《(浙江專用版)2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學案 新人教A版必修2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用版)2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學案 新人教A版必修2(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.1.2 弧度制
學習目標 1.理解角度制與弧度制的概念,能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性,建立角的集合與實數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系.3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式.
知識點一 角度制與弧度制
思考1 在初中學過的角度制中,1度的角是如何規(guī)定的?
答案 周角的等于1度.
思考2 在弧度制中,1弧度的角是如何規(guī)定的,如何表示?
答案 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角,用符號rad表示.
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎?
答案 “1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角,是一個定
2、值,與所在圓的半徑大小無關(guān).
梳理 (1)角度制和弧度制
角度制
用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制,規(guī)定1度的角等于周角的
弧度制
長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用符號rad表示,讀作弧度.以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制
(2)角的弧度數(shù)的計算
如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=.
知識點二 角度制與弧度制的換算
思考 角度制和弧度制都是度量角的單位制,它們之間如何進行換算呢?
答案 利用1°= rad和1 rad=°進行弧度與角度的換算.
梳理 (1)角度與弧度的互化
角度化弧度
弧度化
3、角度
360°=2π rad
2π rad=360°
180°=π rad
π rad=180°
1°= rad≈0.017_45 rad
1 rad=°≈57.30°
(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知識點三 扇形的弧長及面積公式
思考 扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示?
答案 設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l,α為其圓心角的弧度數(shù),則:
α為度數(shù)
α為弧
4、度數(shù)
扇形的弧長
l=
l=αR
扇形的面積
S=
S=lR=αR2
1.1 rad的角和1°的角大小相等.( × )
提示 1 rad的角和1°的角大小不相等,1°= rad.
2.用弧度來表示的角都是正角.( × )
提示 弧度也可表示負角,負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).
3.“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關(guān).( √ )
提示 “1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角,是一個定值,與所在圓的半徑大小無關(guān).
類型一 角度與弧度的互化
例1 將下列角度與弧度進行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
考點 弧度制
題點
5、 角度與弧度的互化
解 (1)20°==.
(2)-15°=-=-.
(3)=×180°=105°.
(4)-=-×180°=-396°.
反思與感悟 將角度轉(zhuǎn)化為弧度時,要把帶有分、秒的部分化為度之后,牢記π rad=180°即可求解.把弧度轉(zhuǎn)化為角度時,直接用弧度數(shù)乘以°即可.
跟蹤訓練1 (1)把下列角度化成弧度:
①-150°=________;②2 100°=________;
③11°15′=________;④112°30′=________.
(2)把下列弧度化成角度:
①=________;②-=________;
③=________;④-=_____
6、___.
考點 弧度制
題點 角度與弧度的互化
答案 (1)①-?、讦小、邸、?
(2)①30°?、冢?00°?、?1°?、埽?5°
類型二 用弧度制表示終邊相同的角
例2 把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第幾象限角.
(1)-1 500°;(2);(3)-4.
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
解 (1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°.
∴-1 500°可化成-10π+,是第四象限角.
(2)∵=2π+,
∴與終邊相同,是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4),<2π-4<π.
7、∴-4與2π-4終邊相同,是第二象限角.
反思與感悟 用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數(shù)倍,而不是整數(shù)倍,還要注意角度制與弧度制不能混用.
跟蹤訓練2 (1)把-1 480°寫成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π;
(2)在[0°,720°]內(nèi)找出與角終邊相同的角.
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
解 (1)∵-1 480°=-1 480×=-,
而-=-10π+,且0≤α≤2π,∴α=.
∴-1 480°=+2×(-5)π.
(2)∵=×°=72°,
∴終邊與角相同的角為θ=72°+k·360°(k∈Z),
當k=0時
8、,θ=72°;當k=1時,θ=432°.
∴在[0°,720°]內(nèi)與角終邊相同的角為72°,432°.
類型三 扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用
例3 (1)若扇形的中心角為120°,半徑為,則此扇形的面積為( )
A.π B. C. D.
(2)如果2弧度的圓心角所對的弦長為4,那么這個圓心角所對的弧長為( )
A.2 B. C.2sin 1 D.
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
答案 (1)A (2)D
解析 (1)扇形的中心角為120°=,半徑為,
所以S扇形=|α|r2=××()2=π.
(2)連接圓心與弦的中點,則以
9、弦心距、弦長的一半、半徑長為長度的線段構(gòu)成一個直角三角形,半弦長為2,其所對的圓心角也為2,故半徑長為.這個圓心角所對的弧長為2×=.
反思與感悟 聯(lián)系半徑、弧長和圓心角的有兩個公式:一是S=lr=|α|r2,二是l=|α|r,如果已知其中兩個,就可以求出另一個.求解時應(yīng)注意先把度化為弧度,再計算.
跟蹤訓練3 一個扇形的面積為1,周長為4,求圓心角的弧度數(shù).
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
解 設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l,則2R+l=4,
∴l(xiāng)=4-2R,根據(jù)扇形面積公式S=lR,
得1=(4-2R)·R,
∴R=1,∴l(xiāng)=2,∴α===
10、2,
即扇形的圓心角為2 rad.
1.下列說法正確的是( )
A.1弧度就是1度的圓心角所對的弧
B.1弧度是長度為半徑的弧
C.1弧度是1度的弧與1度的角之和
D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小
考點 弧度制
題點 弧度制的定義
答案 D
解析 由弧度的定義可知D正確.
2.把化為角度是( )
A.270° B.280° C.288° D.318°
考點 弧度制
題點 角度與弧度的互化
答案 C
解析 =×°=288°.
3.若θ=-5,則角θ的終邊在( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象
11、限
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
答案 D
解析 2π-5與-5的終邊相同,
∵2π-5∈,
∴2π-5是第一象限角,則-5也是第一象限角.
4.(2017·浙江省91聯(lián)盟聯(lián)考)如圖,以正方形ABCD的頂點A為圓心,邊AB的長為半徑作扇形EAB,若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數(shù)大小為________.
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的面積公式
答案 2-
解析 設(shè)正方形的邊長為a,∠EAD=α,
由已知可得a2-πa2=αa2,∴α=2-.
5.已知扇形AOB的圓心角α為,半徑長R為6,求:
(1)弧AB的長;
(2)扇形所含
12、弓形的面積.
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
解 (1)l=α·R=π×6=4π,
所以弧AB的長為4π.
(2)S扇形OAB=lR=×4π×6=12π.
如圖所示,過點O作OD⊥AB,交AB于點D,π=120°,
所以∠AOD=60°,∠DAO=30°,
于是有S△OAB=×AB×OD
=×2×6cos 30°×3=9.
所以弓形的面積為S扇形OAB-S△OAB=12π-9.
所以弓形的面積是12π-9.
1.角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))
13、與它對應(yīng);反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應(yīng).
2.解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180°=π rad”這一關(guān)系式.
易知:度數(shù)× rad=弧度數(shù),弧度數(shù)×°=度數(shù).
3.在弧度制下,扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化,在具體應(yīng)用時,要注意角的單位取弧度.
一、選擇題
1.下列說法中,錯誤的是( )
A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關(guān)
考點 弧度制
題點 弧度制的定義
答案
14、 D
解析 根據(jù)1度,1弧度的定義可知只有D是錯誤的,故選D.
2.-240°化為弧度是( )
A.-π B.-π
C.-π D.-π
考點 弧度制
題點 角度與弧度的互化
答案 A
解析?。?40°=-240×=-π.
3.(2017·濰坊檢測)圓的半徑是6 cm,則圓心角為15°的扇形面積是( )
A. cm2 B. cm2 C.π cm2 D.3π cm2
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的面積公式
答案 B
解析 因為15°=,所以l=×6=(cm),
所以S=lr=××6=(cm2).
4.設(shè)角α=-2弧度,則α所在的象限為(
15、 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
答案 C
解析 ∵-π<-2<-,
∴2π-π<2π-2<2π-,
即π<2π-2<π,
∴2π-2為第三象限角,∴α為第三象限角.
5.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是( )
A.-π B.-2π
C.π D.-π
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
答案 A
解析 ∵-π=-2π+
=2×(-1)π+,
∴θ=-π.
6.若扇形圓心角為,則扇形內(nèi)切圓的面積與扇形面積之比為( )
A.1∶3 B.
16、2∶3
C.4∶3 D.4∶9
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的面積公式
答案 B
解析 設(shè)扇形的半徑為R,扇形內(nèi)切圓半徑為r,
則R=r+=r+2r=3r.∴S內(nèi)切圓=πr2.
S扇形=αR2=××R2=××9r2=πr2.
∴S內(nèi)切圓∶S扇形=2∶3.
7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的杰出代表作.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=(弦×矢+矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為,半徑為4 m的弧田,按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是( )
A.
17、6 m2 B.9 m2
C.12 m2 D.15 m2
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 根據(jù)題設(shè),弦=2×4sin=4(m),
矢=4-2=2(m),
故弧田面積=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)
=4+2≈9(m2).
二、填空題
8.-π是第________象限的角.
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
答案 三
解析 因為-π=-6π-π,而-π是第三象限的角,所以-π是第三象限的角.
9.(2017·寧波期末)弧度制是數(shù)學上一種度量角的單位制,數(shù)學家歐拉在他的著作《無窮小分析概
18、論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位.已知一個扇形的弧長等于其半徑長,則該扇形圓心角的弧度數(shù)是________.
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長公式
答案 1
解析 設(shè)扇形的弧長和半徑長為l,由弧度制的定義可得,該扇形圓心角的弧度數(shù)是α==1.
10.時針經(jīng)過一小時,轉(zhuǎn)過了________.
考點 弧度制的應(yīng)用
題點 弧度制的應(yīng)用
答案 - rad
解析 時針經(jīng)過一小時,轉(zhuǎn)過-30°,
又-30°=- rad.
11.已知弧長為π cm的弧所對的圓心角為,則這條弧所在圓的直徑是________ cm,這條弧所在的扇形面積是________ cm2.
考點
19、 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
答案 8 2π
12.π是第________象限角.
答案 三
解析?。?0π+.
∵與終邊相同,
又∵是第三象限角,
∴是第三象限角.
三、解答題
13.已知一扇形的圓心角是α,所在圓的半徑是R.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積;
(2)若扇形的周長是a,當α為多少弧度時,該扇形有最大面積?
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
解 (1)設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓,
∵α=60°=,R=10(cm),∴l(xiāng)=αR= (cm).
S弓
20、=S扇-S△=××10-2××10×sin ×10×cos =50 (cm2).
(2)∵l+2R=a,∴l(xiāng)=a-2R,
從而S=·l·R=(a-2R)·R
=-R2+R=-2+.
∴當半徑R=時,l=a-2·=,
扇形面積的最大值是,這時α==2(rad).
∴當扇形的圓心角為2 rad,半徑為時,扇形面積最大,為.
四、探究與拓展
14.如圖,已知一個長為 dm,寬為1 dm的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾,翻滾到第四面時被一小木板擋住,使木塊底面與桌面成30°的角.求點A走過的路程的長及走過的弧度所對扇形的總面積.
考點 扇形的弧長與面積公式
題點 扇形的弧長與面積公式的綜合應(yīng)用
解 AA1所在圓弧的半徑是2 dm,圓心角為;A1A2所在圓弧的半徑是1 dm,圓心角為;A2A3所在圓弧的半徑是 dm,圓心角為,所以走過的路程是3段圓弧之和,即2×+1×+×=π(dm);3段圓弧所對的扇形的總面積是×2×π+×+××=(dm2).
12