3、(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
如果a>b>0，cb>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．
知識(shí)點(diǎn)三 證明方法
(1)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法．綜合法最重要的推理形式為p?q，其中P是已知或者已得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論．
(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件
4、、公理、定理等)為止．分析法最重要的推理形式為p?q，其中P是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件．
(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．
【新知拓展】
1．關(guān)于不等式性質(zhì)的理解
兩個(gè)同向不等式可以相加，但不可以相減，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d.
2．常用的結(jié)論
(1)a>b，ab>0?<.
(2)b<0.
(3)a>b>0，c>d>0?>.
(4)若a>b>0，m>0，則>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
3．比較大小的方法
(1)作差：比較數(shù)(式)的大小常用作差與0
5、比較．
作差法中常用的變形手段是分解因式和配方等恒等變形，前者將“差”化為“積”，后者將“差”化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可二者并用．
(2)作商：兩數(shù)(式)為同號(hào)時(shí)，作商與1比較．
4．利用不等式求范圍應(yīng)注意的問題
求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時(shí)必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍．
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若x2＝0，則x≥0.( )
(2)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，ab
6、，則ac2>bc2.( )
(4)若a>b>0，則>.( )
(5)若x>1，則x3＋2x與x2＋2的大小關(guān)系為x3＋2x>x2＋2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．做一做
(1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>b
C．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－b
(2)設(shè)bb－d B．a(chǎn)c>bd
C．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d
7、>b＋c
(3)已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系是________．
答案 (1)C (2)C (3)x2＋2>3x
題型一 作差法比較大小
例1 比較下列各組中兩數(shù)的大?。?
(1)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大??；
(2)已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。?
(3)已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋，n＝，比較m和n的大?。?
[解] (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
8、∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
(3)∵m－n＝＋－＝－＝＝.
又x，y均為正數(shù)，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立)．
[條件探究] 若將本例(2)中“x<1”改為“x∈R”
9、，則x3－1與2x2－2x的大小又如何呢？
解 由例題知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)，∵2＋>0，
∴當(dāng)x－1<0，即x<1時(shí)，x3－1<2x2－2x；
當(dāng)x－1＝0，即x＝1時(shí)，x3－1＝2x2－2x；
當(dāng)x－1>0，即x>1時(shí)，x3－1>2x2－2x.
金版點(diǎn)睛
作差比較法的四個(gè)步驟
(1)比較x3＋6x與x2＋6的大??；
(2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。?
解 (1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)．
∵x2＋6>0，∴當(dāng)x>1時(shí)，x3＋6x>x2＋6；
當(dāng)x＝1
10、時(shí)，x3＋6x＝x2＋6；
當(dāng)x<1時(shí)，x3＋6x0?a>b；
②a>b且c>d?ac>bd；
③a>b>0且c>d>0? > ；
④>?a>b.
[解析]?、?<；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，滿足已知條件，但推不出a>b，錯(cuò)誤；
②當(dāng)a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3時(shí)，命題顯然
11、不成立，錯(cuò)誤；
③?>>0? > 成立，正確；
④顯然c2>0，∴兩邊同乘以c2得a>b，正確．
[答案] ③④
金版點(diǎn)睛
解決這類問題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實(shí)質(zhì)是看是否滿足性質(zhì)所需的條件，若要判斷一個(gè)命題是假命題，可以從條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論，也可舉出一個(gè)反例予以否定.
(1)判斷下列命題是否正確，并說明理由．
①若>，則ad>bc；
②設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a－.
解 (1)①由>，所以－>0，
即>0，所以或
即ad>bc且cd>0或ad
12、且cd<0，故不正確．
②因?yàn)閍－0，b>0，所以a2b－b.
題型三 利用不等式的性質(zhì)證明不等式
例3 (1)已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb>0，c0.求證：≤.
[證明] (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc.
∴－ac<
13、－bc.
∵f－d>0.
又a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以0<<.再由00，要證≤，只需證明d(a＋b)≤b(c＋d)，展開得ad＋bd≤bc＋bd，即ad≤bc，bc－ad≥0，因?yàn)閎c－ad≥0成立，所以≤成立．
金版點(diǎn)睛
利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)與技巧
(1)實(shí)質(zhì)：就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式的性質(zhì)成立的條件．
(2)技巧：若不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)．然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成
14、立的充分條件，即使用分析法．所以要根據(jù)已知條件和所證結(jié)論合理選擇用綜合法還是分析法．
(1)已知c>a>b>0，求證：>；
(2)已知a，b，x，y都是正數(shù)，且>，x>y，求證：>.
證明 (1)∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0>0.又∵a>b>0，∴>.
(2)∵a，b，x，y都是正數(shù)且>，x>y，∴>，故<，則＋1<＋1，即<.∴>.
題型四 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
例4 (1)已知2
15、－3.
又2
16、0＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應(yīng)把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分別求出(x＋y)，－(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量之間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．
已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范圍．
解 令a＋b＝μ，a－b＝v，則2≤μ≤4,1≤v≤2.
由解得
因?yàn)?a－2b＝4·－2·
17、
＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.
所以5≤4a－2b≤10.
1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，則m與n的大小關(guān)系是( )
A．mn
C．m≥n D．m≤n
答案 D
解析 n－m＝x2≥0，∴n≥m.
2．設(shè)a，b，c，d∈R.則( )
A．a(chǎn)>b，c＝d?ac?a>b
C．a(chǎn)3>b3，ab>0?< D．a(chǎn)2>b2，ab>0?<
答案 C
解析 用排除法，A錯(cuò)誤，顯然c＝d＝0時(shí)，結(jié)論
18、不成立．B錯(cuò)誤，c<0時(shí)，結(jié)論不成立．D錯(cuò)誤，a＝－2，b＝－1時(shí)，結(jié)論不成立．故選C.
3．已知a<0，－1ab>ab2 B．a(chǎn)b2>ab>a
C．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a
答案 D
解析 本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解，由于－10，易得答案為D.本題也可以根據(jù)a，b的范圍取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到正確答案．
4．已知00，∴a>a2，∴a2
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)
