《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學(xué)案 理 新人教A版（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　空間幾何體的三視圖、表面積與體積 [做真題] 題型一　三視圖與直觀圖 1．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．3 D．2 解析：選B．由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為＝＝2.故選B． 2．(2018·高考

2、全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：選A．由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A． 3．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)

3、棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為________． 解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為－1. 答案：26?。? 題型二　空間幾何體的表面積與體積 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作

4、模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g. 解析：由題易得長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－1

5、2＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8 2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________． 解析：如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4.因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.所以底面周長(zhǎng)l＝2π·AS′＝4π，所以圓錐的側(cè)面積為×

6、4×4π＝40π. 答案：40π 題型三　與球有關(guān)的切、接問題 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ )已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為(　　) A．8π B．4π C．2π D．π 解析：選D．因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB， 因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE. 取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP， 所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC， 所以PB⊥P

7、A，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形， 所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC 放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR3＝π＝π，故選D． 2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：選B．設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為x，則x2sin 60°＝9，得x＝6.設(shè)△ABC的

8、外接圓半徑為r，則2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18. 3．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C． D． 解析：選B．設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－＝，所以，圓柱的體積V＝π×1＝，故選B． [明考情] 1．“立體幾何”在高考中一般會(huì)以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積

9、，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(特別是平行與垂直)． 2．考查一個(gè)小題時(shí)，此小題一般會(huì)出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一個(gè)小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第10～16題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的考查． 空間幾何體的三視圖 [考法全練] 1．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))棱長(zhǎng)為1的正方體木塊ABCD-A1B1C1D1的直觀圖如圖所示，平面α過點(diǎn)D且平行于平面ACD1，則該木塊在平面α內(nèi)的正投影面積是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D．1 解析：選A．棱長(zhǎng)為1的正方體木塊A

10、BCD-A1B1C1D1在平面α內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形，如圖，正投影可以看成兩個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以木塊在平面α內(nèi)的正投影面積是2××××＝. 2．(2019·福州市第一學(xué)期抽測(cè))如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是(　　) 解析：選B．由題意，根據(jù)切削后的幾何體及其正視圖，可得相應(yīng)的側(cè)視圖的切口為橢圓，故選B． 3．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)如圖1，在三棱錐D-ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正視圖、俯視圖如圖2，則其側(cè)視圖的面積為(　　) A．　　　　　　　　　 B．2 C． D．

11、 解析：選D．由題意知側(cè)視圖為直角三角形，因?yàn)檎晥D的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2，則側(cè)視圖的高，即一直角邊長(zhǎng)也為2.因?yàn)楦┮晥D為邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以側(cè)視圖的另一直角邊長(zhǎng)為.所以側(cè)視圖的面積為，故選D． 4．(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值是(　　) A． B． C． D． 解析：選D．在棱長(zhǎng)為2的正方體中還原該四面體P-ABC.如圖所示，其中最短的棱為AB和BC，最長(zhǎng)的棱為PC.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值為，故選D． 5．

12、(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為(　　) A．8 B．4 C．8 D．12 解析：選D．由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2，PD＝6，PB＝4，連接AC，則AC＝4，所以PC＝4，顯然在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為＝2，所以S△PCD＝×4×2＝12，故該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為12，故選D． (1)識(shí)別三視圖的

13、步驟 ①應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚或根據(jù)幾何體的具體形狀，明確幾何體的擺放位置． ②根據(jù)三視圖的有關(guān)規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖． ③被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線． (2)由三視圖還原到直觀圖的思路 ①根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． ②根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置． ③確定幾何體的直觀圖形狀． (3)由幾何體的部分視圖判斷剩余的視圖的思路 先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合． 空間幾

14、何體的表面積和體積 [典型例題] 命題角度一　空間幾何體的表面積 (1)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知某幾何體是一個(gè)平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．20＋2　　　　　 B．18＋2 C．18＋ D．20＋ (2)(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是(　　) A．＋3 B．＋3 C． D． 【解析】　(1)如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，根據(jù)三視圖，還原幾何體的直觀圖為圖中多面體ABCD-A1C1D1，其表面積為S正方形ABCD

15、＋S＋S＋S＋S＋S＋S＝4＋4＋4＋2＋2＋2＋×8＝18＋2，故選B． (2)由三視圖知，該幾何體為圓錐挖掉圓臺(tái)后剩余部分，其表面積S表＝π×22＋π×12＋××4＋××2＋×2＝＋3.故選A． 【答案】　(1)B　(2)A 求幾何體的表面積的方法 (1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差得不規(guī)則幾何體的表面積．　 命題角度二　空間幾何體的體積 (1)(2019·武漢市調(diào)研

16、測(cè)試)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．π B．π C．2π D．2π (2)(2019·江西省五校協(xié)作體試題)某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個(gè)上底為2，下底為4的直角梯形，俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為________． 【解析】　(1)由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐組成的，所以該幾何體的體積V＝2××12×π×2＝，故選B． (2)把三視圖還原成幾何體ABC-DEF，如圖所示，在AD上取點(diǎn)G，使得AG＝2，連接GE，GF，則把幾何體ABC-DEF分割成三

17、棱柱ABC-GEF和三棱錐D-GEF，所以VABC-DEF＝VABC-GEF＋VD-GEF＝4×2＋×4×2＝. 【答案】　(1)B　(2) 求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算． (2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．　 (3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·唐山市摸底考試)已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為(　　) A．1－ B．3＋

18、C．2＋ D．4 解析：選D．由題設(shè)知，該幾何體是棱長(zhǎng)為1的正方體被截去底面半徑為1的圓柱后得到的，如圖所示，所以表面積S＝2×＋2×(1×1)＋×2π×1×1＝4.故選D． 2．(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知一所有棱長(zhǎng)都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為________． 解析：記所有棱長(zhǎng)都是的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝×＝，故三棱錐P-ABC的體積V＝S△ABC·OP＝××()2×＝. 答案： 與球有關(guān)的切、接問題 [典型例題] 命題角度一　外接球 (2019·石家莊市質(zhì)

19、量檢測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，則三棱錐P-AOB的外接球的體積是________． 【解析】　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，即OA⊥OB，因?yàn)镻B⊥平面ABCD，所以PB⊥AO，又OB∩PB＝B，所以AO⊥平面PBO，所以AO⊥PO，即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形，因?yàn)镻B⊥AB，所以△PAB是以PA為斜邊的直角三角形，所以三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA，因?yàn)镻B＝1，∠APB＝，所以PA＝2，所以三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1，所以三棱錐P-AOB的

20、外接球的體積為. 【答案】　 解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置．　 命題角度二　內(nèi)切球 (2019·廣東省七校聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________． 【解析】　通解：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD時(shí)半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑

21、為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即×2a×2a×2a＝××r，解得r＝(2－)a. 優(yōu)解：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD，即與四棱錐P-ABCD各個(gè)面均相切時(shí)，球的半徑最大，作出相切時(shí)的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則×2a×2a＝×(2a＋2a＋2a)×r，解得r＝(2－)a. 【答案】　(2－)a 求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．　 命題角度三　

22、與球有關(guān)的最值問題 (2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上．若△PAC是等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC體積的最大值為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．3 【解析】　根據(jù)AB⊥BC可知AC為三角形ABC所在截面圓O1的直徑，又平面PAC⊥平面ABC，△APC為等邊三角形，所以P在OO1上，如圖所示，設(shè)PA＝x，則AO1＝x，PO1＝x，所以PO1＝x＝OO1＋2＝＋2?＝4－?x2－2x＝0?x＝2，所以AO1＝×2＝，PO1＝×2＝3，當(dāng)?shù)酌嫒切蜛BC的面積最大時(shí)，即底面為等腰直

23、角三角形時(shí)三棱錐P-ABC的體積最大，此時(shí)V＝S△ABC×PO1＝××3＝3. 【答案】　B 多面體與球有關(guān)的最值問題，主要有三種：一是多面體確定的情況下球的最值問題，二是球的半徑確定的情況下與多面體有關(guān)的最值問題；三是多面體與球均確定的情況下，截面的最值問題．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于(　　) A．π B．π C．16π D．32π 解析：選B．設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B． 2

24、．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為(　　) A． B．π C． D． 解析：選C．正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×＝.故選C． 一、選擇題 1.如圖是一個(gè)正方體，A，B，C為三個(gè)頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A-BCD的正視圖和俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)(　　) 解析：選A．正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，故為虛線，易知選A． 2

25、．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選C．V＝V＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故選C． 3．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)面積為(　　) A．12 B．24 C．12＋ D．24＋2 解析：選B．根據(jù)三視圖可知該三棱柱的直觀圖如圖所示，所以該三棱柱的側(cè)面積S＝[2＋2]×4＝(2×2＋2)×4＝24. 4．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一

26、個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測(cè)畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：選B．根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是2和的直角三角形(如圖所示)，根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝×(×2×)×3＝.故選B． 5．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．4＋ B．4＋ C．12＋ D．12＋ 解析：選C．三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)長(zhǎng)方體的組合

27、體，半球的半徑為1，體積為，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2、2、3，體積為12.所以組合體的體積為12＋.故選C． 6．(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個(gè)半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為(　　) A．17π＋12 B．12π＋12 C．20π＋12 D．16π＋12 解析：選C．由三視圖知，該幾何體是一個(gè)由大半圓柱挖去一個(gè)小半圓柱得到的，兩個(gè)半圓柱的底面半徑分別為1和3，高均為3，所以該幾何體的表面積為×2π×3×3＋×2π×1×3＋2×＋2×2×3＝20π＋12，故選C． 7．(2019·濟(jì)

28、南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．5 B． C．6 D．8 解析：選C．該幾何體是以左視圖為底面的五棱柱，高為2，底面積為2×1＋×2×1＝3，故其體積為3×2＝6. 8．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)一個(gè)半徑為1的球?qū)ΨQ削去了三部分，其俯視圖如圖所示，那么該立體圖形的表面積為(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π 解析：選C．由題中俯視圖可知該球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分為該幾何體，所以該立體圖形的表面積為2×π×12＋3×π×12＝5π，故選C． 9．(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))一

29、個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該幾何體的表面積為(　　) A． B．7π C． D．8π 解析：選B．由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體的四分之一的組合體，則所求的幾何體的表面積為×4π×12＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，選B． 10．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長(zhǎng)為(　　) A．18 B．12 C．6 D．4 解析：選B．由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以O(shè)E＝O

30、F＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝＝2.因?yàn)椤鱋PF∽△DPE，所以＝，得DE＝2，AD＝3DE＝6，AB＝AD＝12.故選B． 11．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．32 B．16 C． D． 解析：選D．由三視圖知，該幾何體為直三棱柱ABC-A1B1C1割去一個(gè)小三棱錐D-ABC后剩余的部分，如圖所示，故所求幾何體的體積為×43－××42×2＝.故選D． 12．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所

31、得截面面積的最大值為(　　) A． B． C． D． 解析：選A．記該正方體為ABCD-A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點(diǎn)的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因?yàn)槿忮FA′-AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG

32、＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××＝，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為，故選A． 二、填空題 13．(一題多解)(2019·南昌市第一次模擬測(cè)試)底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為________． 解析：法一：由題意得，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，設(shè)正三棱錐的高為h，則××3×3×3＝××36h，解得h＝. 法二：由題意得，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面正三角形的外接圓的半徑為2，所以正三棱錐的高為＝. 答案： 14．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平

33、面ABC的距離為____________． 解析：如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC交BC于點(diǎn)E，作PF⊥AC交AC于點(diǎn)F.由題意知PE＝PF＝.過P作PH⊥平面ABC于點(diǎn)H，連接HE，HF，HC，易知HE＝HF，則點(diǎn)H在∠ACB的平分線上，又∠ACB＝90°，故△CEH為等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝，則CE＝1，故CH＝，在Rt△PCH中，可得PH＝，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為. 答案： 15．(2019·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__

34、______． 解析：由題可得，四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則圓柱底面的半徑為，易知四棱錐的高為＝2，故圓柱的高為1，所以圓柱的體積為π××1＝. 答案： 16. (2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解析：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a(a>0)cm，則△ABC的面積為a2，△DBC的高為5－a，則正三棱錐的高為＝，所以25－a>0，所以0