《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.4.2　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 思考　觀察下列圖形，思考以下問(wèn)題： (1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？ (2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2＝2px(p>0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？ 答案　(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個(gè)頂點(diǎn)，有兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦

2、點(diǎn)，無(wú)中心． (2)由拋物線y2＝2px(p>0)有所以x≥0. 梳理　四種形式的拋物線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 對(duì)稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) F F F F 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0,0) 離心率 e＝1 通徑長(zhǎng) 2p 知識(shí)點(diǎn)二　直線與拋物線的位置關(guān)系 直線y＝kx＋b與拋物線y

3、2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)． 當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)． 當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)三　焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 已知過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相

4、切． (1)拋物線沒(méi)有漸近線．(√) (2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)是p.(×) (3)若一條直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二者一定相切．(×) (4)“直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件．(√) 類型一　拋物線方程及其幾何性質(zhì) 例1　(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x2＝－2py，x2＝2

5、py(p＞0)．由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y或x2＝－16y. (2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，－6)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線方程是________________． 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱性簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　y2＝12x或x2＝－y 解析　若x軸是拋物線的對(duì)稱軸，則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)， 因?yàn)辄c(diǎn)(，－6)在拋物線上，所以(－6)2＝2p·，解得2p＝12，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.若y軸是拋物線的對(duì)稱軸，則同理可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y. 反思與感悟　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與

6、方法 (1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù)． (2)方法：①定義法：根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程． ②待定系數(shù)法：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)． ③直接法：建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程． 跟蹤訓(xùn)練1　已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點(diǎn)　由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　由簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 解　由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2ax(a≠0)， 則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l：x＝－， ∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)

7、分別為，， ∴|AB|＝2|a|. ∵△OAB的面積為4，∴··2|a|＝4， ∴a＝±2，∴拋物線方程為y2＝±4x. 類型二　焦點(diǎn)弦問(wèn)題 例2　已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離． 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)問(wèn)題 解　(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直線l的方程為 y＝. 聯(lián)立 消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故|

8、AB|＝×＝2×4＝8. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由拋物線定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6， 于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3， 又準(zhǔn)線方程是x＝－， 所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋＝. 反思與感悟　拋物線定義的兩種應(yīng)用 (1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題． (2)解決最值問(wèn)題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線

9、為直線解決最值問(wèn)題． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，斜率為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F(1,0)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程； (2)求線段AB的長(zhǎng)． 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 解　(1)由焦點(diǎn)F(1,0)，得＝1，解得p＝2， 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x， 其準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直線l的方程為y＝(x－1)， 與拋物線方程聯(lián)立，得 消去y，整理得4x2－17x＋4＝0， 由拋物線的定義可知， |AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝， 所以線段AB

10、的長(zhǎng)為. 類型三　直線與拋物線位置關(guān)系 例3　(1)過(guò)點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有(　　) A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 答案　B 解析　當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，滿足條件的直線有1條； 當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，滿足條件的直線有2條，故選B. (2)已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時(shí)，l與C：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)． 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 解　聯(lián)立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(

11、*) 當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式只有一個(gè)解x＝，∴y＝1， ∴直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 此時(shí)直線l平行于x軸． 當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式是一個(gè)一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①當(dāng)Δ＞0，即k＜1，且k≠0時(shí)， l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相交； ②當(dāng)Δ＝0，即k＝1時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相切； ③當(dāng)Δ＜0，即k＞1時(shí)，l與C沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相離． 綜上所述，當(dāng)k＝1或0時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k＜1，且k≠0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k＞1時(shí)，l與C沒(méi)有公共點(diǎn)． 引申探究 求過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2＝

12、2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程． 解　(1)若直線斜率不存在， 則過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線方程為x＝0， 由得 所以直線x＝0與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)． (2)若直線斜率存在，設(shè)為k， 則過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y＝kx＋1， 聯(lián)立消去y， 得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 當(dāng)k＝0時(shí)，得x＝，且y＝1， 即直線y＝1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)k≠0時(shí)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝， 則直線方程為y＝x＋1. 綜上所述，所求直線的方程為x＝0或y＝1或x－2y＋2＝0. 反思與感悟　設(shè)直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px

13、(p＞0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合． (2)若k2≠0，當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知直線y＝kx－k和拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　) A．直線和拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) B．直線和拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) C．直線和拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D．直線和拋物線可能沒(méi)有公共點(diǎn) 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋

14、物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 答案　C 解析　∵直線y＝kx－k過(guò)定點(diǎn)(1,0)， ∴當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k≠0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)． (2)(2017·牌頭中學(xué)期中)拋物線y＝x2上關(guān)于直線y＝x＋3對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為_(kāi)___． 答案　(－2,4)　(1,1) 解析　設(shè)直線MN的方程為y＝－x＋b， 代入y＝x2中， 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0， ∴b>－. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－1， ＝－＋b＝＋b， 由在直線y＝x＋3上， 即＋b＝－＋3，解得b＝2， 聯(lián)立得 解得 1．已

15、知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是(　　) A．y2＝－11x B．y2＝11x C．y2＝－22x D．y2＝22x 考點(diǎn)　由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　由簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 答案　C 解析　在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－， ∴拋物線的焦點(diǎn)為F， 設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p＞0)， 則＝，∴p＝11， ∴拋物線的方程是y2＝－22x，故選C. 2．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－B．－1C．－D．－ 考點(diǎn)

16、　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線性質(zhì)的綜合問(wèn)題 答案　C 解析　因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 且點(diǎn)A(－2,3)在準(zhǔn)線上， 故－＝－2，解得p＝4， 所以y2＝8x， 所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)， 這時(shí)直線AF的斜率kAF＝＝－. 3．若拋物線y2＝2px(p＞0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是(　　) A．成等差數(shù)列 B．既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線性質(zhì)的綜合問(wèn)題 答案　A 解析　設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，

17、P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3. 因?yàn)?y＝y(tǒng)＋y， 所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 4．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p＝________. 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　與弦長(zhǎng)有關(guān)的其他問(wèn)題 答案　2 解析　設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 易知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F， 且傾斜角為45°的直線的方程為y＝x－， 把x

18、＝y(tǒng)＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0， ∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2. ∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4， ∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2， 即(2p)2－4×(－p2)＝32. 又p>0，∴p＝2. 5．已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m＋|PC|的最小值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　拋物線定義與其他知識(shí)結(jié)合的應(yīng)用 答案　 解析　圓心C(－3，－4)，由拋物線的定義知，m＋|PC|最小時(shí)為圓心與拋物線焦點(diǎn)(2,0)間的距離，即＝. 1．

19、拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便． 2．軸對(duì)稱問(wèn)題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系． 3．在直線和拋物線的綜合問(wèn)題中，經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解決這類問(wèn)題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1.(2017·嘉興一中期末)已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若＝，則p的值等于(　　) A.B．2C．4D．8 答案　B 2．拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)

20、原點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p的值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 考點(diǎn)　由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　由簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 答案　D 解析　∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑． ∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6. 又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝， ∴＋＝6，∴p＝8. 3．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離的最小值是(　　) A.B.C.D．3 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求距離最小值問(wèn)題 答案　A 解析

21、　設(shè)拋物線y＝－x2上一點(diǎn)為(m，－m2)，該點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離為 ，當(dāng)m＝時(shí)，取得最小值為. 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)之比為3∶4∶5，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長(zhǎng)的三角形(　　) A．不存在 B．必是銳角三角形 C．必是鈍角三角形 D．必是直角三角形 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由拋物線定義，得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能

22、構(gòu)成三角形，|FC|所對(duì)角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形． 5．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用 答案　B 解析　因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性，知直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°. 由方程組 得或 所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，

23、所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. 6．(2017·牌頭中學(xué)期中)已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A．2B．3C.D. 答案　B 解析　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a2，a)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b2，b)，直線AB的方程為x＝ty＋m，與拋物線y2＝x聯(lián)立得y2－ty－m＝0，故ab＝－m，由·＝2得a2b2＋ab＝2，故ab＝－2或ab＝1(舍去)，所以m＝2，所以△ABO的面積為m|a－b|＝|a－b|＝，△AFO的面積等于×|a|＝，所以△ABO與△AFO的面積之和為＋≥2＝3，當(dāng)

24、且僅當(dāng)＝，即|a|＝時(shí)“＝”成立，故選B. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得＝p＝2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.

25、二、填空題 8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____________． 考點(diǎn)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　拋物線性質(zhì)的綜合問(wèn)題 答案　(1,2)或(1，－2) 解析　∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A， 則＝，＝， 由·＝－4，得y0＝±2， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，－2)． 9．(2017·嘉興一中期末)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為_(kāi)_______． 答案　 10．已知在拋物線y＝x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線y＝kx＋

26、對(duì)稱，則k的取值范圍為_(kāi)_________________． 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 答案　∪ 解析　設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)， 兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對(duì)稱，顯然k＝0時(shí)不成立， ∴＝－，即x1＋x2＝－. 設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x0，y0)， 則x0＝－，y0＝k×＋＝4. 又中點(diǎn)P在拋物線y＝x2內(nèi)， ∴4＞2，即k2＞， ∴k＞或k＜－. 三、解答題 11．(2017·嘉興一中期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)． (1)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求·的值； (2)如果·＝－4，證

27、明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)． 解　(1)由題意知拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋16>0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0，Δ＝16t2＋16b>0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1

28、＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0， ∴b＝2. ∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)． ∴若·＝－4，則直線l必過(guò)一定點(diǎn)(2,0)． 12．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線截直線x－2y－1＝0所得的弦長(zhǎng)為，求此拋物線的方程． 考點(diǎn)　由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　已知弦長(zhǎng)求拋物線的方程 解　設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)． 由方程組消去y， 得2x2－ax

29、＋a＝0. ∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)， ∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8. 設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝＝＝. ∵|AB|＝，∴＝， 即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12， ∴所求拋物線的方程為x2＝－4y或x2＝12y. 13．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)． (1)設(shè)l的斜率為2，求|AB|的值； (2)求證：·是一個(gè)定值． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線的綜合問(wèn)題 (1)解　依題意得F(1,0)， ∴直線l的

30、方程為y＝2(x－1)． 設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，整理得x2－3x＋1＝0， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝1. 方法一　|AB|＝ ＝×＝5. 方法二　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5. (2)證明　設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，整理得y2－4ky－4＝0， ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4. ∵·＝(x1，y1)·(x2，y2) ＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)

31、＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3， ∴·是一個(gè)定值． 四、探究與拓展 14．已知直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為(2p,2p)，則其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 答案　 解析　由題意，知直線l過(guò)和(2p,2p)， 所以直線l：y＝.設(shè)另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)， 聯(lián)立 整理得8x2－17px＋2p2＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋2p＝， 所以焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為x1＋2p＋p＝. 15．已知拋物線y2＝2x. (1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)

32、A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|； (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值d，并寫出d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線的綜合問(wèn)題 解　(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則|PA|2＝2＋y2＝2＋2x ＝2＋. 因?yàn)閤≥0，且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，|PA|min＝， 故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)，最短距離是. (2)同(1)求得|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)． 當(dāng)a－1≥0，即a≥1時(shí)，|PA|＝2a－1， 解得|PA|min＝，此時(shí)x＝a－1； 當(dāng)a－1＜0，即a＜1時(shí)，|PA|＝a2， 解得|PA|min＝|a|，此時(shí)x＝0. 所以d＝f(a)＝ 17