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1、2022年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第四部分 平面向量 新人教版 一、知識(shí)方法與技巧 ㈠向量的概念及運(yùn)算 1、向量的有關(guān)概念 向量—既有大小又有方向的量 向量的長度（模）—向量的大小 平行向量(共線向量)—方向相同或相反的非零向量,并且規(guī)定零向量與任何向量均平行. 相等向量—長度相等且方向相同的向量。 2、向量運(yùn)算 ⑴加法運(yùn)算 加法法則：①三角形法則；②平行四邊形法則 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，則+=(x1+x2,y1+y2). ⑵減法運(yùn)算 減法法則，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 設(shè)=(x1,y1)，=(

2、x2,y2)，則－=(x1－x2,y1－y2). 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，=(x2－x1,y2－y1). ⑶實(shí)數(shù)與向量的積 定義：λ，其中λ>0時(shí)，λ與同向，|λ|=λ||； 當(dāng)λ<0時(shí)，λ與反方向，|λ|=|λ|||. 0·= 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=(x,y)，則：λ=λ(x,y)=(λx, λy). 3、向量的幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算 向量的幾何運(yùn)算是向量知識(shí)的基礎(chǔ)，本類題是向量加減法、數(shù)乘的運(yùn)算定義和運(yùn)算法則的基本練習(xí)，以向量運(yùn)算圖或向量運(yùn)算式給出，并通過圖解或式解來完成，設(shè)問形式有求解、作圖、化簡、證明等，解題方法比較直接。 向量的坐標(biāo)

3、運(yùn)算包括直接利用坐標(biāo)法運(yùn)算法則計(jì)算向量的和、差、數(shù)乘積。 4、兩個(gè)向量平行的充要條件 ∥=λ；設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)，則∥x1y2－x2y1=0. ㈡平面向量的數(shù)量積 1、平面向量的數(shù)量積 幾何表示 定義：·=||||cosθ(a≠，b≠，0°≤θ≤180°) ·=0 坐標(biāo)表示 ·=x1x2+y1y2 運(yùn)算律 ·=· (λ)·=·(λ)；(+)·=·+· 2、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) 幾何表示 ⑴||== ⑵cosθ= ⑶|·|≤|||| 坐標(biāo)表示 ⑴||= ⑵cosθ= ⑶|x1x2+y1y2|≤ 3、兩個(gè)向量垂直的充要條件 ⊥

4、·=0 (、均為非零向量) 設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)，則⊥x1x2+y1y2=0. 4、常用的模的等式和不等式 ||2=·或||=； |·|≤||·||； ||2－||2=(+)(－) ||=（θ為、夾角）. |||－|||≤|±|≤||+||. 特別是||2=2及其變式應(yīng)用最為廣泛. ㈢線段的定比分點(diǎn)及平移 1、線段的定比分點(diǎn)及平移的基礎(chǔ)知識(shí) ⑴線段的定比分點(diǎn) 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： [P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), =λ] 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 三角形重心坐標(biāo)公式：設(shè)△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y

5、3)，則重心G(x,y)的坐標(biāo)為：x= ， y= ⑵圖形變換公式 平移公式： 若點(diǎn)P0(x,y)按向量=(h,k)平移至P(x′,y′)，則. 2、平移公式的三類運(yùn)用 ⑴已知平移前后的解析式，求平移向量；⑵已知平移向量及解析式，求平移后的解析式； ⑶已知平移向量及平移后的解析式，求平移前的解析式. 說明：三類問題主要是運(yùn)用平移公式及待定系數(shù)法. ㈣正余弦定理的運(yùn)用 1、關(guān)于三角形邊、角的主要關(guān)系式 ⑴三角形內(nèi)角和等于180° ⑵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊. ⑶三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角. ⑷正弦定理=2R. ⑸勾股定理c2=a

6、2+b2 (其中c為直角三角形的斜邊) ⑹余弦定理c2=a2+b2－2abcosC；cosC=. ⑺射影定理：a=bcosC+ccosB. ⑻三角形的面積公式：S△=ah(其中h是a邊上的高). S△=absinC. ⑼由A+B+C=π，易推出 ①sinA=sin(B+C),cosA=－cos(B+C)，tanA=－tan(B+C) ②sin=cos, cos=，tan=cot.⑽a>bA>BsinA>sinB. ⑾銳角△ABC中，A+B>，A>－B，sinA>cosB，cosAc2，同樣可類比銳角△ABC中結(jié)論. 2、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

7、 由已知，利用三角形中的主要知識(shí)點(diǎn)，特別是角的關(guān)系和邊角關(guān)系，推出滿足題設(shè)條件的三角形的形狀。 3、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解三角形. ⑴正弦定理反映了三角形的邊角關(guān)系，它可以用來解決兩類解斜三角形的問題. ①已知兩角和一邊，求其他邊和角. ②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（可進(jìn)一步求出其他的邊和角）. ⑵余弦定理也反映了三角形的邊角關(guān)系，它是勾股定理的進(jìn)一步推廣，它可以解決以下三類有關(guān)斜三角形問題. ①已知三邊，求三個(gè)角. ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. ③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，此類問題需要討論. 二、易錯(cuò)點(diǎn)

8、提示 1.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即. 2.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0，故平行向量不具有傳遞性即. 3.平面向量數(shù)量積的消去律不成立，即若是非零向量，且并不能得到， 只可得到、在上的投影相等. 4. 2=·=||||cos0=||2.故2是一個(gè)實(shí)數(shù). 5.、的夾角為銳角 、的夾角為鈍角 6.向量、不共線，，則A、P、B三點(diǎn)共線的充要條件是m+n=1. 7.在應(yīng)用正弦定理解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求解三角形”時(shí)應(yīng)注意解的個(gè)數(shù). 8.在應(yīng)用平移公式時(shí)，一定要分清P(x,y)為平移前的點(diǎn)，P’(x’,y’)為平移后的點(diǎn)，=(h,k)為平移向量，否則會(huì)出現(xiàn)方向性錯(cuò)誤.