《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案 蘇教版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案 蘇教版選修2-1（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.3　空間向量基本定理 3.1.4　空間向量的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問題.2.理解正交基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo). 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量基本定理 思考1　平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？ 思考2　只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基底嗎？ 梳理　空間向量基本定理 (1)定理內(nèi)容： ①條件：三個(gè)向量e1，e2，e3________. ②結(jié)論：對(duì)空間中任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使___

2、_____________. (2)基底： 定義 在空間向量基本定理中，e1，e2，e3是空間____________的三個(gè)向量，則把{e1，e2，e3}稱為空間的一個(gè)________，________叫做基向量 正交基底與單位正交基底 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相________，那么這個(gè)基底叫做正交基底.特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是________________時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用________表示 (3)推論： ①條件：O，A，B，C是____________的四點(diǎn). ②結(jié)論：對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，

3、y，z)，使得＝________________. 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的坐標(biāo)表示 思考1　對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a與b共線，則一定有＝＝嗎？ 思考2　若向量＝(x1，y1，z1)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)一定為(x1，y1，z1)嗎？ 梳理　(1)空間向量的坐標(biāo)表示 ①向量a的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的________向量i，j，k作為基向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在________的有序?qū)崝?shù)組________，使________，有序?qū)崝?shù)

4、組________叫做向量a在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)，記作________. ②向量的坐標(biāo)：對(duì)于空間任一點(diǎn)A(x，y，z)，向量是確定的，即＝(x，y，z). (2)空間中有向線段的坐標(biāo)表示 設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， ①坐標(biāo)表示：＝－＝________________. ②語言敘述：空間向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的________________. (3)空間向量的加減法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，試根據(jù)下面的提示填空. 運(yùn)算 表示方法 加法 a＋b＝______________

5、__ 減法 a－b＝________________ 數(shù)乘 λa＝________________(λ∈R) (4)空間向量平行的坐標(biāo)表示 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，則a∥b?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R). 類型一　空間向量基本定理及應(yīng)用 命題角度1　空間基底的概念 例1　已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底. 反思與感悟　基底判斷的基本思路及方法 (1)基本思路：判斷三

6、個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底. (2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底. ②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底. 跟蹤訓(xùn)練1　以下四個(gè)命題中正確的是________. ①空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示； ②若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線； ④任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)

7、基底. 命題角度2　空間向量基本定理的應(yīng)用 例2　在空間四邊形OABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量和. 引申探究 若將本例中的“G是△ABC的重心”改為“G是AD的中點(diǎn)”，其他條件不變，應(yīng)如何表示，？ 　 反思與感悟　用空間向量基本定理時(shí)，選擇合適的基底是解題的關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示

8、以下向量. (1)；(2)；(3)；(4). 類型二　空間向量的坐標(biāo)表示 例3　棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分別為棱DD′、D′C′、BC的中點(diǎn)，以{，，}為基底，求下列向量的坐標(biāo). (1)，，； (2)，，. 引申探究 本例中，若以{，，}為基底，試寫出，，的坐標(biāo). 反思與感悟　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟 跟蹤訓(xùn)練3　空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為________. 類型三　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用 例4

9、　已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4). (1)求＋，－； (2)是否存在實(shí)數(shù)x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 反思與感悟　向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定，即向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).特別地，當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)即是終點(diǎn)的坐標(biāo). 進(jìn)行空間向量的加減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是運(yùn)用好其運(yùn)算性質(zhì). 跟蹤訓(xùn)練4　已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，求|b－a|的最小值. 　 1.有下列三個(gè)命題 ①三個(gè)非零向量a、b、c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基

10、底，則a、b、c共面； ②不兩兩垂直的三個(gè)不共面的向量也可以作為空間向量的一組基底； ③若a、b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底. 其中為真命題的是________. 2.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b＝________. 3.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b＝________. 4.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，則的坐標(biāo)為________，的坐標(biāo)為________. 5.在四面體OAB

11、C中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示) 用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則，逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共線的e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 思考2　不一定，只需三個(gè)向量不共面，就可作為空間向量的一組基底，不需要兩兩垂直. 梳理　(

12、1)①不共面?、趐＝xe1＋ye2＋ze3　(2)不共面　基底　e1，e2，e3　垂直 單位向量　{i，j，k}　(3)①不共面 ②x＋y＋z 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　不一定.當(dāng)b中的x2，y2，z2中存在0時(shí)，式子＝＝無意義，故此種說法錯(cuò)誤. 思考2　不一定.由向量的坐標(biāo)表示知，若向量的起點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，若向量的起點(diǎn)A不與原點(diǎn)重合，則B點(diǎn)的坐標(biāo)就不為(x1，y1，z1). 梳理　(1)①單位　惟一　(x，y，z) a＝xi＋yj＋zk　(x，y，z)　a＝(x，y，z) (2)①(x2－x1，y2－y1，z2－z1) ②終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)

13、 (3)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(λa1，λa2，λa3) 題型探究 例1　解　假設(shè)，，共面， 由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù)x，y， 使＝x＋y成立. 所以＝e1＋2e2－e3 ＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 得解得 故，，共面，不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底. 跟蹤訓(xùn)練1?、冖? 例2　解　因?yàn)椋剑? 而＝，＝－， 又點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)， 所以＝(＋)， 所以＝＋ ＝＋(－) ＝＋×(＋)－ ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c).

14、 而＝－， 又因?yàn)椋剑健?＋)＝(b＋c)， 所以＝(b＋c)－(a＋b＋c) ＝－a. 所以＝(a＋b＋c)，＝－a. 引申探究 解　＝(＋) ＝＋×(＋) ＝a＋b＋c. ＝＝×(＋) ＝(b＋c). 所以＝－ ＝(b＋c)－(a＋b＋c) ＝－a＋b＋c. 跟蹤訓(xùn)練2　解　連結(jié)AC，AD′. (1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c). (2)＝(＋)＝(a＋2b＋c) ＝a＋b＋c. (3)＝(＋) ＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c. (4)＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝(＋)＋ ＝a＋b＋c. 例3　解　(1)＝＋ ＝＋＝＋ ＝

15、，＝＋ ＝＋＝， ＝＋＋ ＝＋＋＝. (2)＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝， ＝－＝(＋)－(＋) ＝－－ ＝， ＝－＝＋－ ＝－＝(1，－，0). 引申探究 解　＝＋＝－＋ ＝(－1,0，)， ＝＋＝－ ＝－＋＝(－，1,0)， ＝＋＝(0，，). 跟蹤訓(xùn)練3　 例4　解　＝(－1,1,2)－(－2,0,2) ＝(1,1,0)， ＝(－3,0,4)－(－2,0,2) ＝(－1,0,2). (1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2) ＝(0,1,2). －＝(1,1,0)－(－1,0,2) ＝(2,1，－2). (2)假設(shè)存在x，y∈R滿足條件，由已知可得＝(－2，－1,2).由題意得 (－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)， 所以所以 所以存在實(shí)數(shù)x＝1，y＝1使得結(jié)論成立. 跟蹤訓(xùn)練4　|b－a|min＝. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.①②　2.(2，－4,2)　3.(8,0,4) 4.(0,2,1)　(2,2,1)　5.a＋b＋c 12