《（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題七 選考內(nèi)容教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題七 選考內(nèi)容教學(xué)案 理（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題七 選考內(nèi)容 第一講 選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [考情分析] 1．坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用． 2．全國卷對此部分的考查以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．　　　　 考點一　極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 [典例感悟] [典例1]　(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|

2、＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解]　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2sin－≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最

3、大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [方法技巧] 1．求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路 曲線的極坐標(biāo)方程問題通常可利用互換公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解，然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．熟練掌握互換公式是解決問題的關(guān)鍵． 2．解決極坐標(biāo)交點問題的一般思路 一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點的直角坐標(biāo)，再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)限制條件求出交點的極坐標(biāo)． [演練沖關(guān)] 1．(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4c

4、os θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2， 即sin θ＝2co

5、s θ， 可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. 考點二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 [典例感悟] [典例2]　(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. [解]　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，－，.

6、 (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝ ＝ . 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為 ， 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時，d的最大值為， 由題設(shè)得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. [方法技巧] 參數(shù)方程化為普通方程的方法及參數(shù)方程的應(yīng)用 (1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． (2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最

7、值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． [演練沖關(guān)] 2．已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最

8、大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 考點三　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用　 [典例感悟] [典例3]　(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． [解]　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

9、 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. [方法技巧] 解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)在參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先將其化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題，用

10、參數(shù)方程計算會比較簡捷． (3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件． [演練沖關(guān)] 3．(2017·成都模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標(biāo)為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為 (ρcos θ)2＋

11、(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈， ∴θ＝. (2)由題，易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立，得 解得ρ＝4. ∴點B的極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. [課時跟蹤檢測] 1．(2017·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸的正半

12、軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直線l與曲線C交于P，Q兩點． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過的定點A的坐標(biāo)； (2)在(1)的條件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直線l的普通方程． 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2y2＝12. 直線l恒過的定點為A(2,0)． (2)把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中得， (sin2α＋1)t2＋4(cos α)t－8＝0. 由t的幾何意義知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|. ∵點A在橢圓內(nèi)，這個方程必有兩個實根， ∴t1

13、t2＝－， ∵|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝6， ∴＝6，即sin2α＝， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝，cos α＝±， ∴直線l的斜率k＝±， 因此，直線l的方程為 y＝(x－2)或y＝－(x－2)． 2．(2017·鄭州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為，半徑為1的圓． (1)求曲線C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)M為曲線C1上的點，N為曲線C2上的點，求|MN|的取值范圍． 解：(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為＋y2＝1. 由題可知，曲線C2

14、的圓心的直角坐標(biāo)為(0,3)， ∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－3)2＝1. (2)設(shè)M(2cos φ，sin φ)，曲線C2的圓心為C2， 則|MC2|＝＝ ＝ ＝. ∵－1≤sin φ≤1，∴|MC2|min＝2，|MC2|max＝4. 根據(jù)題意可得|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5， 即|MN|的取值范圍是[1,5]． 3．(2017·合肥模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)

15、設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P是圓C上任意一點，求A，B兩點的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值． 解：(1)由 消去參數(shù)t，得圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B. 設(shè)點P的坐標(biāo)為(－5＋cos t,3＋sin t)，則點P到直線l的距離為 d＝＝， 所以dmin＝＝2.又|AB|＝2， 所以△PAB面積的最小值是Smin＝×2×2＝4. 4．(2018屆高

16、三·西安八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，θ∈. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)在曲線C上求一點D，使它到直線l： (t為參數(shù))的距離最短，并求出點D的直角坐標(biāo)． 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因為ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1. (2)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))， 消去t得直線l的普通方程為y＝－x＋5. 因為曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0,1)為圓心、1為半徑的

17、圓，(易知C，l相離) 設(shè)點D(x0，y0)，且點D到直線l：y＝－x＋5的距離最短， 所以曲線C在點D處的切線與直線l：y＝－x＋5平行． 即直線GD與l的斜率的乘積等于－1，即×(－)＝－1， 又x＋(y0－1)2＝1， 可得x0＝－(舍去)或x0＝，所以y0＝， 即點D的直角坐標(biāo)為. 5．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到曲線C2上點的距離的

18、最小值． 解：(1)由曲線C1：得曲線C1的普通方程為＋y2＝1. 由曲線C2：ρsin＝4得，ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0. (2)易知橢圓C1與直線C2無公共點， 橢圓上的點P(cos α，sin α)到直線x＋y－8＝0的距離為d＝＝，其中φ是銳角且tan φ＝. 所以當(dāng)sin(α＋φ)＝1時，d取得最小值. 6．(2017·成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ－4sin θ＝0. (1)寫出直線l

19、的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點P(1,0)．若點M的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q，求|PQ|的值． 解：(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， ∴直線l的普通方程為y＝tan α·(x－1)． 由ρcos2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos2 θ－4ρsin θ＝0，即x2－4y＝0. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y. (2)∵點M的極坐標(biāo)為，∴點M的直角坐標(biāo)為(0,1)． 又直線l經(jīng)過點M，∴1＝tan α·(0－1)， ∴tan α＝－1，即直線l的傾斜角α＝. ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 代入

20、x2＝4y，得t2－6t＋2＝0. 設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. ∵Q為線段AB的中點， ∴點Q對應(yīng)的參數(shù)值為＝＝3. 又點P(1,0)是直線l上對應(yīng)t＝0的點，則|PQ|＝＝3. 7．(2017·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)a的值． 解：(1)∵曲線C1的參數(shù)方程

21、為 ∴其普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由得2t2－2t＋1－4a＝0. Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，即a>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又|PA|＝2|PB|，∴2|t1|＝2×2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2. 當(dāng)t1＝2t2時，有解得a＝>0，符合題意． 當(dāng)t1

22、＝－2t2時，有解得a＝>0，符合題意． 綜上所述，實數(shù)a的值為或. 8．(2017·貴陽檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動點，求當(dāng)AB取最小值時△AOB的面積． 解：(1)由得C1的普通方程為(x－4)2＋(y－5)2＝9.由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 將x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式，得C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1. (2

23、)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點共線，且A，B在線段C1C2上時，|AB|取得最小值， 由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)， ∴kC1C2＝＝1，則直線C1C2的方程為x－y＋1＝0， ∴點O到直線C1C2的距離d＝＝，又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4， ∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－. 第二講 選修4－5　不等式選講 [考情分析] 1．不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是絕對值不等式的解法以及不等式的證明，其中絕對值不等式的解法以及絕對值不等式與函數(shù)綜合問題的求解是命題的熱點． 2．該部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考時應(yīng)

24、注意分類討論思想的應(yīng)用．　　　　 考點一　絕對值不等式的解法 [典例感悟] [典例1]　(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)a＝1時，不等式f(x)≥g(x)等價于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 當(dāng)x＜－1時，①式化為x2－3x－4≤0，無解； 當(dāng)－1≤x≤1時，①式化為x2－x－2≤0，解得－1≤x≤1； 當(dāng)x＞1時，①式化為x2＋x－4≤0， 解得

25、1＜x≤. 所以f(x)≥g(x)的解集為x－1≤x≤. (2)當(dāng)x∈[－1,1]時，g(x)＝2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等價于當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必為f(－1)與f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范圍為[－1,1]． [方法技巧] 絕對值不等式的常用解法 (1)基本性質(zhì)法：對a∈R＋，|x|a?x<－a或x>a. (2)平方法：兩邊平方去掉絕對值符號． (3)零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法

26、脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解． (4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離求解． (5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解． [演練沖關(guān)] 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x＜－1時，f(x)≥1無解； 當(dāng)－1≤x≤2時，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2； 當(dāng)x＞2時，由f(x)≥

27、1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤， 且當(dāng)x＝時，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 故m的取值范圍為. 考點二　不等式的證明 [典例感悟] [典例2]　(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. [解]　 (1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時，由f(x)＜2得－2x＜2， 解得x>－1；

28、當(dāng)－＜x＜時，f(x)＜2恒成立； 當(dāng)x≥時，由f(x)＜2得2x＜2， 解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1， 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)·(1－b2)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|. [方法技巧] 證明不等式的常用方法 不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等． (1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，則考慮用分析法． (2)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用

29、反證法． (3)如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法． 在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明． [演練沖關(guān)] 2．(2017·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b

30、≤2. 考點三　含絕對值不等式的恒成立問題 [典例感悟] [典例3]　(2017·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)． (1)當(dāng)m＝1時，求不等式f(x)≥1的解集； (2)對于任意實數(shù)x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)m＝1時，f(x)＝ 由f(x)≥1，得或x≤－3， 解得x≤－， ∴不等式f(x)≥1的解集為. (2)不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|對任意的實數(shù)x，t恒成立，等價于對任意的實數(shù)x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max<(|2＋t|＋

31、|t－1|)min， ∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3， ∴4m<3，又m>0，∴0

32、題時數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維的優(yōu)勢，可直接解決問題 [演練沖關(guān)] 3．(2017·洛陽統(tǒng)考)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1)將f(x)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并作出其圖象； (2)若a＋b＝1，對?a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范圍． 解：(1)由已知，得f(x)＝ 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． (2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b) ＝5＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝，b＝時等號成立． ∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立， ∴|2x－1|－|

33、x＋1|≤3， 結(jié)合圖象知－1≤x≤5， ∴x的取值范圍是[－1,5]． [課時跟蹤檢測] 1．(2017·云南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)． (1)當(dāng)m＝2時，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若不等式f(x)≥6對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)m＝2時，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|， ①當(dāng)x<－1時，f(x)≥6可化為－x－1＋2－x≥6，解得x≤－； ②當(dāng)－1≤x≤2時，f(x)≥6可化為x＋1＋2－x

34、≥6，無實數(shù)解； ③當(dāng)x>2時，f(x)≥6可化為x＋1＋x－2≥6，解得x≥. 綜上，不等式f(x)≥6的解集為xx≤－或x≥. (2)法一：因為|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|， 由題意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范圍是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． 法二：①當(dāng)m<－1時，f(x)＝ 此時，f(x)min＝－m－1，由題意知，－m－1≥6， 解得m≤－7，所以m的取值范圍是m≤－7. ②當(dāng)m＝－1時，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|， 此時f(x)min＝0，不滿足題意． ③當(dāng)m>－

35、1時，f(x)＝ 此時，f(x)min＝m＋1，由題意知，m＋1≥6，解得m≥5， 所以m的取值范圍是m≥5. 綜上所述，m的取值范圍是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． 2．(2017·鄭州模擬)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值為4. (1)求a＋b的值； (2)求a2＋b2的最小值． 解：(1)因為|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，當(dāng)且僅當(dāng)(x＋a)(x－b)<0時，等號成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值為a＋b，所以a＋b＝4. (2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a2＋b2＝a

36、2＋(4－a)2＝a2－a＋＝2＋，故當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時，a2＋b2取最小值為. 3．(2018屆高三·湖南五市十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|－2|x＋a|. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范圍． 解：(1)a＝1，f(x)>1?|x－1|－2|x＋1|>1?或或?－21的解集為. (2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立?|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立?|2x＋2a|

37、－3x<2a<－x－1在x∈[2,3]上恒成立?(1－3x)max<2a<(－x－1)min?－5<2a<－4?－

38、x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥－1或a≤－5}． 5．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時，解不等式f(x)≥5； (2)若存在x0滿足f(x0)＋|x0－2|<3，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|. 由f(x)≥5得|x－2|＋|2x＋

39、1|≥5. 當(dāng)x≥2時，不等式等價于x－2＋2x＋1≥5，解得x≥2，所以x≥2； 當(dāng)－

40、－2時，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝－2時，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 設(shè)函數(shù)y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 則y＝ 其圖象如圖所示．從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)當(dāng)x∈時，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化為1＋a≤x＋3.所以x≥a－2對x∈都成立．故－≥a－2，即a≤. 從而a的取值范圍是. 7．(2017·貴陽檢測)已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立．

41、 (1)求實數(shù)k的最大值； (2)若實數(shù)k的最大值為n，正數(shù)a，b滿足＋＝n.求7a＋4b的最小值． 解：(1)因為|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立， 設(shè)g(x)＝|x＋2|＋|6－x|，則g(x)min≥k. 又|x＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，當(dāng)且僅當(dāng)－2≤x≤6時，g(x)min＝8， 所以k≤8，即實數(shù)k的最大值為8. (2)由(1)知，n＝8，所以＋＝8， 即＋＝4，又a，b均為正數(shù)， 所以7a＋4b＝(7a＋4b) ＝ ＝≥×(5＋4)＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝5b＝時，等號成立，所以7a＋4b的最小值是. 8．設(shè)a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證： (1)2ab＋bc＋ca＋≤； (2)＋＋≥2. 證明：(1)因為1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立． 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤. (2)因為≥，≥，≥， 所以＋＋ ≥＋＋ ＝a＋b＋c ≥2a＋2b＋2c＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時等號成立. - 17 -