6、：由題意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以點M的軌跡是一條線段．
答案：線段F1F2
2．橢圓＋＝1的焦距為4，則m＝________．
解析：當焦點在x軸上時，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.當焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.
答案：4或8
3．已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為________．
解析：設P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以
7、c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P點坐標為或.
答案：或
橢圓的定義及應用
(1)(2019·高考浙江卷)已知橢圓＋＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．
(2)(2020·杭州模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．
【解析】 (1)如圖，取
8、PF的中點M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|＝2，設橢圓的右焦點為F1，連接PF1.在△PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|＝4，由橢圓的定義知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因為M為PF的中點，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，過O作OH⊥MF于點H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.
(2)設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 (1) (2)3
(變條件)本例(2)中增加條件“△PF1F2的周
9、長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程．
解：由原題得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故橢圓的方程為＋＝1.
(1)橢圓定義的應用范圍
①確認平面內(nèi)與兩定點有關的軌跡是否為橢圓．
②解決與焦點有關的距離問題．
(2)焦點三角形的結(jié)論
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
①|(zhì)PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
③焦點三角形的周長為2(a＋c)．
④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ
10、＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，為bc.
1．(2020·溫州模擬)設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△PF1F2的面積為( )
A．4 B．6
C．2 D．4
解析：選A.因為點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因為|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2，顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積為×2×4＝4.故
11、選A.
2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________．
解析：設動圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8<16，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a＝16，2c＝8，則a＝8，c＝4，所以b2＝48，又焦點C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為＋＝1.
答案：＋＝1
橢圓的標準方程
(1)(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e＝，且它的一個焦點與拋物線y
12、2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
(2)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0b>0)，由已知可得拋物線的焦點為(－1，0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.
(2)不妨設點A在第一象限，如圖所示．因為AF2⊥x軸，所以|AF2|＝b2.
因為|AF1|＝3|
13、BF1|，
所以B.
將B點代入橢圓方程，
得＋＝1，所以c2＋＝1.
又因為b2＋c2＝1，所以
故所求的方程為x2＋＝1.
【答案】 (1)A (2)x2＋＝1
1．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________．
解析：設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點，所以P1，P2點坐標適合橢圓方程，則
①②兩式聯(lián)立，解得
所以所求橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率
14、，則橢圓C2的方程為________．
解析：法一：(待定系數(shù)法)由已知可設橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)，其離心率為，故＝，
解得a＝4，故橢圓C2的方程為＋＝1.
法二：(橢圓系法)因橢圓C2與C1有相同的離心率，且焦點在y軸上，故設C2：＋x2＝k(k>0)，即＋＝1.
又2＝2×2，故k＝4，故C2的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
3．與橢圓＋＝1有相同離心率且經(jīng)過點(2，－)的橢圓的方程為________________．
解析：法一：(待定系數(shù)法)
因為e＝＝＝＝＝，若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，
則1－＝.從而＝，＝.
又＋＝1，所以m
15、2＝8，n2＝6.
所以方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(h>k>0)，則＋＝1，且＝，解得h2＝，k2＝.
故所求方程為＋＝1.
法二：(橢圓系法)
若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝t(t>0)，將點 (2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設方程為＋＝λ(λ>0)，
代入點(2，－)，得λ＝，故所求方程為＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
橢圓的幾何性質(zhì)(高頻考點)
橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大．主要命題角度有：
(1)由橢圓的方程研究其性質(zhì)；
(2)求橢圓離心率的值(范圍
16、)；
(3)由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值(范圍)；
(4)橢圓性質(zhì)的應用．
角度一 由橢圓的方程研究其性質(zhì)
已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為( )
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
【解析】 因為圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，
所以圓心坐標為(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.
因為橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓的左頂點為(－5，0)．
【答案】 D
角度二 求橢圓離心率的值(范圍)
(1)(2020·麗水模擬)橢圓C的兩個焦
17、點分別是F1，F(xiàn)2，若C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是( )
A．e≤ B．e≥
C.≤e≤ D．0b>0)的右焦點F(c，0)關于直線y＝x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________．
【解析】 (1)因為橢圓C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.
由a－c≤|PF1|≤a＋c，
解得≤≤.
所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.
(2)設橢圓的另一個焦點為F1(－c，0)，如圖，連接QF1，QF，設QF與直線y＝x交于點M.
由題意知M為線段Q
18、F的中點，且OM⊥FQ，
又O為線段F1F的中點，
所以F1Q∥OM，
所以F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由橢圓的定義得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，所以a＝＝c，
故e＝＝.
【答案】 (1)C (2)
角度三 由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值(范圍)
已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實數(shù)m等于( )
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
【解析】 顯然m>0且m≠4，當0
19、，橢圓長軸在x軸上，則＝，解得m＝2；當m>4時，橢圓長軸在y軸上，則＝，解得m＝8.
【答案】 D
角度四 橢圓性質(zhì)的應用
(2020·嘉興質(zhì)檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．
【解析】 設P點坐標為(x0，y0)．
由題意知a＝2，
因為e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故所求橢圓方程為＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因為F(－1，0)，A(2，0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(
20、x0－2)2.即當x0＝－2時，·取得最大值4.
【答案】 4
(1)求橢圓離心率的方法
①直接求出a，c的值，利用離心率公式e＝＝直接求解．
②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解．
(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路
①將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關系．
②將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關系求范圍．
1．已知正數(shù)m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2＋＝1的焦點坐標為( )
A．(±，0)
B．(0，±)
C．(±，0)或(±，0
21、)
D．(0，±)或(±，0)
解析：選B.因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以m2＝16，即m＝4，所以橢圓x2＋＝1的焦點坐標為(0，±)，故選B.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A.以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝＝，選A.
3．橢圓＋y2＝1上到點C(1，0)的距離最小的點P的坐標為________．
解析：設點P
22、(x，y)，則
|PC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋
＝x2－2x＋2＝＋.
因為－2≤x≤2，所以當x＝時，|PC|min＝，
此時點P的坐標為或.
答案：或
[基礎題組練]
1．已知橢圓＋＝1的焦點在x軸上，焦距為4，則m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：選A.因為橢圓＋＝1的焦點在x軸上．
所以解得6
23、D.＋＝1或＋＝1
解析：選B.因為a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因為焦點的位置不確定，
所以橢圓的標準方程是＋＝1或＋＝1.
3．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ的長為10，△PF2Q的周長為36，則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選C.PQ為過F1垂直于x軸的弦，則Q，△PF2Q的周長為36.
所以4a＝36，a＝9.
由已知＝5，即＝5.
又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.
4．(2020·杭州地區(qū)七校聯(lián)考)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(
24、)
A．1 B.
C．2 D．2
解析：選D.設a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，依題意知，當三角形的高為b時面積最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(當且僅當b＝c＝1時取等號)，故選D.
5．(2020·富陽二中高三調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A(－4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝( )
A. B.
C. D.
解析：選D.橢圓＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
故A(－4，0)和C(4，0)是橢圓的兩個焦點，
所以|AB|＋|BC|＝2a＝10，|AC|＝8，由正弦定理得
＝＝＝.
25、
6．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝(c為橢圓的半焦距)有四個不同的交點，則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A.因為橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝(c為橢圓的半焦距)的中心都在原點，
且它們有四個交點，
所以圓的半徑，
由＋c＞b，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在橢圓中，a2＝b2＋c2＜5c2，
所以e＝＞；
由＋c＜a，得b＋2c＜2a，
再平方，b2＋4c2＋4bc＜4a2，
所以3c2＋4bc＜3a2，
所以4bc＜3b2，所以4c＜3b，
所以16c2＜9b2，所以16c2＜9a2－9
26、c2，
所以9a2＞25c2，所以＜，所以e＜.
綜上所述，＜e＜.
7．(2020·義烏模擬)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標準方程為________．
解析：由題意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·義烏模擬)已知圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率e＝________．
解析：圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，故橢圓的一個焦點為F(1，0)，一個頂點為A(3，0)，所以c＝1，a＝3
27、，因此橢圓的離心率為.
答案：
9．(2020·瑞安四校聯(lián)考)橢圓＋＝1(a為定值，且a＞)的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是________．
解析：設橢圓的右焦點為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
當且僅當AB過右焦點F′時等號成立．
此時周長最大，即4a＝12，則a＝3.故橢圓方程為＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案：
10．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(
28、a>b>0)的左、右焦點，點在橢圓上，且點(－1，0)到直線PF2的距離為，其中點P(－1，－4)，則橢圓的標準方程為________．
解析：設F2的坐標為(c，0)(c>0)，則kPF2＝，故直線PF2的方程為y＝(x－c)，即x－y－＝0，點(－1，0)到直線PF2的距離d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又點在橢圓E上， 所以＋＝1，②
由①②可得所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
11．已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點．求該橢圓的標準方程．
29、解：由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知條件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
12．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝，設B(x，y)．由＝2，
30、得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.將B點坐標代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.所以橢圓的方程為＋＝1.
[綜合題組練]
1．(2020·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A、B，左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M、N兩點．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A.因為圓O與
31、直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|＝，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點M的坐標為，代入橢圓方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0
32、F|的最大值為________，最小值為________．
解析：如圖所示，設橢圓右焦點為F1，則|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P，A，F(xiàn)1共線時等號成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
故|PA|＋|PF|的最大值為6＋，最小值為6－.
答案：6＋ 6－
4.(2020·富陽市場口中學高三期中)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2＋y2＝b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓
33、C的離心率為________．
解析：連接OQ，F(xiàn)1P如圖所示，
由切線的性質(zhì)，得OQ⊥PF2，
又由點Q為線段PF2的中點，O為F1F2的中點，
所以OQ∥F1P，所以PF2⊥PF1，
故|PF2|＝2a－2b，
且|PF1|＝2b，|F1F2|＝2c，
則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
得4c2＝4b2＋4(a2－2ab＋b2)，
解得b＝a.則c＝a，
故橢圓的離心率為.
答案：
5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(，1)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標原點)的斜率之積為－.若動
34、點P滿足＝＋2，求點P的軌跡方程．
解：(1)因為e＝，所以＝，
又橢圓C經(jīng)過點(，1)，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝2，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2，
因為點M，N在橢圓＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1
35、x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故點P的軌跡方程是＋＝1.
6．已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為(0，2)，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且＝2.
(1)求橢圓的方程；
(2)求m的取值范圍．
解：(1)由題意知橢圓的焦點在y軸上，可設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝，
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，
得
則(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根與系數(shù)的關系知，
又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0時不符合題意，所以k2＝>0，
解得0，解不等式
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 5 第5講 橢圓教學案
