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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 數(shù)列 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理
2.轉(zhuǎn)化法.
有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,即先分別求和,然后再合并.
3.錯(cuò)位相減法.
這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
4.倒序相加法.
這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),把它與原數(shù)列相加,若有公式可提,并且剩余項(xiàng)的和易于求得,則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.
5.裂
2、項(xiàng)相消法.
利用通項(xiàng)變形,將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差,通過相加過程中的相互抵消,最后只剩下有限項(xiàng)的和.
1.應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng),反映的事物背景陌生,知識(shí)涉及面廣,因此要解好應(yīng)用題,首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力,將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào),實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決.
2.?dāng)?shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題,其中,等比數(shù)列涉及的范圍比較廣,如經(jīng)濟(jì)上涉及利潤(rùn)、成本、效益的增減,解決此類題的關(guān)鍵是建立一個(gè)數(shù)列模型{an},利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式求解.
3.解應(yīng)用問題的基本步驟.
3、
判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.(√)
(2)當(dāng)n≥2時(shí),=.(√)
(3)求Sn=a+2a2+3a3+……+nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(×)
(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2+.(×)
(5)若數(shù)列a1,a2-a1,…,an-an-1是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=.(√)
(6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+……+sin288°+sin289°=44.5
4、.(√)
1.(xx·福建卷)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于(D)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:不妨設(shè)a>b,由題意得
∴ a>0,b>0,
則a,-2,b成等比數(shù)列,a,b,-2成等差數(shù)列,
∴ ∴ ∴ p=5,q=4,∴ p+q=9.
2.(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=(A)
A.5 B.7
C.9
5、 D.11
解析:解法一 ∵ a1+a5=2a3,∴ a1+a3+a5=3a3=3,∴ a3=1,
∴ S5==5a3=5,故選A.
解法二 ∵ a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,∴ a1+2d=1,
∴ S5=5a1+d=5(a1+2d)=5,故選A.
3.在數(shù)列{an}中,an=,則:
(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=__________;
(2)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn=__________.
解析:(1)an===×
Sn=×[(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+(3×4×5-2×3×4)+…+n×(n
6、+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]=.
(2)Sn=
=
=×[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
Tn=×[(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n×(n+1)×(n+2)×6(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]=.
答案:(1)
(2)
4.(xx·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列{}前10項(xiàng)的和為________.
解析:由題意有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式相加,得
7、
an-a1=2+3+…+n==.
又∵ a1=1,∴ an=(n≥2).
∵ 當(dāng)n=1時(shí)也滿足此式,∴ an=(n∈N*).
∴ ==2(-).
∴ S10=2(-+-+…+-)
=2×(1-)=.
答案:
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2 012=1,a2 013=-1 006,則使Sn取最值時(shí)n的值為(D)
A.1 005 B.1 006
C.1 007 D.1 006或1 007
2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-
8、11,a3+a7=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n=(D)
A.9 B.8 C.7 D.6
3.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù),那么數(shù)列T10,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是(C)
A.T10 B.T13 C.T17 D.T25
解析:∵a3a6a18=a1q2·a1q5·a1q17=(a1q8)3=(a9)3為定值.
∴T17=a1a2…a17=(a1q8)17=(a9)17也是定值.
4.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+…+log
9、2a2n-1=(C)
A.n(2n-1) B.(n+1)2
C.n2 D.(n-1)2
解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3)得a=22n,an>0,則an=2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.故選C.
5.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8=32,則S10=(C)
A.18 B.24 C.60 D.90
解析:由a=a3a7,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32,得2a1+7d=8,則d=2,a
10、1=-3,所以S10=10a1+d=60.故選C.
6.已知函數(shù)f(x)=把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(B)
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=n-1
C.a(chǎn)n=n(n-1) D.a(chǎn)n=2n-2
解析:若0
11、
12、2x-1和y=x在0
13、(n,n+1]上的根依次為3,4,…,n+1.
綜上所述方程f(x)-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0,1,2,3,4,…,n+1,
其通項(xiàng)公式為an=n-1.故選B.
二、填空題
7.對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則的前n項(xiàng)和是2n+1-2.
解析:曲線y=xn(1-x)=xn-xn+1,曲線導(dǎo)數(shù)為y′=nxn-1-(n+1)xn,所以切線斜率為k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切點(diǎn)為(2,-2n),所以切線方程為y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+
14、1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,是以2為首項(xiàng),q=2為公比的等比數(shù)列,所以Sn==2n+1-2.
8.等比數(shù)列{an}的公比q>0, 已知a2=1,an+2+an+1=6an,則{an}的前4項(xiàng)和S4=.
解析:由an+2+an+1=6an得:qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,q>0,解得q=2,又a2=1,所以a1=,S4==.
三、解答題
9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2an=S2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.
(1)求a1,a2的值.
(2)設(shè)a1>0,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,當(dāng)n為何值時(shí),Tn最大?并求出Tn的最大值.
解析:(1)取
15、n=1,得a2a1=S2+S1=2a1+a2,①
取n=2,得a=2a1+2a2,②
由②-①,得a2(a2-a1)=a2,③
若a2=0, 由①知a1=0,
若a2≠0,易知a2-a1=1.④
由①④得:a1=+1,
a2=2+或a1=1-,a2=2-;
綜上所述,a1=0,a2=0或a1=1+,a2=2+或a1=1-,a2=2-.
(2)當(dāng)a1>0時(shí),由(1)知, a1=+1,a2=2+;
當(dāng)n≥2時(shí),有(2+)an=S2+Sn,
(2+)an-1=S2+Sn-1.
兩式相減得(1+)an=(2+)an-1.
所以an=an-1(n≥2).
所以an=a1
16、()n-1=(+1)×()n-1.
令bn=lg,則bn=1-lg()n-1=lg.
又b1=1,bn-bn-1==-lg 2,
所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),-lg 2為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.
則b1>b2>…>b7=lg>lg 1=0.
當(dāng)n≥8時(shí),bn≤b8=lg <lg 1=0.
所以,n=7時(shí),Tn取得最大值,且Tn的最大值為
T7==7-lg 2.
10.(xx·北京卷)已知數(shù)列{an}滿足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…).記集合M={an|n∈N*}.
(1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;
(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)
17、,證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);
(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.
解析:(1)6,12,24.
(2)證明:因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).
由an+1=可歸納證明對(duì)任意n≥k,an是3的倍數(shù).
如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).
如果k>1,因?yàn)閍k=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,…,a1都是3的倍數(shù).
從而對(duì)任意n≥1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).
綜上,若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),則M的所有元素都是3的倍數(shù).
(3)由a1≤36,an=可歸納證明an≤36(n=2,3,…).
因?yàn)閍1是正整數(shù),a2=所以a2是2的倍數(shù).
從而當(dāng)n≥3時(shí),an是2的倍數(shù).
如果a1是3的倍數(shù),由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).
因此當(dāng)n≥3時(shí),an∈{12,24,36},這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5.
如果a1不是3的倍數(shù),由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).
因此當(dāng)n≥3時(shí),an∈{4,8,16,20,28,32},這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8.
當(dāng)a1=1時(shí),M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8個(gè)元素.
綜上可知,集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.