《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 新人教A版（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [做真題] 1．(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1，0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 解：(1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cos θ. (2

2、)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知： 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 2．(2019·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 解：(1)因?yàn)椋?＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y

3、＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點(diǎn)到l的距離為＝. 當(dāng)α＝－時(shí)，4cos＋11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. [明考情] 1．坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用． 2．全國卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 [典型例題] (2019·高考全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線

4、l過點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在C上，當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點(diǎn)．連接OQ， 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上． 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，

5、故θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈. (1)極坐標(biāo)方程與普通方程互化的技巧 ①巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程． ②巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程． ③將直角坐標(biāo)方程中的x換成ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標(biāo)方程． (2)求解與極坐標(biāo)有關(guān)問題的主要方法 ①直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用． ②轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．若結(jié)果要求的

6、是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·合肥模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：x＝0，圓C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線l1和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)l1，l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A，B，求△OAB的面積． 解：(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以直線l1的極坐標(biāo)方程式為ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0. (2)設(shè)A(，ρ1)、B(，ρ2)

7、，將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋. 將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋. 故△OAB的面積為×(1＋)2×sin＝1＋. 2．(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρ

8、cos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．

9、 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與 C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)．綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 參數(shù)方程及其應(yīng)用 [典型例題] (2018·高考全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率． 【解】　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當(dāng)co

10、s α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.?、? 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. (1)有關(guān)參數(shù)方程問題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ①參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化． ②利用參數(shù)方程解決問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義． (2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解

11、問題 經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到： ①t0＝. ②|PM|＝|t0|＝. ③|AB|＝|t2－t1|. ④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． 解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2

12、x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為. 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)． (1)求|AB|的值； (2)若F為曲線C的左焦點(diǎn)，求·的值． 解：(1)由(θ為參數(shù))，消去參數(shù)θ得＋＝1. 由 消去參數(shù)t得y＝2x－4.

13、 將y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值為. (2)由(1)得，F(xiàn)(－2，0)，則 ·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12] ＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60 ＝5×－6×＋60＝44， 所以·的值為44. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 [典型例題] (2019·福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標(biāo)系x

14、Oy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)． (1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)； (2)(一題多解)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|PM|. 【解】　(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2　①，將ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)， 所以x＝ρcos θ＝cos ＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1. 所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，1)． (2)法一：將代入＋y2

15、＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且t1＋t2＝－. 依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為， 所以|PM|＝||＝. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0＝，y0＝. 由，消去t，得y＝x－. 將y＝x－代入＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0， 因?yàn)棣ぃ?－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－. 所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－，即M(，－)． 所以|PM|＝ ＝＝. 解

16、決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡捷． (3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含條件．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·石家莊市模擬(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)0

17、由題意知曲線C的普通方程為(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，化簡得ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0. (2)法一：　把θ＝代入曲線C的極坐標(biāo)方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0. 令Δ＝4－4(4－r2)>0，結(jié)合00， 所以＋＝＋＝＝. 因?yàn)?

18、2)>0，結(jié)合00，t2>0， 所以＋＝＋＝＝. 因?yàn)?0)都在曲線M上． (1)求證：ρ1＝ρ2＋ρ3； (2)若過B，C兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，

19、求四邊形OBAC的面積． 解：(1)證明：由題意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋)，ρ3＝2cos(φ－)，則ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋)＋2cos(φ－)＝2cos φ＝ρ1. (2)由曲線M的極坐標(biāo)方程得曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標(biāo)方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，所以在平面直角坐標(biāo)中，B(，)，C(2，0)，則ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，所以ρ1＝.所以四邊形OBAC的面積S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2sin＋ρ1ρ3sin＝. 1．(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線

20、l1的傾斜角為30°，且經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l2：ρcos θ＝3.從坐標(biāo)原點(diǎn)O作射線交l2于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足|OM|·|ON|＝12，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C. (1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求|AP|·|AQ|的值． 解：(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))． 設(shè)N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)， 則，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2－4x＋y2＝0(x≠0)．

21、 (2)設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中， 得(2＋t)2－4(2＋t)＋(1＋t)2＝0， 即t2＋t－3＝0，Δ＝13>0， t1，t2為方程的兩個(gè)根，所以t1t2＝－3， 所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3. 2．(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)＝1. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)過P(0，1)的直線l交曲線C1

22、于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|PA|·|PB|＝8時(shí)，求直線l的傾斜角． 解：(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x2＝4y，曲線C2的極坐標(biāo)方程可化為ρcos θ－ρsin θ＝2，化為直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0. (2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù)，α為直線l的傾斜角且α≠90°)， 代入曲線C1的普通方程中得m2cos2α－4msin α－4＝0， 所以m1m2＝， 所以|PA|·|PB|＝|m1m2|＝＝8，得α＝45°或135°，即直線l的傾斜角為45°或135°. 3．(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

23、點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ－acos θ)＝(a∈R)． (1)寫出曲線C1的普通方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程； (一題多解)(2)若直線C2與曲線C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍． 解：(1)曲線C1的普通方程為y＝1－x2(－1≤x≤1)，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入ρ(sin θ－acos θ)＝，得直線C2的直角坐標(biāo)方程為y－ax＝，即ax－y＋＝0. (2)法一：由直線C2∶ax－y＋＝0，知直線C2恒過點(diǎn)M(0，)．由y＝1－x2(－1≤x≤1)，知當(dāng)y＝0時(shí)，x＝±1， 則直線MP的斜率為k1＝＝， 直線M

24、Q的斜率為k2＝＝－. 因?yàn)橹本€C2的斜率為a，且直線C2與曲線C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以k2≤a≤k1，即－≤a≤. 所以a的取值范圍為[－，]． 法二：聯(lián)立，消去y得x2＋ax－＝0，依題意，得x2＋ax－＝0在[－1，1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根． 設(shè)f(x)＝x2＋ax－， 則解得－≤a≤. 所以a的取值范圍為[－，]． 4．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝4sin(θ＋)． (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)曲線C與直線l的交點(diǎn)

25、為A，B，Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求△ABQ面積的最大值． 解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直線l的普通方程為x＋y－5＝0. 由ρ＝4sin(θ＋)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x＋4y， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8. (2)由(1)知，曲線C是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓，直線l過點(diǎn)P(3，2)，可知點(diǎn)P在圓內(nèi)． 將直線l的參數(shù)方程化為，代入圓的直角坐標(biāo)方程，得t2－9t＋33＝0. 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝9，t1t2＝33， 所以|A

26、B|＝|t2－t1|＝＝. 又圓心(2，2)到直線l的距離d＝＝， 所以△ABQ面積的最大值為××(＋2)＝. 5．(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，其中a>0)，直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若點(diǎn)P(0，a)滿足＋＝4，求a的值． 解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2cos2θ＝ρsin θ， 由，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y＝x2. (2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y＝x2，

27、得t2－－a＝0，Δ＝＋3a>0. 設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－， 所以＋＝＝ ＝＝＝4， 化簡得64a2－12a－1＝0， 解得a＝或a＝－(舍去)， 所以a＝. 6．(2019·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a>0)，曲線C2：(φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤)與C1交于O，A兩點(diǎn)，與C2交于O，B兩點(diǎn)，當(dāng)α＝0時(shí)，|OA|＝1；當(dāng)α＝時(shí)，|OB|＝2. (1)求a，b的值； (2)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最

28、大值． 解：(1)將C1的參數(shù)方程化為普通方程為(x－a)2＋y2＝a2，其極坐標(biāo)方程為ρ1＝2acos θ， 由題意可得，當(dāng)θ＝α＝0時(shí)，|OA|＝2a＝1，所以a＝. 將C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2＋(y－b)2＝b2，其極坐標(biāo)方程為ρ2＝2bsin θ， 由題意可得，當(dāng)θ＝α＝時(shí)，|OB|＝2b＝2，所以b＝1. (2)由(1)可得C1，C2的方程分別為ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ， 所以2|OA|2＋|OA|·|OB|＝2cos2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝sin(2θ＋)＋1. 因?yàn)棣龋溅粒?≤α≤，所以0≤θ≤，所以2θ＋∈

29、[，]， 所以當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，sin(2θ＋)＋1取得最大值，為＋1. 7．(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)P，Q為曲線C上兩點(diǎn)，若·＝0，求的值． 解：(1)由，得曲線C的普通方程是＋y2＝1，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得5ρ2sin2θ＋2ρ2cos2θ＝5， 即ρ2＝(ρ2＝也可得分)． (2)因?yàn)棣?＝，所以＝sin2θ＋， 由·＝0，得OP⊥OQ， 設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)，則點(diǎn)Q的極坐標(biāo)可設(shè)為(ρ2，

30、θ±)， 所以＝＝ ＝＝＝. 8．(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)． (1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，π)，求|PM|·|PN|的值； (2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值． 解：(1)由ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－2，0)， 將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程＋＝1中，得t2－t－4＝0，設(shè)點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4. (2)由(1)知，曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos α，2sin α)，0<α<， 則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos α＋2sin α)＝16sin(α＋)，0<α<. 因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16，當(dāng)且僅當(dāng)α＝時(shí)取得最大值． - 15 -