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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù) 第四講 導數(shù)及其應用 理
2.導數(shù)的幾何意義.
函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是:曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù)).
2.導數(shù)的四則運算法則.
(1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);
(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x);
(3)′=(v(x)≠0).
3.復合函數(shù)求導.
復合函數(shù)y
2、=f(g(x))的導數(shù)和y=f(u),u=g(x)的導數(shù)之間的關系為yx′=y(tǒng)u′·ux′.
1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系.
一般地,在某個區(qū)間(a,b)內(nèi):
(1)如果f′(x)>0?函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)如果f′(x)<0?函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;
(3)如果f′(x)=0?函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).
2.函數(shù)的極值與導數(shù)的關系.
一般地,對于函數(shù)y=f(x):
(1)若在點x=a處有f′(a)=0,且在點x=a附近的左側f′(x)<0,右側f′(x)>0,則稱x=a為f(x)的極小值點,f(a)叫函數(shù)
3、f(x)的極小值.
(2)若在點x=b處有f′(b)=0,且在點x=b附近的左側f′(x)>0,右側f′(x)<0,則稱x=b為f(x)的極大值點,f(b)叫函數(shù)f(x)的極大值.
3.求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟:
(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).
(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同.(×
4、)
(2)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(√)
(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(×)
(4)若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f′(x)>0.(×)
(5)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(√)
(6)對可導函數(shù)f(x),f′(x0)=0是x0點為極值點的充要條件.(√)
2.(xx·新課標Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是(D)
A. B
5、.
C. D.
解析:∵ f(0)=-1+a<0,∴ x0=0.
又∵ x0=0是唯一的使f(x)<0的整數(shù),∴
即解得a≥.
又∵ a<1,∴ ≤a<1,經(jīng)檢驗a=,符合題意.故選D.
3.(xx·天津卷)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù),f′(x)為f(x)的導函數(shù).若f′(1)=3,則a的值為3.
解析:f′(x)=a=a(1+ln x).
由于f′(1)=a(1+ln 1)=a,又f′(1)=3,所以a=3.
5.求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)y=(2x2-1)(3x+1);
(2)y=x2sin x.
答案
6、:(1)y′=18x2+4x-3
(2)y′=2xsin x+x2cos x
一、選擇題
1.函數(shù)y=x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(B)
A.(-1,1] B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
解析:∵y=x2-ln x,∴y′=x-,由y′≤0,解得-1≤x≤1,又x>0,∴0<x≤1.故選B.
2.設P為曲線C:y=x2+2x+3上的點,且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為,則點P橫坐標的取值范圍為(A)
A. B.[-1,0]
C.[0,1] D.
7、解析:設P(x0,y0),
∵y′=2x+2,
∴曲線C在點P處的切線斜率為2x0+2.
又切線傾斜角范圍是,
∴斜率范圍是[0,1].
即2x0+2∈[0,1],∴x0∈.
3.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是(C)
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)
解析:∵f′(x)==.
則由已知f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,∴1+b≤0.
∴b≤-1.
4.(xx·陜西卷)對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學分別給出下列結論,其中有且只有一個結論
8、是錯誤的,則錯誤的結論是(A)
A.-1是f(x)的零點
B.1是f(x)的極值點
C.3是f(x)的極值
D.點(2,8)在曲線y=f(x)上
解析:A中-1是f(x)的零點,則有a-b+c=0.①
B中1是f(x)的極值點,則有b=-2a.②
C中3是f(x)的極值,則有=3.③
D中點(2,8)在曲線y=f(x)上,則有4a+2b+c=8.④
聯(lián)立①②③解得a=-, b=, c=.
聯(lián)立②③④解得a=5,b=-10,c=8,從而可判斷A錯誤,故選A.
5.(xx·江西卷)在同一直角坐標系中,函數(shù)y=ax2-x+與y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的圖象不可能的
9、是(B)
解析:當a=0時,兩函數(shù)圖象如D所示,當a≠0時,對函數(shù)y=a2x3-2ax2+x+a,令y′=3a2x2-4ax+1=0得:x=或x=,y=ax2-x+的對稱軸為x=.當a<0時,由<<知B不對,當a>0時,由>>知A,C正確.
6.(xx·新課標Ⅱ卷)設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(A)
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
解析:記函數(shù)g(x)=,則g′
10、(x)=,因為當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,故當x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,由因為函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),故函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且g(-1)=g(1)=0,當0<x<1時,g(x)>0,則f(x)>0;當x<-1時,g(x)<0,則f(x)<0,綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),故選A.
答案:A
7.函數(shù)y=f(x)在定義域 內(nèi)可導,其圖象如圖所示,記y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)≤0的解集為(A)
A.∪[2,3)
11、B.∪
C.∪[1,2] D.∪
二、填空題
9.(xx·陜西卷)函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=-.
解析:由題知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函數(shù)解析式可得極值點的坐標為,又極值點處的切線為平行于x軸的直線,故方程為y=-.
三、解答題
10.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象都過點P(2,0),且在點P處有相同的切線.
(1)求實數(shù)a,b,c的值;
(2)設函數(shù)F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間,并指出函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.
解析:(1)因為函數(shù)f(x)=2x3+ax與g(x)=
12、bx2+c的圖象都過點P(2,0),
所以得a=-8,4b+c=0.
故f(x)=2x3-8x,f′(x)=6x2-8.
又當x=2時,f′(x)=16,又g′(x)=2bx,
所以2b×2=16,得b=4,c=-16.
所以a=-8,b=4,c=-16.
(2)因為F(x)=2x3+4x2-8x-16,
所以F′(x)=6x2+8x-8.
由F′(x)>0,得x<-2或x>;
由F′(x)<0,得-2<x<.
所以,當x∈(-∞,-2)時,F(xiàn)(x)是增函數(shù);
當x∈時,F(xiàn)(x)也是增函數(shù);
當x∈時,F(xiàn)(x)是減函數(shù).
11.(xx·新課標Ⅱ卷)設函數(shù)f(x)=em
13、x+x2-mx.
(1)證明:f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;
(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.
解析:(1)證明:f′(x)=m(emx-1)+2x.
若m≥0,則當x∈(-∞,0)時,emx-1≤0,f′(x)<0;
當x∈(0,+∞)時,emx-1≥0,f′(x)>0.
若m<0,則當x∈(-∞,0)時,emx-1>0,f′(x)<0;
當x∈(0,+∞)時,emx-1<0,f′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知,對任
14、意的m,f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.所以對于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是
即①
設函數(shù)g(t)=et-t-e+1,則g′(t)=et-1.
當t<0時,g′(t)<0;當t>0時,g′(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,
故當t∈[-1,1]時,g(t)≤0.
當m∈[-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
當m>1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em-m>e-1;
當m<-1時,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.
綜上,m的取值范圍是[-1,1].