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(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修2

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1、 §1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標 1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 知識點 利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象 在客觀世界中,周期現(xiàn)象廣泛存在,潮起潮落、星月運轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換,甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化. 思考 現(xiàn)實世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述? 答案 三角函數(shù)模型. 梳理 (1)利用三角函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟 第一步:閱讀理解,審清題意. 讀題要做到逐字逐句,讀懂題中的文字,理解題目所反映的實際背景,在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么,從中提煉出相應(yīng)的

2、數(shù)學(xué)問題. 第二步:收集、整理數(shù)據(jù),建立數(shù)學(xué)模型. 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律,運用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關(guān)知識建立關(guān)系式,將實際問題轉(zhuǎn)化為一個與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,即建立三角函數(shù)模型,從而實現(xiàn)實際問題的數(shù)學(xué)化. 第三步:利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答. 第四步:將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案. (2)三角函數(shù)模型的建立程序 如圖所示: 類型一 三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用 例1 一根細線的一端固定,另一端懸掛一個小球,當小球來回擺動時,離開平衡位置的位移S(單位:cm)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系是S=6sin. (1)畫出它的圖象

3、; (2)回答以下問題: ①小球開始擺動(即t=0),離開平衡位置是多少? ②小球擺動時,離開平衡位置的最大距離是多少? ③小球來回擺動一次需要多少時間? 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 解 (1)周期T==1(s). 列表: t 0 1 2πt+ π 2π 2π+ 6sin 3 6 0 -6 0 3 描點畫圖: (2)①小球開始擺動(即t=0),離開平衡位置為3 cm. ②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm. ③小球來回擺動一次需要1 s(即周期). 反思與感悟

4、 此類問題的解決關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言,其中,讀圖、識圖、用圖是數(shù)形結(jié)合的有效途徑. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖是一個簡諧運動的圖象,則下列判斷正確的是(  ) A.該質(zhì)點的振動周期為0.7 s B.該質(zhì)點的振幅為-5 cm C.該質(zhì)點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大 D.該質(zhì)點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 D 解析 由圖象及簡諧運動的有關(guān)知識知T=0.8 s,A=5 cm,當t=0.1 s及t=0.5 s時,v=0,故排除選項A,B,C. 類型二 三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用 例2

5、 如圖所示,游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動,每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘,其中心O距離地面40.5米,半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪,那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化,以你登上摩天輪的時刻開始計時,請解答下列問題: (1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式; (2)當你第4次距離地面60.5米時,用了多長時間? 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解 (1)由已知可設(shè)y=40.5-40cos ωt,t≥0, 由周期為12分鐘可知,當t=6時,摩天輪第1次到達最高點,即此函數(shù)第1次取得最大值, 所以6ω=π,即ω=, 所以y=40.

6、5-40cos t(t≥0). (2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時,第t0分鐘時距離地面60.5米. 由60.5=40.5-40cos t0,得cos t0=-, 所以t0=或t0=, 解得t0=4或t0=8, 所以t=8(分鐘)時,第2次距地面60.5米, 故第4次距離地面60.5米時,用了12+8=20(分鐘). 反思與感悟 解決三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行:(1)認真審題,理清問題中的已知條件與所求結(jié)論;(2)建立三角函數(shù)模型,將實際問題數(shù)學(xué)化;(3)利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決關(guān)于三角函數(shù)的問題,求得數(shù)學(xué)模型的解;(4)根據(jù)實際問題的意義,得出實際問題的解;(

7、5)將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,一個摩天輪半徑為10 m,輪子的底部在距離地面2 m處,如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動,每300 s轉(zhuǎn)一圈,且當摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時. (1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式; (2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),大約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解 (1)設(shè)在t s時,摩天輪上某人在高h m處.這時此人所轉(zhuǎn)過的角為 t= t,故在t s時,此人相對于地面的高度為h=10sin t+12(t≥0). (

8、2)由10sint+12≥17,得sint≥, 則25≤t≤125. 故此人有100 s相對于地面的高度不小于17 m. 1.彈簧振子的振幅為2 cm,在6 s內(nèi)振子通過的路程是32 cm,由此可知該振子振動的(  ) A.頻率為1.5 Hz B.周期為1.5 s C.周期為6 s D.頻率為6 Hz 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 B 解析 振幅為2 cm,振子在一個周期內(nèi)通過的路程為8 cm,易知在6 s內(nèi)振動了4個周期,所以T=1.5 s. 2.電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I=5sin,則當t= s時

9、,電流強度I為(  ) A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 B 解析 當t=時,I=5sin =5sin=5cos ==2.5(A). 3.一根長l cm的線,一端固定,另一端懸掛一個小球,小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s=3cos,其中g(shù)是重力加速度,當小球擺動的周期是1 s時,線長l=________ cm. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案  解析 ∵T==1,∴ =2π,∴l(xiāng)=. 4.下圖表示相

10、對于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天0~24時的變化情況,則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為____________________. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案 h=-6sin t,t∈[0,24] 解析 根據(jù)題圖設(shè)h=Asin(ωt+φ), 則A=6,T=12,=12,∴ω=. 點(6,0)為“五點”作圖法中的第一點, ∴×6+φ=0,∴φ=-π, ∴h=6sin=-6sin t,t∈[0,24]. 5.某實驗室一天的溫度(單位:℃)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t)=10-2sin,t∈[0,2

11、4). (1)求實驗室這一天的最大溫差; (2)若要求實驗室溫度不高于11℃,則在哪段時間實驗室需要降溫? 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解 (1)因為f(t)=10-2sin, 又0≤t<24, 所以≤t+<,-1≤sin≤1. 當t=2時,sin=1; 當t=14時,sin=-1. 于是f(t)在[0,24)上的最大值為12,最小值為8. 故實驗室這一天的最高溫度為12℃,最低溫度為8℃,最大溫差為4℃. (2)依題意,當f(t)>11時實驗室需要降溫. 由(1)得f(t)=10-2sin, 故有10-2sin>11, 即sin<

12、-. 又0≤t<24,因此

13、 B.6 C.8 D.10 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案 C 解析 由題干圖易得ymin=k-3=2,則k=5. ∴ymax=k+3=8. 3.彈簧上掛的小球做上下振動,它在時間t(s)時離開平衡位置的位移s(cm)滿足函數(shù)關(guān)系式s=2sin.給出下列三種說法:①小球開始時在平衡位置上方 cm處;②小球下降到最低點時在平衡位置下方2 cm處;③經(jīng)過2π s小球重復(fù)振動一次.其中正確的說法是(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 D 解析 

14、當t=0時,s=2sin=,故①正確;smin=-2,故②正確;函數(shù)的最小正周期T=2π,故③正確. 4.如圖所示為2018年某市某天中6 h至14 h的溫度變化曲線,其近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象,則該天8 h的溫度大約為(  ) A.16 ℃ B.15 ℃ C.14 ℃ D.13 ℃ 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案 D 解析 由題意得A=×(30-10)=10, b=×(30+10)=20, ∵2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=, ∴y=10sin+20, 將x=6,y=10代入得10si

15、n+20=10, 即sin=-1, 由于<φ<π,可得φ=, ∴y=10sin+20,x∈[6,14]. 當x=8時,y=10sin+20=20-5≈13, 即該天8 h的溫度大約為13 ℃,故選D. 5.一觀覽車的主架示意圖如圖所示,其中O為輪軸的中心,距地面32 m(即OM長),巨輪的半徑長為30 m,AM=BP=2 m,巨輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每12分鐘轉(zhuǎn)動一圈.若點M為吊艙P的初始位置,經(jīng)過t分鐘,該吊艙P距離地面的高度為h(t) m,則h(t)等于(  ) A.30sin+30 B.30sin+30 C.30sin+32 D.30sin 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用

16、 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 答案 B 解析 過點O作地面的平行線作為x軸,過點O作x軸的垂線作為y軸,過點B作x軸的垂線BN交x軸于N點,如圖,點A在圓O上逆時針運動的角速度是=,所以t分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t. 設(shè)θ=t,當θ>時,∠BON=θ-, h=OA+BN=30+30sin, 當0<θ<時,上述關(guān)系式也適合. 故h=30+30sin=30sin+30. 6.如圖所示,有一廣告氣球,直徑為6 cm,放在公司大樓上空,當行人仰望氣球中心的仰角∠BAC=30°時,測得氣球的視角為β=1°,當θ很小時,可取sin θ≈θ,試估算氣球的高BC的值約為(  ) A.

17、70 m B.86 m C.102 m D.118 m 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案 B 解析 AC==≈×180≈172(m), 又∠BAC=30°,∴BC=AC=86 m. 7.(2017·襄陽高一檢測)設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(m)關(guān)于時間t(h)的函數(shù),其中0≤t≤24.下表是該港口某一天從0到24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長期觀測,

18、函數(shù)y=f(x)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+k的圖象.下面的函數(shù)中,最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(  ) A.y=12+3sin t,t∈[0,24] B.y=12+3sin,t∈[0,24] C.y=12+3sin t,t∈[0,24] D.y=12+3sin,t∈[0,24] 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案 A 解析 由已知數(shù)據(jù),可得y=f(t)的周期T=12, 所以ω==. 由已知可得振幅A=3,k=12. 又當t=0時,y=12,所以令×0+φ=0得φ=0, 故y=12+3sin t,t∈[

19、0,24]. 二、填空題 8.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)為血壓(mmHg),t為時間(min),則此人每分鐘心跳的次數(shù)是________. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 答案 80 解析 T==(分),f==80(次/分). 9.已知某種交流電電流I(A)隨時間t(s)的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)I=5sin,t∈[0,+∞),則這種交流電在0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為________. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 25 解析 因為f====50,

20、所以0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為0.5×50=25. 10.如圖所示,彈簧下掛著的小球做上下振動.開始時小球在平衡位置上方2 cm處,然后小球向上運動,小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是4 cm,每經(jīng)過π s小球往復(fù)振動一次,則小球離開平衡位置的位移y與振動時間x的關(guān)系式可以是________. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 y=4sin 解析 不妨設(shè)y=Asin(ωx+φ). 由題意知A=4,T=π,所以ω==2. 當x=0時,y=2,且小球開始向上運動, 所以有φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=, 故所求關(guān)系式可以為y=4

21、sin. 11.一個單擺的平面圖如圖.設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為α(rad),并規(guī)定當小球在鉛錘方向右側(cè)時α為正角,左側(cè)時α為負角.α作為時間t(s)的函數(shù),近似滿足關(guān)系式α=Asin,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)時,α=,且每經(jīng)過π s小球回到初始位置,那么A=________;α關(guān)于t的函數(shù)解析式是____________________. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案  α=sin,t∈[0,+∞) 解析 ∵當t=0時,α=, ∴=Asin,∴A=. 又∵周期T=π,∴=π,解得ω=2. 故所求的函數(shù)解析式是α=s

22、in,t∈[0,+∞). 三、解答題 12.如圖,一個水輪的半徑為4 m,水輪圓心O距離水面2 m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈,如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間. (1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù); (2)點P第一次到達最高點大約需要多少時間? 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解 (1)如圖所示建立平面直角坐標系,設(shè)角φ是以O(shè)x為始邊,OP0為終邊的角. OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為=, 則OP在時間t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為t. 由題意可知水輪逆時針轉(zhuǎn)動, 得z=4sin+2. 當t=0時,z=0

23、,得sin φ=-,即φ=-. 故所求的函數(shù)關(guān)系式為z=4sin+2. (2)令z=4sin+2=6, 得sin=1, 令t-=,得t=20, 故點P第一次到達最高點大約需要20 s. 13.(2017·廣東汕頭金山中學(xué)高一月考)據(jù)市場調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每月的價格滿足函數(shù)關(guān)系式:f(x)=Asin(ωx+φ)+B,x為月份.已知3月份該商品的價格首次達到最高,為9萬元,7月份該商品的價格首次達到最低,為5萬元. (1)求f(x)的解析式; (2)求此商品的價格超過8萬元的月份. 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解 (1)由題意可知=7-3=4

24、,∴T=8, ∴ω==. 又∴ 即f(x)=2sin+7.(*) 又f(x)過點(3,9),代入(*)式得2sin+7=9, ∴sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z. 又|φ|<,∴φ=-, ∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*). (2)令f(x)=2sin+7>8, ∴sin>, ∴+2kπ

25、n的圖象,若其在區(qū)間[0,t]上至少有2個波峰,則正整數(shù)t的最小值是(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案 C 15.(2017·福建龍巖一中高一月考)某海濱浴場一天的海浪高度y(m)是時間t(0≤t≤24)(h)的函數(shù),記作y=f(t),下表是某天各時的浪高數(shù)據(jù): t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間

26、t(h)的函數(shù)關(guān)系; (2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度不少于1 m時才對沖浪愛好者開放海濱浴場,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的8 h至20 h之間,有多少時間可供沖浪愛好者進行沖浪? 考點 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 解 (1)以時間為橫坐標,海浪高度為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出散點圖,如圖所示: 依據(jù)散點圖,可以選用函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+h來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系. 從表中數(shù)據(jù)和散點圖,可知A==,T=12, 所以=12,得ω=. 又h==1,于是y=sin+1. 由圖,知×0+φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|≤,所以φ=, 從而y=sin+1, 即y=cos t+1(0≤t≤24). (2)由題意,可知y≥1, 所以cos t+1≥1,即cos t≥0, 所以2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z), 即12k-3≤t≤12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24,所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24. 故一天內(nèi)的8 h至20 h之間有6個小時可供沖浪愛好者進行沖浪,即9 h至15 h. 17

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