2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質 理
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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質 理 1.函數(shù). (1)函數(shù)的概念. 函數(shù)實質上是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個特殊映射,記作y=f(x),x∈A,其中x的取值范圍A叫做這個函數(shù)的定義域,f(x)的集合C叫函數(shù)的值域,B與C的關系是C?B,我們將f,A,C叫做函數(shù)的三要素,但要注意,函數(shù)定義中A,B是兩個非空數(shù)集,而映射中兩個集合A,B是任意的非空集合. (2)函數(shù)的表示方法. 函數(shù)表示方法有圖象法、列表法、解析法. 2.映射. 映射A→B中兩集合的元素的關系是一對一或多對一,但不可一對多,且集
2、合B中元素可以沒有對應元素,但A中元素在B中必須有唯一確定的對應元素. 1.函數(shù)的單調性與最值. (1)單調性. 對于定義域內某一區(qū)間D內任意的x1,x2且x1<x2(或Δx=x1-x2<0): ①若f(x1)<f(x2)[或Δy=f(x1)-f(x2)<0]恒成立,則f(x)在D上單調遞增; ②若f(x1)>f(x2)[或Δy=f(x1)-f(x2)>0]恒成立,則f(x)在D上單調遞減. (2)最值. 設函數(shù)y=f(x)的定義域為I: ①如果存在實數(shù)M滿足:對任意的x∈I,都有f(x)≤M且存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最
3、大值; ②如果存在實數(shù)M滿足:對任意x∈I,都有f(x)≥M且存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值. 2.函數(shù)的奇偶性. (1)定義. 對于定義域內的任意x有: ①f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù); ②f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù). (2)性質. ①函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)?y=f(x)的圖象關于y軸對稱.函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)?y=f(x)的圖象關于原點對稱. ②奇函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同,且在x=0處有定義時必有f(0)=0,即f(x)的圖象過原點. ③偶函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)
4、間上的單調性相反. 3.周期性. (1)定義. 對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)性質. 如果T是函數(shù)y=f(x)的周期,則: ①kT(k≠0,k∈Z)也是y=f(x)的周期; ②若已知區(qū)間[m,n](m<n)上的圖象,則可畫出區(qū)間[m+kT,n+kT](k∈Z且k≠0)上的圖象. 1.基本初等函數(shù)的圖象. 基本初等函數(shù)包括:一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).對于這些函數(shù)的圖象應非常清楚.
5、 2.函數(shù)圖象的畫法. (1)描點法作圖. 通過列表、描點、連線三個步驟畫出函數(shù)的圖象. (2)圖象變換法作圖. ①平移變換. a.y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度得到函數(shù)a.y=f(x+a)的圖象. b.y=f(x-b)(b>0)的圖象可由y=f(x)的圖象向b.右平移b個單位長度得到. 對于左、右平移變換,往往容易出錯,在實際判斷中可熟記口訣:左加右減. 而對于上、下平移變換,相比較則容易掌握,原則是:上加下減,但要注意的是加、減指的是在f(x)整體上. ②對稱變換(在f(-x)有意義的前提下). a.y=f(-x)與y=f(x)的圖象a.關于y軸對稱;
6、 b.y=-f(x)與y=f(x)的圖象b.關于x軸對稱; c.y=-f(-x)與y=f(x)的圖象c.關于原點對稱; d.y=|f(x)|的圖象可將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分d.關于x軸旋轉180°,其余部分不變; e.y=f(|x|)的圖象,可先作出y=f(x)當x≥0時的圖象,再利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,作出e.y=f(x)(x<0)的圖象. ③伸縮變換. a.y=Af(x)(A>0)的圖象,可將y=f(x)的圖象上所有點的③a.縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍,橫坐標不變而得到; b.y=f(ax)(a>0)的圖象,可將y=f(x)的圖象上所有點的b.橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?/p>
7、縱坐標不變而得到. 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”). (1)f(x)=與g(x)=x是同一個函數(shù).(×) (2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同,則這兩個函數(shù)相等.(×) (3)若函數(shù)f(x)的定義域為{x|1≤x<3},則函數(shù)f(2x-1)的定義域為{x|1≤x<5}.(×) (4)函數(shù)y=的單調遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(×) (5)對于函數(shù)f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(√
8、) (6)函數(shù)y=|x|是R上的增函數(shù).(×) 1.下列說法中,不正確的是(B) A.函數(shù)值域中每一個數(shù)都有定義域中的至少一個數(shù)與之對應 B.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合 C.定義域和對應關系確定后,函數(shù)的值域也就確定了 D.若函數(shù)的定義域只有一個元素,則值域也只有一個元素 2.(xx·北京卷)如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(C) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析:令g(x)=y(tǒng)=log2(x+1
9、),作出函數(shù)g(x)圖象如圖. 由得 ∴ 結合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}. 3.函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如下圖所示,下列說法正確的是(C) ①函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x); ②函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(-x); ③函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x); ④函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(x). A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 解析:由圖象可看出,f(x)為周期為4的奇函數(shù),∴①②正確.故選C. 4.(xx·安徽卷)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所
10、示,則下列結論成立的是(A) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 解析:根據函數(shù)的圖象可知,該函數(shù)先增再減,再增,且極值點都大于0,函數(shù)圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上. 解法一:由圖象知f(0)=d>0.因為f′(x)=3ax2+2bx+c=0有兩個不相等的正實根,所以a>0,-=->0,所以b<0.又f′(0)=c>0,所以a>0,b<0,c>0,d>0. 解法二:由圖象知f(0)=d>0,首先排除選項D;f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-x1)(x-
11、x2)=3ax2-3a(x1+x2)x+3ax1x2,令x1<x2,因為x∈(-∞,x1)時,f′(x)>0,所以a>0,排除C;又c=3ax1x2>0,2b=-3a(x1+x2)<0,所以c>0,b<0,故選A. 一、選擇題 1.(xx·北京卷)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析:因為y=x2是偶函數(shù),y=sin x是奇函數(shù),y=cos x是偶函數(shù),所以A選項為奇函數(shù),B選項為偶函數(shù);C選項中函數(shù)圖象是把對數(shù)函數(shù)y=ln x的圖象在x軸下方部
12、分翻折到x軸上方,其余部分的圖象保持不變,故為非奇非偶函數(shù);D選項為指數(shù)函數(shù)y=,是非奇非偶函數(shù). 2.函數(shù)f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,則f(-a)的值為(B) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:∵f(a)=2?a3+sin a+1=2, ∴a3+sin a=1. ∴f(-a)=-a3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0. 3.(xx·陜西卷)設f(x)=則f(f(-2))=(C) A.-1 B. C. D. 解析:因為-2<0,所以f(-2)=2-2=>0,所以f=1- =1-=. 4.函數(shù)y=ln
13、(+1)(x>-1)的反函數(shù)是(D) A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R) 解析:由已知函數(shù)可得+1=ey(y∈R),即=ey-1,所以x=(ey-1)3,x,y對調即得原函數(shù)的反函數(shù)為y=(ex-1)3(x∈R).故選D. 5.(xx·新課標Ⅱ卷)設函數(shù)f(x)= 則f(-2)+f(log212)=(C) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:∵ -2<1, ∴ f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3. ∵ log212>1,∴ f(lo
14、g212)=2log212-1==6. ∴ f(-2)+f(log212)=3+6=9.故選C. 6.(xx·新課標Ⅱ卷)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點,點P沿著邊BC,CD與DA運動,記∠BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖象大致為(B) 解析:當x∈[0,]時,f(x)=tan x+,圖象不會是直線段,從而排除A,C. 當x∈[,]時,f()=f()=1+,f()=2.∵ 2<1+,∴ f()<f()=f(),從而排除D,故選B. 二、填空題 7.若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù),且在
15、[0,2]上的解析式為f(x)=則f+f=. 解析:f+f=f+f =f+f =f+f =f+f =-f-f =-×-sin π =-+=. 8.(xx·福建卷)若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上單調遞增,則實數(shù)m的最小值等于1. 解析:因為f(x)=2|x-a|,所以f(x)的圖象關于x=a對稱.又由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故a=1,且f(x)的增區(qū)間是[1,+∞),由函數(shù)f(x)在[m,+∞)上單調遞增,知[m,+∞)?[1,+∞),所以m≥1,故m的最小值為1. 三、
16、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0,a∈R). (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性; (2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 解析:(1)當a=0時,f(x)=x2(x≠0)為偶函數(shù); 當a≠0時,f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)解法一 設x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a],由x2>x1≥2,得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0. 要使f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),只需f(x1)-f(x2)<0, 即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,則a≤16. 故
17、a的取值范圍是(-∞,16]. 解法二 f′(x)=2x-,要使f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),只需當x≥2時,f′(x)≥0恒成立,即2x-≥0,則a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,故當a≤16時,f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).故a的取值范圍是(-∞,16]. 10.f(x)的定義域為R,對任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-2. (1)證明:f(x)是奇函數(shù); (2)證明:f(x)在R上是減函數(shù); (3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值. 解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域R關于原點對稱,又由f(
18、x+y)=f(x)+f(y), 得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=f(0). 又f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.從而有f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x).由于x∈R, ∴f(x)是奇函數(shù). (2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,則 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴f(x2-x1)<0. ∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),從而f(x)在R上是減函數(shù)
19、. (3)由于f(x)在R上是減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3),由f(1)=-2,得 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6.從而f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是6,最小值是-6. 11.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調性. (2)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由. 解析:(1)∵f(x)=ex-,且y=ex是增函數(shù), y=-是增函數(shù),∴f(x)是增函數(shù). ∵f(x)的定義域為R, 且f(-x)=e-x-ex=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). (2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù), 由f(x-t)+f(x2-t2)≥0對x∈R恒成立, 則f(x-t)≥f(t2-x2). ∴t2-x2≤x-t?x2+x≥t2+t對x∈R恒成立?≤min對一切x∈R恒成立?≤0?t=-. 即存在實數(shù)t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.
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