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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè)(含解析)蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè)(含解析)蘇教版選修2-1 一、圓錐曲線的意義 1.橢圓 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. (1)焦點(diǎn):兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn). (2)焦距:兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. 2.雙曲線 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線. (1)焦點(diǎn):兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn). (2)焦距:兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距. 3.拋物線 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l

2、(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 二、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b 頂點(diǎn) (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)=2b,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a 焦點(diǎn) (±c,0) (0,±c) 焦距 F1F2=2c 對(duì)稱性 對(duì)稱軸x軸,y軸,對(duì)稱中心(0,0) 離心率 0

3、 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 圖形 焦點(diǎn) (±c,0) (0,±c) 焦距 2c 范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 頂點(diǎn) (±a,0) (0,±a) 對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 軸長(zhǎng) 實(shí)軸長(zhǎng)=2a,虛軸長(zhǎng)=2b 漸近線方程 y=±x y=±x 離心率 e=>1 3. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 類型 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0)

4、x2=-2py(p>0) 圖形 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) (0,0) 離心率 e=1 開口方向 向右 向左 向上 向下    三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義 (1)定義:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡. 當(dāng)01時(shí),表示雙曲線;當(dāng)e=1時(shí),表示拋物線. 其中e是圓錐曲線的離心率,定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn),定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線. (

5、2)對(duì)于中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線,與焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為x=-,x=. 四、曲線與方程 1.定義 如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲線C的方程,曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線. 2.求曲線的方程的方法 (1)直接法:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x,y),根據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式. (2)代入法:利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn).具體地說,就是用所求動(dòng)點(diǎn)的

6、坐標(biāo)x、y來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程,由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式. (3)定義法:如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (4)參數(shù)法:選擇一個(gè)(或幾個(gè))與動(dòng)點(diǎn)變化密切相關(guān)的量作為參數(shù),用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),即得動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,消去參數(shù),可得動(dòng)點(diǎn)軌跡的普通方程.   (時(shí)間120分鐘,滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分.將答案填在題中的橫線上) 1.(江蘇高考)雙曲線-=1的兩條漸近線的方程為________. 解析:令-

7、=0,解得y=±x. 答案:y=±x 2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是________. 解析:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),而雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以所求距離為=. 答案: 3.方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則a的取值范圍是________. 解析:由題意得 解之得a<,且a≠0, 即a的取值范圍是(-∞,0)∪. 答案: 4.(遼寧高考)已知F為雙曲線C:-=1的左焦點(diǎn),P,Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長(zhǎng)為________. 解析:由題意因?yàn)镻Q過雙曲線的右焦點(diǎn)(5,

8、0),所以P,Q都在雙曲線的右支上,則有FP-PA=6,F(xiàn)Q-QA=6,兩式相加,利用雙曲線的定義得FP+FQ=28,所以△PQF的周長(zhǎng)為FP+FQ+PQ=44. 答案:44 5.設(shè)點(diǎn)P是雙曲線-=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=2a2的一個(gè)交點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且PF1=3PF2,則雙曲線的離心率為________. 解析:由得PF1=3a,PF2=a, 設(shè)∠F1OP=α,則∠POF2=180°-α, 在△PF1O中, PF=OF+OP2-2OF1·OP·cos α?、?, 在△OPF2中, PF=OF+OP2-2OF2·OP·cos(180°-α)?、?/p>

9、, 由cos(180°-α)=-cos α與OP=a, ①+②得c2=3a2,∴e===. 答案: 6.已知?jiǎng)訄AP與定圓C:(x+2)2+y2=1相外切,又與定直線l:x=1相切,那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是________. 解析:設(shè)P(x,y),動(dòng)圓P在直線x=1的左側(cè),其半徑等于1-x,則PC=1-x+1,即=2-x. ∴y2=-8x. 答案:y2=-8x 7.已知雙曲C1=-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸進(jìn)線的距離為2,則拋物線C2的方程為________________________. 解析:∵雙曲線

10、C1:-=1(a>0,b>0)的率心率為2.∴==2,∴b=a.∴雙曲線的漸近線方程為 x±y=0.∴拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為=2. ∴p=8.∴所求的拋物線方程為x2=16y. 答案:x2=16y 8.過拋物線x2=8y的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),若y1+y2=8,則P1P2的值為________. 解析:由題意知p=4,由拋物線的定義得P1P2=P1F+P2F=+=(y1+y2)+p=8+4=12. 答案:12 9.橢圓+=1的右焦點(diǎn)到直線y=x的距離是________. 解析:∵橢圓+=1的右焦

11、點(diǎn)為(1,0), ∴右焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離d==. 答案: 10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若AB=10,BF=8,cos∠ABF=,則C的離心率為________. 解析:在△ABF中,AF2=AB2+BF2-2AB·BF·cos∠ABF=102+82-2×10×8×=36,則AF=6.由AB2=AF2+BF2可知,△ABF是直角三角形,OF為斜邊AB的中線,c=OF==5.設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F1,因?yàn)辄c(diǎn)O平分AB,且平分FF1,所以四邊形AFBF1為平行四邊形,所以BF=AF1=8.由橢圓的性質(zhì)可知AF+

12、AF1=14=2a?a=7,則e==. 答案: 11.(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ改編)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為________. 解析:因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0, 所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2, 又a2=b2+c2,所以b=c=3.所以E的方程為+=1. 答案:+=1 12.拋物線y2=12x截直線y=2x+1所得弦長(zhǎng)等于________________

13、__________. 解析:令直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2) 由得4x2-8x+1=0, ∴x1+x2=2,x1x2=, ∴AB= ==. 答案: 13.以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓,交橢圓于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為________. 解析:如圖,設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),焦半徑為c. 由題意知∠F1AF2=90°, ∠AF2F1=60°.∴AF2=c, AF1=2c·sin 60°=c. ∴AF1+AF2=2a=(+1)c. ∴e===-1. 答案:-1 14.給出

14、如下四個(gè)命題:①方程x2+y2-2x+1=0表示的圖形是圓;②橢圓+=1的離心率e=;③拋物線x=2y2的準(zhǔn)線的方程是x=-;④雙曲線-=-1的漸近線方程是y=±x. 其中所有不正確命題的序號(hào)是________. 解析:①表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(1,0);②e=; ④漸近線的方程為y=±x. 答案:①②④ 二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分)求與橢圓+=1有共同焦點(diǎn),且過點(diǎn)(0,2)的雙曲線方程,并且求出這條雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、焦距、離心率以及漸近線方程. 解:橢圓+=1的焦點(diǎn)是(0,-5),(0,5),焦點(diǎn)在

15、y軸上, 于是設(shè)雙曲線方程是-=1(a>0,b>0), 又雙曲線過點(diǎn)(0,2),∴c=5,a=2, ∴b2=c2-a2=25-4=21, ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1,實(shí)軸長(zhǎng)為4, 焦距為10,離心率e==, 漸近線方程是y=±x. 16.(本小題滿分14分)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,求直線l的方程. 解:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),|AB|=4,不合題意.設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2

16、),由題意知k≠0, 則x1+x2=. 由拋物線定義知, |AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2, ∴x1+x2+2=8,即+2=8. 解得k=±1. 所以直線l的方程為y=±(x-1), 即x-y-1=0,x+y-1=0. 17.(本小題滿分14分) 如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的頂點(diǎn),B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F1AF2=60°. (1)求橢圓C的離心率; (2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值. 解:(1)由題意可知,△AF1F2為等邊三角形,a=2c,所以e=. (2)法

17、一:a2=4c2,b2=3c2, 直線AB的方程為y=-(x-c). 代入橢圓方程3x2+4y2=12c2,得B. 所以|AB|=·|c-0|=c. 由S△AF1B=|AF1|·|AB|sin ∠F1AB=a·c·=a2=40,解得a=10,b=5. 法二:設(shè)AB=t.因?yàn)閨AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由橢圓定義BF1+BF2=2a可知,BF1=3a-t. 由余弦定理得(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得, t=a. 由S△AF1B=a·a·=a2=40知, a=10,b=5. 18.(浙江高考)(本小題滿分16分)如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓

18、C1:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D. (1)求橢圓C1的方程; (2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程. 解:(1)由題意得 所以橢圓C1的方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為y=kx-1. 又圓C2:x2+y2=4, 故點(diǎn)O到直線l1的距離d=, 所以AB=2=2 . 又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0.

19、 由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-,y0=-1. 所以PD=. 設(shè)△ABD的面積為S,則S=AB·PD=, 所以S=≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等號(hào). 所以所求直線l1的方程為y=±x-1. 19.(陜西高考)(本小題滿分16分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率. 解:(1)設(shè)M到直線l的距離為d,根據(jù)題意d=2|MN|. 由此得|4-x|=2, 化簡(jiǎn)得+=1, 所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

20、方程為+=1. (2)法一:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3, A(x1,y1),B(x2,y2). 將y=kx+3代入+=1中, 有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 故k2>. 由根與系數(shù)的關(guān)系得, x1+x2=-,① x1x2=.② 又因?yàn)锳是PB的中點(diǎn),故x2=2x1,③ 將③代入①,②,得 x1=-,x=, 可得2=,且k2>, 解得k=-或k=, 所以直線m的斜率為-或. 法二:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A是PB

21、的中點(diǎn), ∴x1=,① y1=.② 又+=1,③ +=1,④ 聯(lián)立①,②,③,④解得或 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0), 所以直線m的斜率為-或. 20.(湖南高考)(本小題滿分16分)過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l. (1)若k1>0,k2>0,證明:· <2p2; (2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為,求拋物線E的方程. 解:(1)證明:由題意,拋物線E的焦點(diǎn)為F,

22、 直線l1的方程為y=k1x+. 由得x2-2pk1x-p2=0. 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 從而x1+x2=2pk1, y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk+p. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,=(pk1,pk). 同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,=(pk2,pk). 于是·=p2(k1k2+kk). 因?yàn)閗1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2, 所以00,所以點(diǎn)M到直線l的距離 d== =. 故當(dāng)k1=-時(shí),d取最小值. 由題設(shè),=,解得p=8. 故所求的拋物線E的方程為x2=16y.

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