＝f(an)，所以an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，＝2(常數(shù))， 所以{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列， 所以an＝2n－1. 13．已知數(shù)列{a

10、n}的前n項和為Sn，若Sn＝3an＋2n. (1)求證：數(shù)列{an－2}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. 解：(1)證明：由Sn＝3an＋2n， 得Sn＋1＝3an＋1＋2(n＋1)， 以上兩式相減得an＋1＝3an＋1－3an＋2， 即an＋1＝an－1， 所以an＋1－2＝(an－2)． 又因為S1＝a1＝3a1＋2， 所以a1＝－1，a1－2＝－3. 故數(shù)列{an－2}是以－3為首項，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)得an－2＝－3×， 所以an＝2－3×. 所以＝－， 所以Tn＝－＝－－. 14．(xx·日照模擬)若數(shù)列{bn}對于n∈N*，

11、都有bn＋2－bn＝d(常數(shù))，則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列，如數(shù)列{cn}，若cn＝則數(shù)列{cn}是公差為8的準等差數(shù)列．設數(shù)列{an}滿足a1＝a，對于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n. (1)求證：{an}為準等差數(shù)列； (2)求{an}的通項公式及前20項和S20. 解：(1)證明：因為an＋1＋an＝2n，① 所以an＋2＋an＋1＝2n＋2.② 由②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)， 所以{an}是公差為2的準等差數(shù)列． (2)已知a1＝a，an＋1＋an＝2n(n∈N*)， 所以a1＋a2＝2，即a2＝2－a. 所以由(1)可知a1，a3，a5，…，成以a為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…，成以2－a為首項，2為公差的等差數(shù)列． 所以當n為偶數(shù)時，an＝2－a＋×2＝n－a， 當n為奇數(shù)時，an＝a＋×2＝n＋a－1， 所以an＝ S20＝a1＋a2＋…＋a19＋a20 ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20) ＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×＝200.