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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講教案 理 新人教版選修4-5
【xx年高考會這樣考】
1.考查含絕對值不等式的解法.
2.考查有關(guān)不等式的證明.
3.利用不等式的性質(zhì)求最值.
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
本講復(fù)習(xí)時,緊緊抓住含絕對值不等式的解法,以及利用重要不等式對一些簡單的不等式進(jìn)行證明.該部分的復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)知識、基本方法為主,不要刻意提高難度,以課本難度為宜,關(guān)鍵是理解有關(guān)內(nèi)容本質(zhì).
基礎(chǔ)梳理
1.含有絕對值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a;
(2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a;
(3)對形如|x-a|+|x-
2、b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用絕對值不等式的幾何意義求解.
2.含有絕對值的不等式的性質(zhì)
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
3.基本不等式
定理1:設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
定理2:如果a、b為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
定理3:如果a、b、c為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.
定理4:(一般形式的算術(shù)-幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時,等號成立.
5.不等式的證明方法
證明不等式
3、常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.
雙基自測
1.不等式1<|x+1|<3的解集為________.
答案 (-4,-2)∪(0,2)
2.不等式|x-8|-|x-4|>2的解集為________.
解析 令:f(x)=|x-8|-|x-4|=
當(dāng)x≤4時,f(x)=4>2;
當(dāng)4<x≤8時,f(x)=-2x+12>2,得x<5,
∴4<x<5;
當(dāng)x>8時,f(x)=-4>2不成立.
故原不等式的解集為:{x|x<5}.
答案 {x|x<5}
3.已知關(guān)于x的不等式|x-1|+|x|≤k無解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析 ∵|x-
4、1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴當(dāng)k<1時,不等式|x-1|+|x|≤k無解,故k<1.
答案 k<1
4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,則b的取值范圍為________.
解析 由|3x-b|<4,得<x<,
即解得5<b<7.
答案 (5,7)
5.(xx·南京模擬)如果關(guān)于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全體實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 在數(shù)軸上,結(jié)合實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義可知a≤-5或a≥-3.
答案 (-∞,-5]∪[-3,+∞)
考向一 含絕對值不等式的解法
【例1】?設(shè)函數(shù)f(x)=|2
5、x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函數(shù)y=f(x)的最小值.
[審題視點(diǎn)] 第(1)問:采用分段函數(shù)解不等式;第(2)問:畫出函數(shù)f(x)的圖象可求f(x)的最小值.
解 (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|=
當(dāng)x<-時,由f(x)=-x-5>2得,x<-7.∴x<-7;
當(dāng)-≤x<4時,由f(x)=3x-3>2,得x>,
∴<x<4;
當(dāng)x≥4時,由f(x)=x+5>2,得x>-3,∴x≥4.
故原不等式的解集為
.
(2)畫出f(x)的圖象如圖:
∴f(x)min=-.
(1)用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟:①求零點(diǎn);②劃
6、區(qū)間、去絕對值號;③分別解去掉絕對值的不等式;④取每個結(jié)果的并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.
(2)用圖象法,數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式,使得代數(shù)問題幾何化,即通俗易懂,又簡潔直觀,是一種較好的方法.
【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=-1時,f(x)=|x-1|+|x+1|,
f(x)=
作出函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖象.
由圖象可知,不等式的解集為.
(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不滿足題設(shè)條件;
7、若a<1,f(x)=
f(x)的最小值為1-a.
若a>1,f(x)=
f(x)的最小值為a-1.
∴對于?x∈R,f(x)≥2的充要條件是|a-1|≥2,
∴a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞).
考向二 不等式的證明
【例2】?證明下列不等式:
(1)設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;
(2)a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc;
(3)a6+8b6+c6≥2a2b2c2.
[審題視點(diǎn)] (1)作差比較;(2)綜合法;(3)利用柯西不等式.
證明 (1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)-2b2(a-b)
8、=(a-b)(3a2-2b2).
∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0.
∴(a-b)(3a2-2b2)≥0.
∴3a2+2b3≥3a2b+2ab2.
(2)∵a2+4b2≥2=4ab,
a2+9c2≥2=6ac,
4b2+9c2≥2=12bc,
∴2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc,
∴a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.
(3)a6+8b6+c6≥3
=3×a2b2c2=2a2b2c2,
∴a6+8b6+c6≥2a2b2c2.
(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法.作差法證明不等式的一般步驟是:①作差;②分解因式;③與0比較
9、;④結(jié)論.關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力.
(2)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu),利用基本不等式或柯西不等式證明.
【訓(xùn)練2】 (xx·遼寧)已知a,b,c均為正數(shù),證明:a2+b2+c2+2≥6,并確定a,b,c為何值時,等號成立.
證明 法一 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得,a2+b2+c2≥3(abc),①
++≥3(abc)-,
所以2≥9(abc)-,②
故a2+b2+c2+2≥3(abc)+9(abc)-.
又3(abc)+9(abc)-≥2=6,③
所以原不等式成立.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立.
當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)=9(abc)-時,③式等號成立.
10、故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時,原不等式等號成立.
法二 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①
同理++≥++,②
故a2+b2+c2+2≥ab+bc+ac+++≥6.③
所以原不等式成立.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時,③式等號成立.故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時,原不等式等號成立.
考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值
【例3】?已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求++的最大值.
[審題視點(diǎn)] 先
11、將(++)平方后利用基本不等式;還可以利用柯西不等式求解.
解 法一 利用基本不等式
∵(++)2=(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2·+2·+2·≤(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+[(3a+1)+(3b+1)]+[(3b+1)+(3c+1)]+[(3a+1)+(3c+1)]
=3[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]=18,
∴++≤3,
∴(++)max=3.
法二 利用柯西不等式
∵(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·+1·)2
∴(++)2≤3[3(a+b+c)+3].
又∵a+b+c=1,∴(++)2≤18,
∴+
12、+≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)==時,等號成立.
∴(++)max=3.
利用基本不等式或柯西不等式求最值時,首先要觀察式子特點(diǎn),構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式,其次要注意取得最值的條件是否成立.
【訓(xùn)練3】 已知a+b+c=1,m=a2+b2+c2,求m的最小值.
解 法一 ∵a+b+c=1,
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,
又∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
∴2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,
∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2).
∴a2+b2+c2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
13、c時,取等號,∴mmin=.
法二 利用柯西不等式
∵(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(1·a+1·b+1·c)=a+b+c=1.
∴a2+b2+c2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.
∴mmin=
如何求解含絕對值不等式的綜合問題
從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出,高考對《不等式選講》的考查難度要求有所降低,重點(diǎn)考查含絕對值不等式的解法(可能含參)或以函數(shù)為背景證明不等式,題型為填空題或解答題.
【示例】? (本題滿分10分)(xx·新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不
14、等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.
第(2)問解不等式|x-a|+3x≤0的解集,結(jié)果用a表示,再由{x|x≤-1}求a.
[解答示范] (1)當(dāng)a=1時,f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
(3分)
故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}.(5分)
(2)由f(x)≤0得,|x-a|+3x≤0.
此不等式化為不等式組或
即或(8分)
因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為.
由題設(shè)可得-=-1,故a=2.(10分)
本題綜合考查了含絕對值不等式的解法,屬于中檔題.解含絕對值的不等式主要是通過同解變形去
15、掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求解.含有多個絕對值符號的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法求解,對于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m為正常數(shù)),利用實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便.
【試一試】 (xx·遼寧)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)證明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
[嘗試解答] (1)f(x)=|x-2|-|x-5|=
當(dāng)2<x<5時,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知,當(dāng)x≤2時,f(x)≥x2-8x+15的解集為空集;當(dāng)2<x<5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x<5};
當(dāng)x≥5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}.
綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}.