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(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 預(yù)習(xí)課本P106~107,思考并完成以下問題 (1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么? (2

2、)如何用坐標(biāo)表示向量的模、夾角、垂直?      1.兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ. 數(shù)量積 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,即a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b?x1x2+y1y2=0 [

3、點(diǎn)睛] 記憶口訣:數(shù)量積的坐標(biāo)表示可簡記為“對應(yīng)相乘計(jì)算和”. 2.與向量的模、夾角相關(guān)的三個(gè)重要公式 (1)向量的模:設(shè)a=(x,y),則|a|=. (2)兩點(diǎn)間的距離公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=. (3)向量的夾角公式:設(shè)兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ, 則cos θ==. 1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和.(  ) (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.(  ) (3)若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cos

4、 θ<0,則兩向量的夾角θ一定是鈍角.(  ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知a=(-3,4),b=(5,2),則a·b的值是(  ) A.23    B.7    C.-23    D.-7 答案:D 3.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,則由x的值構(gòu)成的集合是(  ) A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6} 答案:C 4.已知a=(1,),b=(-2,0),則|a+b|=________. 答案:2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 [典例] (1)(全國卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2

5、a+b)·a=(  ) A.-1           B.0 C.1 D.2 (2)(廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=(1,-2),=(2,1),則·=(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 [解析] (1)a=(1,-1),b=(-1,2), ∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. (2)由=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5. [答案] (1)C (2)A 數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑 進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)通常有兩條途

6、徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開,再依據(jù)已知計(jì)算.       [活學(xué)活用] 已知向量a與b同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量a的坐標(biāo); (2)若c=(2,-1),求(b·c)·a. 解:(1)因?yàn)閍與b同向,又b=(1,2), 所以a=λb=(λ,2λ). 又a·b=10,所以1·λ+2·2λ=10,解得λ=2>0. 因?yàn)棣耍?符合a與b同向的條件,所以a=(2,4). (2)因?yàn)閎·c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b·c)·a=0·a=0. 向量的模的問題 [典例] (1)設(shè)x,y

7、∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|=(  ) A. B. C.2 D.10 (2)已知點(diǎn)A(1,-2),若向量與a=(2,3)同向,||=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________. [解析] (1)由?? ∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1). ∴|a+b|=. (2)由題意可設(shè)=λa(λ>0), ∴=(2λ,3λ).又||=2, ∴(2λ)2+(3λ)2=(2)2,解得λ=2或-2(舍去). ∴=(4,6).又A(1,-2),∴B(5,4). [答案] (1)B (2)(5,4) 求向量

8、的模的兩種基本策略 (1)字母表示下的運(yùn)算: 利用|a|2=a2,將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題. (2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算: 若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.       [活學(xué)活用] 1.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,0),則|2a-b|的最大值為________. 解析:2a-b=(2cos θ-,2sin θ), |2a-b|= = =, 當(dāng)且僅當(dāng)cos θ=-1時(shí),|2a-b|取最大值2+. 答案:2+ 2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,則

9、|c|=________. 解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=2×(-1)+4×2=6,∴c=a-(a·b)b=(2,4)-6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8), ∴|c|==8. 答案:8 向量的夾角和垂直問題    [典例] (1)已知a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,則實(shí)數(shù)λ=________. (2)已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c與d的夾角為,則實(shí)數(shù)k的值為________. [解析] (1)∵a=(3,2),b=(-1,2), ∴a+λb=(3-λ,2+2λ). 又∵

10、(a+λb)⊥b, ∴(a+λb)·b=0, 即(3-λ)×(-1)+2×(2+2λ)=0, 解得λ=-. (2)c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0), 由cos =得=, ∴(2-k)2=(k-1)2,∴k=. [答案] (1)- (2) 解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng) (1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b以及|a||b|,再由cos θ=求出cos θ,也可由坐標(biāo)表示cos θ=直接求出cos θ.由三角函數(shù)值cos θ求角θ時(shí),應(yīng)注意角θ的取值范圍是0≤θ≤π. (2)由于0≤θ≤π,利用cos θ=來判斷角θ時(shí),要注意

11、cos θ<0有兩種情況:一是θ是鈍角,二是θ=π;cos θ>0也有兩種情況:一是θ為銳角,二是θ=0.       [活學(xué)活用] 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b與c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小. 解:(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3, ∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 設(shè)m,n的夾角為θ, 則cos

12、θ== ==-. ∵θ∈[0,π],∴θ=, 即m,n的夾角為. 求解平面向量的數(shù)量積 [典例] 已知點(diǎn)A,B,C滿足||=3,||=4,||=5,求·+·+·的值. [解] [法一 定義法] 如圖,根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形,且B=,cos A=,cos C=, ∴·+·+· =·+· =4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A) =-20cos C-15cos A =-20×-15× =-25. [法二 坐標(biāo)法] 如圖,建立平面直角坐標(biāo)系, 則A(3,0),B(0,0),C(0,4). ∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4).

13、 ∴·=-3×0+0×4=0, ·=0×3+4×(-4)=-16, ·=3×(-3)+(-4)×0=-9. ∴·+·+·=0-16-9=-25. [法三 轉(zhuǎn)化法] ∵||=3,||=4,||=5, ∴AB⊥BC,∴·=0, ∴·+·+·=·(+) =· =-||2=-25. 求平面向量數(shù)量積常用的三個(gè)方法 (1)定義法:利用定義式a·b=|a||b|cos θ求解; (2)坐標(biāo)法:利用坐標(biāo)式a·b=x1x2+y1y2解題; (3)轉(zhuǎn)化法:求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí),可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡,然后進(jìn)行計(jì)算.       [活學(xué)活用]

14、如果正方形OABC的邊長為1,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),那么cos∠DOE的值為________. 解析:法一: 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OC所在的直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則由已知條件,可得=,=. 故cos∠DOE===. 法二:∵=+=+, =+=+, ∴||=,| |=, ·=2+2=1, ∴cos∠DOE==. 答案: 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),則向量a在b方向上的投影為(  ) A.           B.3 C.- D.-3 解析:選D 向量a在b方向上的投影為==-3.選

15、D. 2.設(shè)x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,則|a+b|=(  ) A. B. C.2 D.10 解析:選B 由a⊥b得a·b=0, ∴x×1+1×(-2)=0,即x=2, ∴a+b=(3,-1), ∴|a+b|==. 3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,則k=(  ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:選D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12. 4.a(chǎn),b為平面向量,已知a=

16、(4,3),2a+b=(3,18),則a,b夾角的余弦值等于(  ) A. B.- C. D.- 解析:選C 設(shè)b=(x,y),則2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos〈a,b〉==. 5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是(  ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形 解析:選A 由題設(shè)知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),∴·=2×8+(-4)×4=0,即⊥. ∴∠BAC=90°, 故△ABC是直角三角形. 6.設(shè)向量a=(1,2m),b=

17、(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,則|a|=________. 解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,則a=(1,-1),故|a|=. 答案: 7.已知向量a=(1,),2a+b=(-1,),a與2a+b的夾角為θ,則θ=________. 解析:∵a=(1,),2a+b=(-1,), ∴|a|=2,|2a+b|=2,a·(2a+b)=2, ∴cos θ==,∴θ=. 答案: 8.已知向量a=(,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=,則向量b的坐標(biāo)為________. 解析:設(shè)b=(

18、x,y)(y≠0),則依題意有解得故b=. 答案: 9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若a⊥b,求x的值; (2)若a∥b,求|a-b|. 解:(1)若a⊥b, 則a·b=(1,x)·(2x+3,-x) =1×(2x+3)+x(-x)=0, 即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3. (2)若a∥b,則1×(-x)-x(2x+3)=0, 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2. 當(dāng)x=0時(shí),a=(1,0),b=(3,0), a-b=(-2,0),|a-b|=2. 當(dāng)x=-2時(shí),a=(1,-2),b=(-1,2), a-b=

19、(2,-4),|a-b|==2. 綜上,|a-b|=2或2. 10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). (1)求·及|+|; (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(-t)⊥,求t的值. 解:(1)∵=(-3,-1),=(1,-5), ∴·=-3×1+(-1)×(-5)=2. ∵+=(-2,-6), ∴|+|==2. (2)∵-t=(-3-2t,-1+t),=(2,-1),且(-t)⊥, ∴(-t)·=0, ∴(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0, ∴t=-1. 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1.設(shè)向量a=(1,0),b=,則下列結(jié)論中正確

20、的是(  ) A.|a|=|b|          B.a(chǎn)·b= C.a(chǎn)-b與b垂直 D.a(chǎn)∥b 解析:選C 由題意知|a|==1,|b|==,a·b=1×+0×=,(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,故a-b與b垂直. 2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上有一點(diǎn)P,使·有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(  ) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 解析:選C 設(shè)P(x,0),則=(x-2,-2),=(x-4,-1), ∴·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1, 故當(dāng)x=3時(shí),·最小,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

21、(3,0). 3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a與b的夾角是鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:選C x應(yīng)滿足(x,2)·(-3,5)<0且a,b不共線,解得x>,且x≠-,∴x>. 4.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥ (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(  ) A. B. C. D. 解析:選B 設(shè)C(x,y),則=(x,y). 又=(-3,1), ∴=-=(x+3,y-1). ∵∥, ∴5(x+3)-0·(y-1)=0,∴x=-3. ∵=(0,5), ∴=-=(x,y-5),=-=(3,4).

22、∵⊥,∴3x+4(y-5)=0,∴y=, ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是. 5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=________. 解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20. 因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,所以=,即=,所以=, 解得m=2. 答案:2 6.已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則·的值為______;·的最大值為______. 解析: 以D為坐

23、標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示. 則D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 設(shè)E(1,a)(0≤a≤1). 所以·=(1,a)·(1,0)=1, ·=(1,a)·(0,1)=a≤1, 故·的最大值為1. 答案:1 1 7.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐標(biāo); (2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ. 解:(1)設(shè)c=(x,y),∵|c|=2,∴=2, ∴x2+y2=20. 由c∥a和|c|=2, 可得解得或 故c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)∵

24、(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, ∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-, ∴cos θ==-1. 又θ∈[0,π],∴θ=π. 8.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ (λ2≠λ). (1)求·及在上的投影; (2)證明A,B,C三點(diǎn)共線,且當(dāng)=時(shí),求λ的值; (3)求||的最小值. 解:(1)·=8,設(shè)與的夾角為θ,則cos θ===, ∴在上的投影為||cos θ=4×=2. (2)=-=(-2,2),=-=(1-λ)·-(1-λ)=(λ-1),所以A,B,C三點(diǎn)共線. 當(dāng)=時(shí),λ-1=1,所以λ=2. (3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2 =16λ2-16λ+16=162+12, ∴當(dāng)λ=時(shí),||取到最小值,為2. 12

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