《(浙江專版)2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象學案 新人教A版必修4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(浙江專版)2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象學案 新人教A版必修4(11頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
1.4.3 正切函數(shù)的性質與圖象
預習課本P42~45,思考并完成以下問題
(1)正切函數(shù)有哪些性質?
(2)正切函數(shù)在定義域內是不是單調函數(shù)?
2、
正切函數(shù)y=tan x的性質與圖象
y=tan x
圖象
定義域
值域
R
周期
最小正周期為π
奇偶性
奇函數(shù)
單調性
在開區(qū)間(k∈Z)內遞增
[點睛] 正切函數(shù)的單調性:正切函數(shù)在每一個開區(qū)間(k∈Z)上,都是從-∞增大到+∞,故正切函數(shù)在每一個開區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù),但不能說函數(shù)y=tan x在定義域內是增函數(shù).
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1
3、)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.( )
(2)正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù).( )
(3)正切函數(shù)在定義域內無最大值和最小值.( )
(4)正切函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.函數(shù)y=tan的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
答案:A
3.函數(shù)f(x)=tan的單調遞增區(qū)間為( )
A.,k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案:C
4.函數(shù)y=tan x,x∈的值域是________.
答案:[0,1]
正切函數(shù)的定義
4、域
[典例] 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=tan;(2)y=.
[解] (1)由x+≠kπ+(k∈Z)得,
x≠kπ+,k∈Z,
所以函數(shù)y=tan的定義域為
.
(2)由-tan x≥0得,tan x≤.
結合y=tan x的圖象可知,在上,
滿足tan x≤的角x應滿足-
5、(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時,要將“ωx+φ”視為一個“整體”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
[活學活用]
求函數(shù)y=的定義域.
解:要使函數(shù)有意義,則有1+tan x≠0,
∴tan x≠-1,∴x≠kπ-且x≠kπ+,k∈Z.
因此,函數(shù)y=的定義域為
.
與正切函數(shù)有關的周期性、奇偶性問題
[典例] (1)求f(x)=tan的周期;
(2)判斷y=sin x+tan x的奇偶性.
[解] (1)∵tan=tan,
即tan=tan,
∴f(x)=tan的周期是.
(2)定義域為,關于原點對稱,
∵f(-x)=sin(-x)+tan(-
6、x)=-sin x-tan x=-f(x),
∴它是奇函數(shù).
與正切函數(shù)有關的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略
(1)一般地,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為T=,常常利用此公式來求周期.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域,判斷其是否關于原點對稱.若不對稱,則該函數(shù)無奇偶性,若對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關系.
[活學活用]
1.函數(shù)y=tan的最小正周期是( )
A.4 B.4π
C.2π D.2
解析:選D T==π·=2.
2.已知函數(shù)f(x)=tan x+,若f(α)=5,則f(-α)=________.
7、
解析:f(x)的定義域為∪(k∈Z).可知f(x)的定義域關于原點對稱.又f(-x)=tan(-x)+=-=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).∴f(-α)=-f(α)=-5.
答案:-5
正切函數(shù)的單調性及應用
題點一:求單調區(qū)間
1.求函數(shù)y=tan的單調區(qū)間.
解:y=tan=-tan,
由kπ-
8、增,
∴tan <tan,
∴-tan>-tan,
∴tan>tan.
題點三:求最值或值域
3.已知f(x)=tan2x-2tan x,求f(x)的值域.
解:令u=tan x,因為|x|≤,所以u∈[-, ],
所以函數(shù)化為y=u2-2u.
對稱軸為u=1∈[-, ].
所以當u=1時,ymin=12-2×1=-1.
當u=-時,ymax=3+2.
所以f(x)的值域為[-1,3+2 ].
1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù))的單調區(qū)間的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一個單調區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思想,令kπ-
9、<ωx+φ
10、.f(x)=tan的最小正周期為( )
A. B.
C.π D.2π
解析:選B 法一:函數(shù)y=tan(ωx+φ)的周期是T=,直接套用公式,可得T==.
法二:由誘導公式可得tan=tan=tan,所以f=f(x),所以周期為T=.
3.函數(shù)f(x)=tan與函數(shù)g(x)=sin的最小正周期相同,則ω=( )
A.±1 B.1
C.±2 D.2
解析:選A g(x)的最小正周期為π,則=π,得ω=±1.
4.函數(shù)y=|tan 2x|是( )
A.周期為π的奇函數(shù) B.周期為π的偶函數(shù)
C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)
解析:選
11、D f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)為偶函數(shù),T=.
5.與函數(shù)y=tan的圖象不相交的一條直線是( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
解析:選D 當x=時,2x+=,而的正切值不存在,所以直線x=與函數(shù)的圖象不相交.
6.函數(shù)y=的定義域是_____________________________________.
解析:由1-tan x≥0即tan x≤1結合圖象可解得.
答案:(k∈Z)
7.函數(shù)y=tan的單調遞增區(qū)間是_________________________________.
解析:令kπ-<2x+<kπ+,k
12、∈Z,
解得-
13、y=tan x,x∈是增函數(shù),
∴tan<tan,
即tan<tan.
10.已知f(x)=tan,
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x+φ)是奇函數(shù),則φ應滿足什么條件?并求出滿足|φ|<的φ值.
解:(1)法一:∵y=tan x的周期是π.
∴y=tan的周期是.
法二:由誘導公式知:tan
=tan=tan,
即f =f(x).
∴f(x)的周期是.
(2)∵f(x+φ)=tan是奇函數(shù),
∴圖象關于原點中心對稱,
∴+2φ=(k∈Z),
∴φ=-(k∈Z).
令<(k∈Z),
解得-<k<,k∈Z.
∴k=-1,0,1,或2.
從而得φ
14、=-,-,或.
層級二 應試能力達標
1.函數(shù)y=的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
解析:選C 要使函數(shù)有意義,只要logtan x≥0,即0<tan x≤1.由正切函數(shù)的圖象知,kπ<x≤kπ+,k∈Z.
2.函數(shù)y=tan(cos x)的值域是( )
A. B.
C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不對
解析:選C ∵-1≤cos x≤1,且函數(shù)y=tan x在[-1,1]上為增函數(shù),∴tan(-1)≤tan x≤tan 1.
即-tan 1≤tan x≤tan 1.
3.函數(shù)y=tan在一個周期內的圖象是( )
解析:
15、選A 令y=tan=0,則有x-=kπ,x=2kπ+,k∈Z.再令k=0,得x=,可知函數(shù)圖象與x軸一交點的橫坐標為.故可排除C、D.令x-=-,得x=-,或令x-=,得x=.故排除B,選A.
4.方程tan=在區(qū)間[0,2π)上的解的個數(shù)是( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:選B 由tan=,得2x+=+kπ(k∈Z),∴x=(k∈Z),又x∈[0,2π),∴x=0,,π,.故選B.
5.若tan x>tan且x在第三象限,則x的取值范圍是________.
解析:tan x>tan=tan,又x為第三象限角,
∴kπ+<x<kπ+(k∈Z).
16、
答案:(k∈Z)
6.已知函數(shù)y=tan ωx在內是單調減函數(shù),則ω的取值范圍是________.
解析:函數(shù)y=tan ωx在內是單調減函數(shù),則有ω<0,且周期T≥-=π,即≥π,故|ω|≤1,∴-1≤ω<0.
答案:[-1,0)
7.已知x∈,求函數(shù)y=+2tan x+1的最值及相應的x的值.
解:y=+2tan x+1=+2tan x+1
=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1.
∵x∈,∴tan x∈[-,1].
當tan x=-1,即x=-時,y取得最小值1;
當tan x=1,即x=時,y取得最大值5.
8.求函數(shù)y=tan的定義域、周期及單調區(qū)間.
解:由x-≠+kπ,k∈Z,
得x≠+2kπ,k∈Z,
所以函數(shù)y=tan的定義域為
.
T==2π,
所以函數(shù)y=tan的周期為2π.
由-+kπ