《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時(shí)作業(yè)(二十二)用向量方法求空間中的角 新人教B版選修2-1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時(shí)作業(yè)(二十二)用向量方法求空間中的角 新人教B版選修2-1(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時(shí)作業(yè)(二十二)用向量方法求空間中的角 新人教B版選修2-1
1.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,BC1與直線AB1夾角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)CB=1,則A(2,0,0),B1(0,2,1),C1(0,2,0),B(0,0,1),=(0,2,-1),=(-2,2,1).
cos〈,〉===.
答案:A
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中點(diǎn),則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為( )
A.- B.
C
2、.- D.
解析:建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).
∴=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).
設(shè)平面B1BD的法向量為n=(x,y,z).
∵n⊥,n⊥,
∴∴
令y=1,則n=(-1,1,0).
∴cos〈n,〉==,
設(shè)直線BE與平面B1BD所成角為θ,
則sinθ=|cos〈n,〉|=.
答案:B
3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,則AC與BD1所成角的余弦值為( )
A.0 B.
C.- D
3、.
解析:建立如圖坐標(biāo)系,則D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
∴=(-2,-2,3),=(-2,2,0).
∴cos〈,〉==0.
∴〈,〉=90°,其余弦值為0.
答案:A
4.正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小為( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:建系如圖,設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).
平面PAB的法向量為n1=(1,0,0).設(shè)平面PCD
4、的法向量n2=(x,y,z),
則得
令x=1,則z=1.
∴n2=(1,0,1),cos〈n1,n2〉==.
∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.∴此角的大小為45°.
答案:B
5.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D與底面所成角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°,
設(shè)B1C1=1,CC1==DD1.
∴C1D1=,則有B1(,0,0),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,).
∴
5、=(0,1,),=(-,0,).
∴cos〈,〉===.
答案:A
6.已知直角△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D為AB的中點(diǎn),沿中線將△ACD折起使得AB=,則二面角A-CD-B的大小為( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
解析:取CD中點(diǎn)E,在平面BCD內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作BF⊥CD,交CD延長(zhǎng)線于F.
據(jù)題意知AE⊥CD,AE=BF=,EF=2,AB=.
且〈,〉為二面角的平面角,
由=(++)2得
13=3+3+4+2×3×cos〈,〉,
∴cos〈,〉=-.
∴〈,〉=120°.
即所求的二面角為120°.
答案:
6、C
7.直線l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一個(gè)法向量n=(4,0,1),則直線l與平面α所成角的正弦值為_(kāi)_________.
解析:設(shè)直線l與平面α所成的角是θ,a,n所成的角為β,
sinθ=|cosβ|==.
答案:
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin〈,〉=________.
解析:建立如圖坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.
可知=(2,-2,1),=(2,2,-1).
cos〈,〉=-.
∴sin〈,〉=.
答案:
9.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是平面A1B1C1D1的中心,
7、則BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______.
解析:建立坐標(biāo)系如圖,
則B(1,1,0),O,
=(1,0,1)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量.
又=,
∴BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為==.
答案:
10.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,BC=2,原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(1)求向量的坐標(biāo);
(2)設(shè)向量和的夾角為θ,求cosθ的值.
解:(1)過(guò)D作DE⊥BC,垂足為E,
在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=,
∴DE
8、=CD·sin30°=.
OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-=.
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為,
即向量=.
(2)依題意,=,=(0,-1,0),=(0,1,0),
所以=-=,=(0,2,0).
則cosθ==-.
B組 能力提升
11.如圖所示,已知點(diǎn)P為菱形ABCD所在平面外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),則二面角C-BF-D的正切值為( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)AC∩BD=O,連接OF,
以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=,
9、
∴B,F(xiàn),C,D.
∴=,且為平面BDF的一個(gè)法向量.
由=,=可得平面BCF的一個(gè)法向量n=(1,,).
∴cos〈n,〉=,sin〈n,〉=.
∴tan〈n,〉=.
答案:D
12.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等,M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________.
解析:不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2,
則=-,=+,
cos〈,〉=
==0.
故AB1與BM的夾角為90°.
答案:90°
13.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn).
(1)求證
10、:MN⊥平面A1BC;
(2)求直線BC1和平面A1BC所成角的大?。?
解析:(1)證明:根據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AC=BC=CC1=a,
則B(0,a,0),B1(0,a,a),C(0,0,0),
C1(0,0,a),A1(a,0,a),M,N.
所以=(a,-a,a),=(a,0,a),
=.
于是·=0,·=0,
即MN⊥BA1,MN⊥CA1.
又BA1∩CA1=A1,故MN⊥平面A1BC.
(2)因?yàn)镸N⊥平面A1BC,
則為平面A1BC的法向量,
又
11、=(0,-a,a),
則cos〈,〉===,
所以〈,〉=60°.
故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°.
14.如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=AD.
(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??;
(2)證明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A-CD-E的余弦值.
解析:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn).
設(shè)AB=1,依題意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(xiàn)(0,0,1),M.
(1)=(-1,0,1),=(0
12、,-1,1),
于是cos〈,〉===.
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.
(2)證明:由=,=(-1,0,1),=(0,2,0),可得·=0,·=0.
因此,CE⊥AM,CE⊥AD.
15.如圖所示,已知在四面體ABCD中,O為BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.
(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.
解:(1)證明:因?yàn)锽O=DO,AB=AD,所以AO⊥BD.
因?yàn)锽O=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,而AC=2,所以AO2+CO2=AC2,
所以∠AOC=90°,即AO⊥OC.
因?yàn)锽D∩OC=O,所以AO⊥平面BCD.
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-,0),
所以cos〈,〉==,所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.