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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式； (2)問當(dāng)x為何值時(shí)，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x). 【解析】(1)設(shè)f(x)＝xa，因?yàn)辄c(diǎn)(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2. 設(shè)g(x)＝xb，因?yàn)辄c(diǎn)(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(

2、－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知： ①當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，g(x)＜f(x)； ②當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)＝g(x)； ③當(dāng)－1＜x＜1且x≠0時(shí)，f(x)＜g(x). 【點(diǎn)撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟： ①設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝xa(a為常數(shù))； ②根據(jù)已知條件求出a的值； ③寫出冪函數(shù)的解析式. 本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想，即在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)的圖象，借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1為分界點(diǎn)分x＞1，

3、－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五種情況進(jìn)行討論，也能得到同樣的結(jié)果. 【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)＝(m2－m－1) 是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m. 【解析】因?yàn)閒(x)為冪函數(shù)， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)； 當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是減函數(shù). 所以m＝2. 題型二　作函數(shù)圖象 【例2】作下列函數(shù)圖象： (1)y＝1＋log2x； (2)y＝2|x|－1； (3)y＝|x2－4|. 【解析】(1)y＝1＋log2x的圖象是： (2)y＝2|x|－1

4、的圖象是： (3)y＝|x2－4|的圖象是： 【變式訓(xùn)練2】在下列圖象中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()x的圖象只可能是(　　) 【解析】A. 題型三　用數(shù)形結(jié)合思想解題 【例3】已知f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求m的取值范圍，使方程f(x)＝mx有4個(gè)不同實(shí)根. 【解析】 遞增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)； 遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3). (2)設(shè)y＝mx與y＝f(x)有四個(gè)公共點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與y＝f(x)有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示.令它的斜率為k，則0＜m＜k. 由 ?x2＋(k－4)x＋

5、3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±2. 當(dāng)k＝4＋2時(shí)，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；當(dāng)k＝4－2時(shí)，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合題意.故0＜m＜4－2. 【點(diǎn)撥】(1)作出f(x)的圖象；(2)利用(1)的圖象，研究函數(shù)y＝mx與y＝f(x)的交點(diǎn)情況. 【變式訓(xùn)練3】若不等式x2－logax＜0對(duì)x∈(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.0＜a＜1 B.≤a＜1 C.a＞1 D.0＜a≤ 【解析】原不等式為x2＜logax，設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝logax，因?yàn)?＜x＜＜1，而l

6、ogax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)內(nèi)的圖象，如圖所示. 因?yàn)閒()＝，所以A(，)，當(dāng)g(x)圖象經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，＝loga?a＝，因?yàn)楫?dāng)x∈(0，)時(shí)，logax＞x2，g(x)圖象按如圖虛線位置變化，所以≤a＜1，故答案為B. 題型四　有關(guān)圖象的對(duì)稱問題 【例4】設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的圖象為C2，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x). (1)求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并確定其定義域； (2)若直線y＝b與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】(1)設(shè)P(u，v)是y＝x＋上任

7、意一點(diǎn)，所以v＝u＋.① 設(shè)P關(guān)于A(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為Q(x，y)， 所以? 代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋. 所以g(x)＝x－2＋，其定義域?yàn)?－∞，4)∪(4，＋∞). (2)聯(lián)立方程得 ?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0， 所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，當(dāng)b＝0時(shí)，交點(diǎn)為(3,0)；當(dāng)b＝4時(shí)，交點(diǎn)為(5,4). 【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù).若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于(　　) A.－9 B.9 C.－3 D.0

8、【解析】因?yàn)閒(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故應(yīng)選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵. 總結(jié)提高 掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點(diǎn)法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法，用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個(gè)重要橋梁.應(yīng)用函數(shù)圖象法解數(shù)學(xué)問題往往具有直觀易懂、運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)，但用圖象法求變量的取值范圍時(shí)，要特別注意端點(diǎn)值的取舍和特殊情況.