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(浙江專版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2.3.1 平面向量基本定理 預(yù)習(xí)課本P93~94,思考并完成以下問(wèn)題 (1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么? (2)如何定義平面向量基底?

2、 (3)兩向量夾角的定義是什么?如何定義向量的垂直? 1.平面向量基本定理 條件 e

3、1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量 結(jié)論 這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 基底 不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 [點(diǎn)睛] 對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn):①e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量;②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1,e2線性表示,且這種表示是唯一的;③基底不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底. 2.向量的夾角 條件 兩個(gè)非零向量a和b 產(chǎn)生過(guò)程 作向量=a,=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 0°≤θ≤180° 特殊情況 θ=0° a與b同

4、向 θ=90° a與b垂直,記作a⊥b θ=180° a與b反向 [點(diǎn)睛] 當(dāng)a與b共線同向時(shí),夾角θ為0°,共線反向時(shí),夾角θ為180°,所以兩個(gè)向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°. 1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底.(  ) (2)一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.(  ) (3)零向量不可以作為基底中的向量.(  ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.若向量a,b的夾角為30°,則向量-a,-b的夾角為(  ) A.60°          B.30°

5、C.120° D.150° 答案:B 3.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,以下各組向量中不能作為基底的是(  ) A.e1,e2 B.e1+e2,3e1+3e2 C.e1,5e2 D.e1,e1+e2 答案:B 4.在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,則向量,的夾角為_(kāi)_____. 答案:135° 用基底表示向量 [典例] 如圖,在平行四邊形ABCD中,設(shè)對(duì)角線=a,=b,試用基底a,b表示,. [解] 法一:由題意知,===a,===b. 所以=+=-=a-b, =+=a+b, 法二:設(shè)=x,=y(tǒng),則==y(tǒng), 又則 所以x=a-b

6、,y=a+b, 即=a-b,=a+b. 用基底表示向量的方法 將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. [活學(xué)活用] 如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E,F(xiàn)分別是AD,BC邊上的中點(diǎn),且BC=3AD,=a,=b.試以a,b為基底表示,,. 解:∵AD∥BC,且AD=BC, ∴==b. ∵E為AD的中點(diǎn), ∴===b. ∵=,∴=b, ∴=++ =-b-a+b=b-a, =+=-b+b-a=b-a, =+

7、=-(+) =-(+)=- =a-b. 向量夾角的簡(jiǎn)單求解 [典例] 已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60°,則a+b與a的夾角是多少?a-b與a的夾角又是多少? [解] 如圖所示,作=a,=b,且∠AOB=60°. 以,為鄰邊作平行四邊形OACB,則=a+b,=a-b. 因?yàn)閨a|=|b|=2,所以平行四邊形OACB是菱形,又∠AOB=60°,所以與的夾角為30°,與的夾角為60°. 即a+b與a的夾角是30°,a-b與a的夾角是60°. 求兩個(gè)向量夾角的方法 求兩個(gè)向量的夾角,關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合,根據(jù)向量夾角的概念確定夾角,

8、再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角.過(guò)程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”. [活學(xué)活用] 如圖,已知△ABC是等邊三角形. (1)求向量與向量的夾角; (2)若E為BC的中點(diǎn),求向量與的夾角. 解:(1)∵△ABC為等邊三角形, ∴∠ABC=60°. 如圖,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D,使AB=BD,則=, ∴∠DBC為向量與的夾角. ∵∠DBC=120°, ∴向量與的夾角為120°. (2)∵E為BC的中點(diǎn),∴AE⊥BC, ∴與的夾角為90°. 平面向量基本定理的應(yīng)用 [典例] 如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP∶PM

9、與BP∶PN. [解] 設(shè)=e1,=e2, 則=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分別共線, ∴存在實(shí)數(shù)λ,μ使得=λ =-λe1-3λe2, =μ=2μe1+μe2. 故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而=+=2e1+3e2,由平面向量基本定理, 得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2. [一題多變] 1.[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例條件下,若=a,=b,試用a,b表示, 解:由本例解析知BP∶PN=3∶2,則=, =+=+=b+(-) =b+a-b=b+a. 2.[變條件]若本例中的點(diǎn)N為AC的

10、中點(diǎn),其它條件不變,求AP∶PM與BP∶PN. 解:如圖,設(shè)=e1,=e2, 則=+=-2e2-e1,=+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分別共線, ∴存在實(shí)數(shù)λ,μ使得=λ =-λe1-2λe2, =μ=2μe1+μe2. 故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2. 而=+=2e1+2e2,由平面向量基本定理, 得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=2,BP∶PN=2. 若直接利用基底表示向量比較困難,可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式,然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論,從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量( 一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式),再根據(jù)

11、待定系數(shù)法確定系數(shù),建立方程或方程組,解方程或方程組即得. 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.已知ABCD中∠DAB=30°,則與的夾角為(  ) A.30°         B.60° C.120° D.150° 解析:選D 如圖,與的夾角為∠ABC=150°. 2.設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(  ) ①與;②與;③與;④與. A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 解析:選B 尋找不共線的向量組即可,在ABCD中,與不共線,與不共線;而∥,∥,故①③可作為基底. 3.若AD是△

12、ABC的中線,已知=a,=b,則以a,b為基底表示=(  ) A.(a-b) B.(a+b) C.(b-a) D.b+a 解析:選B 如圖,AD是△ABC的中線,則D為線段BC的中點(diǎn),從而=,即-=-,從而=(+)=(a+b). 4.在矩形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),若=e1,=e2,則=(  ) A.(e1+e2) B.(e1-e2) C.(2e2-e1) D.(e2-e1) 解析:選A 因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),=e1,=e2,所以=(+)=(e1+e2),故選A. 5.(全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則(  ) A.=-+ B

13、.=- C.=+ D.=- 解析:選A 由題意得=+=+=+-=-+. 6.已知向量a,b是一組基底,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為_(kāi)_____. 解析:∵a,b是一組基底,∴a與b不共線, ∵(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, ∴解得∴x-y=3. 答案:3 7.已知e1,e2是兩個(gè)不共線向量,a=k2e1+e2與b=2e1+3e2共線,則實(shí)數(shù)k=______. 解析:由題設(shè),知=,∴3k2+5k-2=0, 解得k=-2或. 答案:-2或 8.如下圖,在正方形ABCD中,設(shè)=a,=b,=c,則在以a,b為基

14、底時(shí),可表示為_(kāi)_____,在以a,c為基底時(shí),可表示為_(kāi)_____. 解析:以a,c為基底時(shí),將平移,使B與A重合,再由三角形法則或平行四邊形法則即得. 答案:a+b 2a+c 9.如圖所示,設(shè)M,N,P是△ABC三邊上的點(diǎn),且=,=,=,若=a,=b,試用a,b將,,表示出來(lái). 解:=- =-=a-b, =-=--=-b-(a-b)=-a+b, =-=-(+)=(a+b). 10.證明:三角形的三條中線共點(diǎn). 證明:如圖所示,設(shè)AD,BE,CF分別為△ABC的三條中線,令=a,=b.則有=b-a. 設(shè)G在AD上,且=,則有=+=a+(b-a)=(a+b). =-=

15、b-a. ∴=-=- =(a+b)-a=b-a ==. ∴G在BE上,同理可證=,即G在CF上. 故AD,BE,CF三線交于同一點(diǎn). 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1.在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且=2,設(shè)=a,=b,則可用基底a,b表示為(  ) A.(a+b)        B.a(chǎn)+b C.a(chǎn)+b D.(a+b) 解析:選C ∵=2,∴=. ∴=+=+=+(-)=+=a+b. 2.AD與BE分別為△ABC的邊BC,AC上的中線,且=a,=b,則=(  ) A.a(chǎn)+b B.a(chǎn)+b C.a(chǎn)-b D.-a+b 解析:選B 設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F,則=a,=b.所以

16、=+=b+a,所以=2=a+b. 3.如果e1,e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底,那么,下列命題中正確的是(  ) A.若存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使得λ1e1+λ2e1=0,則λ1=λ2=0 B.平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi),λ1,λ2∈R D.對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無(wú)數(shù)對(duì) 解析:選B A中,(λ1+λ2)e1=0,∴λ1+λ2=0,即λ1=-λ2;B符合平面向量基本定理;C中,λ1e1+λ2e2一定在平面α內(nèi);D中,λ1,λ2有且只有一對(duì). 4.已知非零向

17、量,不共線,且2=x+y,若=λ (λ∈R),則x,y滿足的關(guān)系是(  ) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 解析:選A 由=λ,得-=λ(-), 即=(1+λ)-λ.又2=x+y, ∴消去λ得x+y=2. 5.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)的一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則e1+e2=________a+________b. 解析:由解得 故e1+e2=+ =a+b. 答案:?。? 6.已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120°,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為_(kāi)______

18、_. 解析:由題意可畫(huà)出圖形, 在△OAB中, 因?yàn)椤螼AB=60°,|b|=2|a|, 所以∠ABO=30°,OA⊥OB, 即向量a與c的夾角為90°. 答案:90° 7.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)證明:a,b可以作為一組基底; (2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式; (3)若 4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. 解:(1)證明:若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb, 則e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共線,得? ∴λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底. (2

19、)設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. ∴?∴c=2a+b. (3)由4e1-3e2=λa+μb,得 4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2) =(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. ∴? 故所求λ,μ的值分別為3和1. 8.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足:=+. (1)求△ABM與△ABC的面積之比. (2)若N為AB中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)O,設(shè)=x+y,求x,y的值. 解:(1)如圖,由=+可知M,B,C三點(diǎn)共線, 令=λ?=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ?λ=,所以=,即面積之比為1∶4. (2)由=x+y?=x+,=+y,由O,M,A三點(diǎn)共線及O,N,C三點(diǎn)共線?? 11

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