(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1
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1、 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解橢圓的定義.2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程. 知識點一 橢圓的定義 思考 給你兩個圖釘,一根無彈性的細(xì)繩,一張紙板,一支鉛筆,如何畫出一個橢圓? 答案 在紙板上固定兩個圖釘,繩子的兩端固定在圖釘上,繩長大于兩圖釘間的距離,筆尖貼近繩子,將繩子拉緊,移動筆尖即可畫出橢圓. 梳理 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距. (2)橢圓的定義用集合語言敘述為: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2
2、|}. (3)2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表: 條件 結(jié)論 2a>|F1F2| 動點的軌跡是橢圓 2a=|F1F2| 動點的軌跡是線段F1F2 2a<|F1F2| 動點不存在,因此軌跡不存在 知識點二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>c一定成立嗎? 答案 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小關(guān)系不確定. 梳理 (1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 焦點位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點 焦距 焦點在x軸上 +=1(a>b>0) F1(-c,0), F2(c,0) 2c 焦點在y軸上 +=1(a>b>0) F1(0,-c
3、), F2(0,c) 2c (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系 橢圓在坐標(biāo)系中的位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦點坐標(biāo) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) a,b,c的關(guān)系 b2=a2-c2 (3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標(biāo) 判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些,即“誰大在誰上”.如方程為+=1的橢圓,焦點在y軸上,而且可求出焦點坐標(biāo)F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),焦距|F1F2|=2. (1)已知F1(-4,0)
4、,F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓.(×) (2)已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓.(×) (3)平面內(nèi)到點F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1,F(xiàn)2的距離之和的點的軌跡是橢圓.(√) (4)平面內(nèi)到點F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓.(×) 類型一 橢圓定義的應(yīng)用 例1 點P(-3,0)是圓C:x2+y2-6x-55=0內(nèi)一定點,動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點,判斷圓心M的軌跡. 考點 橢圓的定義 題點 橢圓定義的應(yīng)用
5、解 方程x2+y2-6x-55=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑r=8.因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點,所以|MC|+|MP|=r=8,根據(jù)橢圓的定義,動點M到兩定點C,P的距離之和為定值8>6=|CP|,所以動點M的軌跡是橢圓. 引申探究 若將本例中圓C的方程改為:x2+y2-6x=0且點P(-3,0)為其外一定點,動圓M與已知圓C相外切且過P點,求動圓圓心M的軌跡方程. 解 設(shè)M(x,y),由題意可知,圓C:(x-3)2+y2=9, 圓心C(3,0),半徑r=3. 由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3, 即-=3, 整理得-
6、=1(x<0). 反思與感悟 橢圓是在平面內(nèi)定義的,所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視. 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù),而不能是變量. 常數(shù)2a必須大于兩定點間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題是真命題的是________.(將所有真命題的序號都填上) ①已知定點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),則滿足|PF1|+|PF2|=的點P的軌跡為橢圓; ②已知定點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),則滿足|PF1|+|PF2|=4的點P的軌跡為線段; ③到定點F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓. 考點 橢圓的
7、定義 題點 橢圓定義的應(yīng)用 答案 ② 解析?、?2,故點P的軌跡不存在;②因為2a=|F1F2|=4,所以點P的軌跡是線段F1F2;③到定點F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸). (2)已知一動圓M與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動圓圓心M的軌跡方程. 考點 橢圓的定義 題點 橢圓定義的應(yīng)用 解 由題意可知C1(-3,0),r1=1,C2(3,0),r2=9, 設(shè)M(x,y),半徑為R, 則|MC1|=1+R,|MC2|=9-R, 故|MC1|+|MC2|=10, 由橢圓定
8、義知,點M的軌跡是一個以C1,C2為焦點的橢圓,且a=5,c=3,故b2=a2-c2=16. 故所求動圓圓心M的軌跡方程為+=1. 類型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 求中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點P,Q的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 考點 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 解 方法一?、佼?dāng)橢圓焦點在x軸上時,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 依題意,有 解得 由a>b>0,知不合題意,故舍去; ②當(dāng)橢圓焦點在y軸上時,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +=1(a>b>0). 依題意,有解得 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 方法二 設(shè)橢圓的方程為mx2+n
9、y2=1(m>0,n>0,m≠n). 則解得 所以所求橢圓的方程為5x2+4y2=1, 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 引申探究 求與橢圓+=1有相同焦點,且過點(3,)的橢圓方程. 解 由題意可設(shè)其方程為+=1(λ>-9), 又橢圓過點(3,),將此點代入橢圓方程,得 λ=11(λ=-21舍去), 故所求的橢圓方程為+=1. 反思與感悟 (1)若橢圓的焦點位置不確定,需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0). (2)與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為+=1(a>b>0,b2>-λ),與橢圓+=1(a
10、>b>0)有公共焦點的橢圓方程為+=1(a>b>0,b2>-λ). 跟蹤訓(xùn)練2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10; (2)橢圓過點(3,2),(5,1); (3)橢圓的焦點在x軸上,且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1). 考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 (1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 由題意可知2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9, 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B
11、), 則解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 由解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. 類型三 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程 例3 已知B,C是兩個定點,|BC|=8,且△ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程. 考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示. 由|BC|=8可知點B(-4,0), C(4,0). 由|AB|+|AC|+|BC|=18, 得|AB|+|AC|=10>8=|BC|, 因
12、此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a=10,但點A不在x軸上. 由a=5,c=4, 得b2=a2-c2=25-16=9. 所以點A的軌跡方程為+=1(y≠0). 反思與感悟 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法: (1)定義法:若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解. (2)直接法:將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化,列出等式后化簡,得出動點的軌跡方程. (3)相關(guān)點法:根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換求出動點軌跡的方程. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,設(shè)定點A(6,2),P是橢圓+=1上的動點,求線段AP的中點
13、M的軌跡方程. 考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)M(x,y),P(x1,y1). ∵M為線段AP的中點, ∴ 又∵+=1, ∴點M的軌跡方程為+=. 1.橢圓+y2=1上一點P到一個焦點的距離為2,則點P到另一個焦點的距離為( ) A.5B.6C.7D.8 考點 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點、焦距 答案 D 解析 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,|PF1|=2, 結(jié)合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8. 2.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為
14、( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案 A 解析 c=1,a=×(+)=2,∴b2=a2-c2=3, ∴橢圓的方程為+=1. 3.設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,則△F1PF2的面積=________. 考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 答案 4 解析 由橢圓方程,得a=3,b=2,c=. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2
15、|=2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴△PF1F2是直角三角形, 故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|=×2×4=4. 4.在橢圓+y2=1中,有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點F1,再次被橢圓反射后又回到F2,則該粒子在整個運動過程中經(jīng)過的路程為________. 考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 答案 4 解析 把粒子運動軌跡表示出來,可知整個路程為4a,即4. 5.若△ABC的三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且b=6,求頂點B的軌跡方程. 考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點 定
16、義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 以直線AC為x軸,AC的中點為原點,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-3,0),C(3,0),B(x,y), 則|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12, ∴B點的軌跡是以A,C為焦點的橢圓, 且a′=6,c′=3,b′2=27. 故所求的軌跡方程為+=1(y≠0). 1.平面內(nèi)到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和為常數(shù),即|MF1|+|MF2|=2a, 當(dāng)2a>|F1F2|時,軌跡是橢圓; 當(dāng)2a=|F1F2|時,軌跡是一條線段F1F2; 當(dāng)2a<|F1F2|時,軌跡不存在. 2.所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,指的是焦點在坐標(biāo)軸上,且兩焦點的中點為坐標(biāo)原點
17、;在+=1與+=1這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有a>b>0的要求,如方程+=1(m>0,n>0,m≠n)就不能確定焦點在哪個軸上;分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,可與直線截距式+=1類比,如+=1中,由于a>b,所以在x軸上的“截距”更大,因而焦點在x軸上(即看x2,y2分母的大小). 3.對于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法:一是通過待定系數(shù)法求解,二是通過橢圓的定義進行求解. 一、選擇題 1.平面內(nèi),F(xiàn)1,F(xiàn)2是兩個定點,“動點M滿足||+||為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 考點 橢圓的定義 題點 橢
18、圓定義的應(yīng)用
答案 B
解析 當(dāng)||+||>||時,M的軌跡才是橢圓.
2.已知方程+=1表示橢圓,則k的取值范圍為( )
A.k>-3且k≠-
B.-3 19、點B(0,-4),C(0,4),則頂點A的軌跡方程是( )
A.+=1(x≠0)
B.+=1(x≠0)
C.+=1(x≠0)
D.+=1(x≠0)
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 由|AB|+|AC|=12>|BC|=8,得點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓(x≠0).
5.P是橢圓+=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,若|PF1|·|PF2|=12,則∠F1PF2的大小為( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 20、
答案 B
解析 因為|PF1|+|PF2|=8,
cos∠F1PF2=
==.
又因為∠F1PF2∈[0,π),
所以∠F1PF2=.
6.已知橢圓+=1上有一點P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點,若△F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有( )
A.3個 B.4個
C.6個 D.8個
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
答案 C
解析 當(dāng)∠PF1F2為直角時,根據(jù)橢圓的對稱性知,這樣的點P有2個;同理當(dāng)∠PF2F1為直角時,這樣的點P有2個;當(dāng)P點為橢圓的短軸端點時,∠F1PF2最大,且為直角,此時這樣的點P有2個.故符合要求的點P有6個. 21、
7.已知橢圓+=1(a>b>0),M為橢圓上一動點,F(xiàn)1為橢圓的左焦點,則線段MF1的中點P的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.線段 D.直線
考點 橢圓的定義
題點 橢圓定義的應(yīng)用
答案 B
解析 由題意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|,
又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由橢圓的定義,知P點的軌跡是橢圓.
二、填空題
8.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為2,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________.
考點 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點 由定義求標(biāo)準(zhǔn)方程
答案?。玿 22、2=1
解析 由已知2a=8,2c=2,
所以a=4,c=,
所以b2=a2-c2=16-15=1.
又橢圓的焦點在y軸上,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+x2=1.
9.已知中心在原點,長軸在x軸上,一焦點與短軸兩端點連線互相垂直,焦點與長軸上較近頂點的距離為4(-1),則此橢圓方程是____________.
答案 +=1
解析 由題意,得解得
所以橢圓方程為+=1.
10.設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點,點A,B在橢圓上,若=5,則點A的坐標(biāo)是________.
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
答案 (0,±1)
解析 根據(jù)題 23、意,設(shè)A點坐標(biāo)為(m,n),B點坐標(biāo)為(c,d).
F1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,
其坐標(biāo)分別為(-,0),(,0),
可得=(m+,n),=(c-,d).
∵=5,∴c=,d=.
∵點A,B都在橢圓上,
∴+n2=1,+2=1.
解得m=0,n=±1,故點A坐標(biāo)為(0,±1).
11.若點O和點F分別為橢圓+y2=1的中心和右焦點,點P為橢圓上的任意一點,則|OP|2+|PF|2的最小值為________.
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
答案 2
解析 由題意可知,O(0,0),F(xiàn)(1,0),
設(shè)P(cosα,sinα),
則|O 24、P|2+|PF|2=2cos2α+sin2α+(cosα-1)2+sin2α=2cos2α-2cosα+3=22+2,
所以當(dāng)cosα=時,|OP|2+|PF|2取得最小值2.
三、解答題
12.已知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點,P在橢圓上,且△PF1F2的面積為b2,求cos∠F1PF2的值.
考點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
題點 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用
解 依題意可得
整理得|PF1|·|PF2|=.
∵△PF1F2的面積為b2,
∴××sin∠F1PF2=b2,
∴1+cos∠F1PF2=sin∠F1PF2,
又 25、∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,
∴cos∠F1PF2=(cos∠F1PF2=-1舍去).
13.已知橢圓+=1上一點M的縱坐標(biāo)為2.
(1)求M的橫坐標(biāo);
(2)求過M且與+=1共焦點的橢圓的方程.
考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)把M的縱坐標(biāo)代入+=1,
得+=1,即x2=9,解得x=±3,即M的橫坐標(biāo)為3或-3.
(2)橢圓+=1的焦點在x軸上且c2=9-4=5.
設(shè)所求橢圓的方程為+=1(a2>5),
把M點坐標(biāo)代入橢圓方程,得+=1,
解得a2=15(a2=3舍去).故所求橢圓的方程為+=1.
四、探究 26、與拓展
14.已知橢圓+=1的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,M是橢圓上一點,且|MF1|-|MF2|=1,則△MF1F2是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.等邊三角形
考點 橢圓的定義
題點 橢圓定義的應(yīng)用
答案 B
解析 由橢圓定義,知|MF1|+|MF2|=2a=4,
且已知|MF1|-|MF2|=1,
所以|MF1|=,|MF2|=.
又|F1F2|=2c=2,
所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2,
因此∠MF2F1=90°,
即△MF1F2為直角三角形.
15.如圖所示,△ABC的底邊BC=12,其他兩邊AB和AC上中線的和 27、為30,求此三角形重心G的軌跡方程,并求頂點A的軌跡方程.
考點 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 以BC邊所在直線為x軸,BC邊中點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則B(6,0),C(-6,0),CE,BD為AB,AC邊上的中線,
則|BD|+|CE|=30.
由重心性質(zhì)可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.
∵B,C是兩個定點,G點到B,C的距離和等于定值20,且20>12=|BC|,
∴G點的軌跡是橢圓,B,C是橢圓焦點,
∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,
a=10,b2=a2-c2=102-62=64,
故G點的軌跡方程為+=1(x≠±10).
設(shè)G(x′,y′),A(x,y),則有+=1.
由重心坐標(biāo)公式知
故A點軌跡方程為+=1,
即+=1(x≠±30).
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