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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 理
1.平行線等分線段定理.
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等,即若l1∥l2∥l3,l分別交直線l1,l2,l3于A1,A2,A3,l′分別交直線l1,l2,l3于B1,B2,B3,A1A2=A2A3,則B1B2=B2B3.
推論1:經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊,即在△ABC中,若AD=DB,DE∥BC,則AE=EC.
推論2:經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線平分另一腰,即在梯形ABCD中,AD∥BC,AE=EB,EF∥AD,則DF=
2、FC.
2.平行線分線段成比例定理.
三條平行線截任意兩條直線,所截出的對(duì)應(yīng)線段成比例,即若l1∥l2∥l3,l分別交直線l1,l2,l3于A,B,C,l′分別交直線l1,l2,l3于D,E,F(xiàn),則=.
推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,即在△ABC,DE∥BC,則=.
3.相似三角形的定義.
對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形,解題時(shí)常常把對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置上.
4.相似三角形的判定方法.
(1)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似;(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且
3、夾角相等的兩個(gè)三角形相似.
5.相似三角形的性質(zhì).
(1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比);(2)相似三角形的面積比等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比)的平方.
6.射影定理.
直角三角形中,每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng);斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng).
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,則BD2=AD·CD,AB2=AD·AC,BC2=CD·CA.
7.與圓有關(guān)的角的概念.
(1)圓心角:頂點(diǎn)在圓心,兩邊和圓相交的角叫做圓心角.如圖1中的∠AOB.
4、
(2)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,兩邊和圓相交的角叫做圓周角.如圖2中的∠DEF.
(3)弦切角:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如圖3中的∠MPN.
8.與圓有關(guān)的角的性質(zhì).
(1)圓周角定理:圓上的一條弧所對(duì)的圓周角大小等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖4,∠ACB=∠AOB.
(2)圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).
推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.
推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,圓周角為90°時(shí)所對(duì)的弦是直徑.如圖5,∠DEF=90°.
(3)弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角
5、.
如圖6,∠MPN=∠PQM.
9.圓的切線的判定和性質(zhì).
(1)圓的切線的定義:與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線,這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
(2)圓的切線的判定:①若圓心到直線的距離等于半徑,則該直線是圓的切線;②經(jīng)過(guò)直徑的一端,并且垂直
于這條直徑的直線是圓的切線.
(3)圓的切線的性質(zhì):①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑;②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.
10.與圓有關(guān)的比例線段.
(1)相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.如圖7,PA·PB=PC·PD.
(2)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線
6、,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖8,PA·PB=PC·PD.
(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).如圖9,PA2=PC·PD.
(4)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.如圖10,PA=PC,∠APO=∠CPO.
11.圓內(nèi)接四邊形.
(1)圓內(nèi)接四邊形的判定:①如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上;②如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):①圓內(nèi)接四邊
7、形的對(duì)角互補(bǔ);②圓內(nèi)接四邊形的外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角.
12.直線與圓的位置關(guān)系.
(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.
①相交——直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);
②相切——直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn);
③相離——直線與圓沒有公共點(diǎn).
(2)判定直線與圓的位置關(guān)系的方法:直線與圓的位置決定于圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關(guān)系.
①直線與圓相交?dr.
判定直線與圓的位置關(guān)系時(shí),先看:看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個(gè)公共點(diǎn);再算:算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關(guān)系;后斷:然后根據(jù)上述關(guān)
8、系作出判斷.
13.圓與圓的位置關(guān)系.
(1)平面內(nèi)兩圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.
(2)判定兩個(gè)圓的位置關(guān)系的方法:設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R和r,則
①兩圓外離?d>R+r,有4條公切線;
②兩圓外切?d=R+r,有3條公切線;
③兩圓相交?R-rr),有2條公切線;
④兩圓內(nèi)切?d=R-r(R>r),有1條公切線;
⑤兩圓內(nèi)含?dr),沒有公切線.
14.常用的輔助線的作法.
出現(xiàn)切線就連接切點(diǎn)和圓心的半徑為輔助線,求弦長(zhǎng)就作弦心距解直角三角形.
9、
1.如下圖所示,DE是△ABC的中位線,F(xiàn)G為梯形BCED的中位線,若DE=4,則FG等于(A)
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如下圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn),AE⊥AD交CB的延長(zhǎng)線于E,則下列結(jié)論正確的是(C)
A.△AED∽△ACB
B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE
D.△AEC∽△DAC
3.直線MN切⊙O于點(diǎn)C,AB是⊙O的直徑且∠CAB=53°,則∠BOC=106°,∠ACB=90°,∠ACM=37°,∠BCN=53°.
4.如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦且BD∥A
10、C,過(guò)點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長(zhǎng)為.
解析:由切割線定理,可知AE2=EB·ED=EB(EB+BD),即62=EB(EB+5),所以EB=4,由AE為圓的切線,AB=AC,可得∠EAB=∠ACB=∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD,則AC∥BE,可得四邊形AEBC是平行四邊形.所以AC=AB=EB=4,BC=AE=6.由BD∥AC,可得△AFC∽△DFB,則=,即=,所以CF=.
一、選擇題
1.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為,,2,△A′B′C′的兩邊長(zhǎng)分別為1和,如果△ABC∽△A′B′C′,那么△A
11、′B′C′的第三邊長(zhǎng)為(A)
A. B. C. D.
解析:∵△ABC∽△A′B′C′,則=,則△A′B′C′的第三邊長(zhǎng)為=.
2.點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AE與CD相交于點(diǎn)G,則圖中的相似三角形共有(C)
A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)
3.如圖所示,菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,M,N分別是邊AB,AD的中點(diǎn),連接OM,ON,MN.則下列敘述正確的是(C)
A.△AOM和△AON都是等邊三角形
B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形
C.四邊形AMON和四邊形ABCD是相似形
D.四邊形MBCO和四邊形
12、OCDN都是等腰梯形
4.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓上的兩點(diǎn),半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,∠PCB=25°,則∠ADC為(B)
A.105° B.115° C.120° D.125°
5.如圖,AB是⊙O的直徑,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,則AC的長(zhǎng)為(C)
A.2 B.3 C.2 D.4
6.如圖,直線BC切⊙O于點(diǎn)A,則圖中的弦切角共有(D)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
二、填空題
7.如圖所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC內(nèi)接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=
13、1,BC=2,則AF∶FC=1∶2.
8.如圖,在△ABC中,已知DE∥BC,△ADE的面積是a2,梯形DBCE的面積是8a2,則=.
解析:∵S梯形DBCE=8S△ADE,∴S△ABC=9S△ADE,∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴==.∴=.
9.如圖所示,已知△ABC內(nèi)接于圓O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,AD是圓的切線,若∠B=30°,AC=2,則OD的長(zhǎng)為4.
解析:連接OA,則∠COA=2∠CBA=60°.又OC=OA,故△COA為正三角形,所以O(shè)A=2.又因?yàn)锳D是⊙O的切線,即OA⊥AD,所OD=2OA=4.
10.如圖所
14、示,PT切⊙O于點(diǎn)T,PA交⊙O于A,B兩點(diǎn)且與直徑CT交于點(diǎn)D,CD=2,AD=3,BD=6,則PB=15.
三、解答題
11.如圖,AB是圓O的直徑,C,D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).證明:∠OCB=∠D.
證明:因?yàn)锽,C是圓O上的兩點(diǎn),所以O(shè)B=OC.
故∠OCB=∠B.
因?yàn)镃,D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),
故∠B,∠D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角,
所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.
12.如圖,AB是圓O的一條直徑,C,D是圓O上不同于A,B的兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,AD與BC相交于N點(diǎn),BN=BM.求證:
(1)∠NBD=∠DB
15、M;
(2)AM是∠BAC的角平分線.
證明:(1)∵AB是圓O的直徑,∴∠ADB=90°.
而BN=BM,∴△BNM為等腰三角形.
∴BD為∠NBM的角平分線,即∠NBD=∠DBM.
(2)BM是圓O的切線,
?∠DAB=∠DAC?AM是∠CAB的角平分線.
13.已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上,CA切圓O于A點(diǎn),∠ACB的角平分線分別交AE,AB于點(diǎn)F,D.
(1)求∠ADF的度數(shù);
(2)若AB=AC,求的值.
解析:(1)∵AC為圓O的切線,
∴∠B=∠EAC.
又DC是∠ACB的平分線,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.
又BE為圓O的直徑,∴∠BAE=90°.
∴∠ADF=(180°-∠BAE)=45°.
(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ECA,
∴△EAC∽△ABC,又∵AB=BC,∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠ACB=∠EAC,
由∠BAE=90°及三角形內(nèi)角和知∠B=30°,
∴在Rt△ABE中,=tan ∠B=.