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高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語綜合檢測 新人教B版選修2-1

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1、高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語綜合檢測 新人教B版選修2-1 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.命題:“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是(  ) A.若x2≥1,則x≥1,或x≤-1 B.若-1<x<1,則x2<1 C.若x>1,或x<-1,則x2>1 D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1 【解析】 命題“若p,則q”的逆否命題為“若綈q,則綈p”. 【答案】 D 2(xx·濟(jì)南高二期末)若一個(gè)命題p的逆命題是一個(gè)假命題,則下列判斷一定正確的是(  ) A.命題p是真命題 B.命題p的否命

2、題是假命題 C.命題p的逆否命題是假命題 D.命題p的否命題是真命題 【解析】 命題p的逆命題與其否命題是互為逆否命題,具有相同的真假性,其他命題的真假無法確定. 【答案】 B 3.(xx·合肥高二檢測)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是 (  ) A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 【解析】 把全稱量詞改為存在量詞并把結(jié)論否定. 【答案】 D 4.(xx·福建高考)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則“x=2且y=-1”是“點(diǎn)P在直線l:x+y-1=0上”的( 

3、 ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】 當(dāng)x=2且y=-1時(shí),滿足方程x+y-1=0, 即點(diǎn)P(2,-1)在直線l上.點(diǎn)P′(0,1)在直線l上,但不滿足x=2且y=-1,∴“x=2且y=-1”是“點(diǎn)P(x,y)在直線l上”的充分而不必要條件. 【答案】 A 5.(xx·安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的(  ) A.充分不必要條件   B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】 當(dāng)α⊥β時(shí),由于α∩

4、β=m,b?β,b⊥m,由面面垂直的性質(zhì)定理知,b⊥α.又∵a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分條件. 而當(dāng)a?α且a∥m時(shí),∵b⊥m,∴b⊥a.而此時(shí)平面α與平面β不一定垂直,∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要條件,故選A. 【答案】 A 6.已知命題p:“a=1”是“?x>0,x+≥2”的充分必要條件;命題q:?x0∈R,x+x0-1>0,則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.命題“p∧q”是真命題 B.命題“p∧綈q”是真命題 C.命題“綈p∧q”是真命題 D.命題“綈p∧綈q”是真命題 【解析】 當(dāng)a=1時(shí),x+=x+≥2對(duì)?x>0成立,但反之不成立,故“a=1”

5、是“?x>0,x+≥2”的充分不必要條件,p為假命題,而q為真命題,故只有C正確. 【答案】 C 7.下列命題錯(cuò)誤的是(  ) A.命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題為:“若方程x2+x-m=0無實(shí)根,則m≤0” B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要條件 C.若p∧q為假命題,則p、q均為假命題 D.對(duì)于命題:?x∈R,使得x2+x+1<0,則綈p:?x∈R,均有x2+x+1≥0 【解析】 A、B、D都正確,對(duì)于C選項(xiàng),若p∧q為假命題,可能p、q均為假命題,也有可能p、q一真一假,故C錯(cuò). 【答案】 C 8.(xx·鄭州高二檢測)下面四個(gè)

6、條件中,使a>b成立的充分而不必要條件是(  ) A.a(chǎn)>b+1 B.a(chǎn)>b-1 C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3 【解析】 由a>b+1,得a>b,反之不成立. 【答案】 A 9.(xx·湛江高二檢測)對(duì)?x∈R,kx2-kx-1<0是真命題,則k的取值范圍是(  ) A.-4≤k≤0 B.-4≤k<0 C.-4<k≤0 D.-4<k<0 【解析】 由題意即kx2-kx-1<0對(duì)任意x∈R恒成立,當(dāng)k=0時(shí),-1<0恒成立;當(dāng)k≠0時(shí),有,即-4<k<0,所以-4<k≤0. 【答案】 C 10.給出下列命題: ①?x∈R,不等式x2+2x>4x-3成立;

7、 ②若log2x+logx2≥2,則x>1; ③命題“若a>b>0且c<0,則>”的逆否命題; ④若命題p:?x∈R,x2+1≥1.命題q:?x0∈R,x-2x0-1≤0,則命題p∧綈q是真命題. 其中真命題有(  ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【解析】?、僦校瑇2+2x>4x-3?(x-1)2+2>0恒成立,①為真命題. ②中,由log2x+logx2≥2,且log2x與logx2同號(hào), ∴l(xiāng)og2x>0,∴x>1,②為真命題. ③中,易知“a>b>0且c<0時(shí),>”, ∴原命題為真命題,故逆否命題為真命題,③為真命題. 在④中,p、q均為

8、真命題,則命題p∧綈q為假命題. 【答案】 A 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.) 11.“相似三角形的面積相等”的否命題是________.它的否定是________. 【答案】 若兩個(gè)三角形不相似,則它們的面積不相等 有的相似三角形的面積不相等 12.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命題,f(2)>0是真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______. 【解析】 依題意,∴3≤m<8. 【答案】 [3,8) 13.設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________. 【解析】 由Δ=16-4n≥0得n≤4,又∵

9、n∈N*,故n=1,2,3,4,驗(yàn)證可知n=3,4,符合題意;反之,當(dāng)n=3,4時(shí),可以推出一元二次方程有整數(shù)根. 【答案】 3或4 14.給出以下判斷: ①命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題; ②命題“?x∈N,x3>x2”的否定是“?x0∈N,使x>x”; ③“b=0”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c為偶函數(shù)”的充要條件; ④“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題為真命題. 其中正確命題的序號(hào)是________. 【解析】?、佗冖苁羌倜},③是真命題. 【答案】?、? 三、解答題(本大題共4小題,共50分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.) 15.(本小題滿分

10、12分)π為圓周率,a、b、c、d∈Q,已知命題p:若aπ+b=cπ+d,則a=c且b=d. (1)寫出綈p并判斷真假; (2)寫出p的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假. 【解】 (1)綈p:“若aπ+b=cπ+d,則a≠c或b≠d”. ∵a、b、c、d∈Q,由aπ+b=cπ+d, ∴π(a-c)=d-b∈Q,則a=c且b=d. 故p是真命題,∴綈p是假命題. (2)逆命題:“若a=c且b=d,則aπ+b=cπ+d”.真命題. 否命題:“若aπ+b≠cπ+d,則a≠c或b≠d”.真命題. 逆否命題:“若a≠c或b≠d,則aπ+b≠cπ+d”.真命題. 16.(本小題滿分1

11、2分)設(shè)命題p:?x0∈R,x+2ax0-a=0.命題q:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解】 當(dāng)p為真時(shí),Δ=4a2+4a≥0得a≥0或a≤-1,當(dāng)q為真時(shí),(a+2)x2+4x+a-1≥0恒成立, ∴即a≥2. 由題意得,命題p與q一真一假. 當(dāng)命題p為真,命題q為假時(shí),得a≤-1或0≤a<2. 當(dāng)命題p為假,命題q為真時(shí),得a∈?. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1]∪[0,2). 17.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0

12、有公共根的充要條件是∠A=90°. 【證明】 充分性:∵∠A=90°, ∴a2=b2+c2. 于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0, ∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0. ∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0. ∴該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c), 同樣另一方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0, ∴該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a). 可以發(fā)現(xiàn),x1=x3, ∴方程有公共根. 必要性:設(shè)x是方程的公共根, 則 由①+②,得

13、x=-(a+c),x=0(舍去). 代入①并整理,可得a2=b2+c2. ∴∠A=90°. ∴結(jié)論成立. 圖1 18.(本小題滿分14分)(xx·陜西高考)(1)如圖1所示,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真; (2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需證明). 【解】  (1) (1)法一 如圖(1),過直線b上任一點(diǎn)作平面π的垂線n,設(shè)直線a,b,c,n的方向向量分別是a,b,c,n,則b,c,n共面. 根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)λ,μ使得c=λb+μn, 則a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n). 因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0. 又因?yàn)閍π,n⊥π, 所以a·n=0. 故a·c=0,從而a⊥c. (2) 法二 如圖(2),記c∩b=A,P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過P作PO⊥π,垂足為O,則O∈c. 因?yàn)镻O⊥π,aπ,所以直線PO⊥a. 又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P, 所以a⊥平面PAO. 又c平面PAO, 所以a⊥c. (2)逆命題為:a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥c,則a⊥b. 逆命題為真命題.

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