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幾何證明壓軸題〔中考〕
1、如圖.在梯形ABCD中.AB∥CD.∠BCD=90°,且AB=1.BC=2.tan∠ADC=2.
(1) 求證:DC=BC;
(2) E是梯形內(nèi)一點.F是梯形外一點.且∠EDC=∠FBC.DE=BF.試判斷△ECF的形狀.并證明你的結(jié)論;
(3) 在〔2〕的條件下.當BE:CE=1:2.∠BEC=135°時.求sin∠BFE的值.
2、:如圖.在□ABCD 中.E、F分別為邊AB、CD的中點.BD是對角線.AG∥DB交CB的延長線于G.
2、
〔1〕求證:△ADE≌△CBF;
〔2〕假設(shè)四邊形 BEDF是菱形.則四邊形AGBD是什么特殊四邊形并證明你的結(jié)論.
3、如圖13-1.一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動.將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O〔點O也是BD中點〕按順時針方向旋轉(zhuǎn).
〔1〕如圖13-2.當EF與AB相交于點M.GF與BD相交于點N時.通過觀察或測量BM.FN的長度.猜想BM.FN滿足的數(shù)量關(guān)系.并證明你的猜想;
圖13-1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
圖13-2
E
A
B
D
G
F
O
M
3、
N
C
〔2〕假設(shè)三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時.線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M.線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N.此時.〔1〕中的猜想還成立嗎假設(shè)成立.請證明;假設(shè)不成立.請說明理由.
圖13-3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
4、如圖.⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E.連結(jié)AD、BD、OC、OD.且OD=5。
〔1〕假設(shè).求CD的長;
〔2〕假設(shè)∠ADO:∠EDO=4:1.求扇形OAC〔陰影局部〕的面積〔結(jié)果保存〕。
5、如圖.:C是以AB為直徑的半圓O上一點.CH⊥AB于點H.直線AC與過B點的切線相交于點D
4、.E為CH中點.連接AE并延長交BD于點F.直線CF交直線AB于點G.
〔1〕求證:點F是BD中點;
〔2〕求證:CG是⊙O的切線;
〔3〕假設(shè)FB=FE=2.求⊙O的半徑.
6、如圖.O為原點.點A的坐標為〔4.3〕.
⊙A的半徑為2.過A作直線平行于軸.點P在直線上運動.
〔1〕當點P在⊙O上時.請你直接寫出它的坐標;
〔2〕設(shè)點P的橫坐標為12.試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系.并說明理由.
7、如圖.延長⊙O的半徑OA到B.使OA=AB.DE是圓的一條切線.E是切點.過點B作DE的垂線.垂足為點C.
求證:∠ACB=∠OAC.
C
A
B
D
O
E
5、
8、如圖1.一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上.梯子與地面的傾斜角α為.
⑴求AO與BO的長;
⑵假設(shè)梯子頂端A沿NO下滑.同時底端B沿OM向右滑行.
①如圖2.設(shè)A點下滑到C點.B點向右滑行到D點.并且AC:BD=2:3.試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米;
②如圖3.當A點下滑到A’點.B點向右滑行到B’點時.梯子AB的中點P也隨之運動到P’點.假設(shè)∠POP’=.試求AA’的長.
[解析]
⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=.又AB=4米.
∴米.
幾何證明壓軸題〔中考〕解析
1、如圖.在梯形ABCD中.AB∥CD.∠BCD=90°,且AB=1.BC
6、=2.tan∠ADC=2.
(4) 求證:DC=BC;
(5) E是梯形內(nèi)一點.F是梯形外一點.且∠EDC=∠FBC.DE=BF.試判斷△ECF的形狀.并證明你的結(jié)論;
(6) 在〔2〕的條件下.當BE:CE=1:2.∠BEC=135°時.求sin∠BFE的值.
[解析] 〔1〕過A作DC的垂線AM交DC于M,
則AM=BC=2.
又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.
(2)等腰三角形.
證明:因為.
所以.△DEC≌△BFC
所以..
所以.
即△ECF是等腰直角三角形.
〔3〕設(shè),則.所以.
因為.又.所以.
所以
所以.
2、:如圖.在□ABCD
7、中.E、F分別為邊AB、CD的中點.BD是對角線.AG∥DB交CB的延長線于G.
〔1〕求證:△ADE≌△CBF;
〔2〕假設(shè)四邊形 BEDF是菱形.則四邊形AGBD是什么特殊四邊形并證明你的結(jié)論.
[解析] 〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形.
∴∠1=∠C.AD=CB.AB=CD .
∵點E 、F分別是AB、CD的中點.
∴AE=AB .CF=CD .
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF .
〔2〕當四邊形BEDF是菱形時.
四邊形 AGBD是矩形.
∵四邊形ABCD是平行四邊形.
∴AD∥BC .
∵AG∥BD .
∴四邊形 AGBD 是平行四邊形.
8、∵四邊形 BEDF 是菱形.
∴DE=BE .
∵AE=BE .
∴AE=BE=DE .
∴∠1=∠2.∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四邊形AGBD是矩形
3、如圖13-1.一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動.將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O〔點O也是BD中點〕按順時針方向旋轉(zhuǎn).
〔1〕如圖13-2.當EF與AB相交于點M.GF與BD相交于點N時.通過觀察或測量BM.FN的長度.猜想BM.FN滿足的數(shù)量關(guān)系.
9、并證明你的猜想;
圖13-1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
圖13-2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
〔2〕假設(shè)三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時.線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M.線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N.此時.〔1〕中的猜想還成立嗎假設(shè)成立.請證明;假設(shè)不成立.請說明理由.
圖13-3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
[解析]〔1〕BM=FN.
證明:∵△GEF是等腰直角三角形.四邊形ABCD是正方形.
∴∠ABD =∠F =45°.OB = OF.又∵
10、∠BOM=∠FON.∴△OBM≌△OFN .∴BM=FN.
(2) BM=FN仍然成立.
(3) 證明:∵△GEF是等腰直角三角形.四邊形ABCD是正方形.∴∠DBA=∠GFE=45°.OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°.又∵∠MOB=∠NOF.∴△OBM≌△OFN .∴BM=FN.
4、如圖.⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E.連結(jié)AD、BD、OC、OD.且OD=5。
〔1〕假設(shè).求CD的長;
〔2〕假設(shè)∠ADO:∠EDO=4:1.求扇形OAC〔陰影局部〕的面積〔結(jié)果保存〕。
[解析] 〔1〕因為AB是⊙O的直徑.OD=5
所以∠ADB=90°.AB=10
在
11、Rt△ABD中.
又.所以.所以
因為∠ADB=90°.AB⊥CD
所以
所以 所以 所以
〔2〕因為AB是⊙O的直徑.AB⊥CD
所以
所以∠BAD=∠CDB.∠AOC=∠AOD
因為AO=DO.所以∠BAD=∠ADO
所以∠CDB=∠ADO
設(shè)∠ADO=4x.則∠CDB=4x
由∠ADO:∠EDO=4:1.則∠EDO=x
因為∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°
所以 所以x=10°所以∠AOD=180°-〔∠OAD+∠ADO〕=100°
所以∠AOC=∠AOD=100°
5、如圖.:C是以AB為直徑的半圓O上一點.CH⊥AB于點H.直線AC與過B點
12、的切線相交于點D.E為CH中點.連接AE并延長交BD于點F.直線CF交直線AB于點G.
〔1〕求證:點F是BD中點;
〔2〕求證:CG是⊙O的切線;
〔3〕假設(shè)FB=FE=2.求⊙O的半徑.
[解析] (1)證明:∵CH⊥AB.DB⊥AB.∴△AEH∽AFB.△ACE∽△ADF
∴.∵HE=EC.∴BF=FD
(2)方法一:連接CB、OC.
∵AB是直徑.∴∠ACB=90°∵F是BD中點.
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′
方法二:可證明△OCF≌△
13、OBF(參照方法一標準得分)
(3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC
可證得:FA=FG.且AB=BG
由切割線定理得:〔2+FG〕2=BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中.由勾股定理得:BG2=FG2-BF2
由、得:FG2-4FG-12=0
解之得:FG1=6.FG2=-2〔舍去〕
∴AB=BG=
∴⊙O半徑為2
6、如圖.O為原點.點A的坐標為〔4.3〕.
⊙A的半徑為2.過A作直線平行于軸.點P在直線上運動.
〔1〕當點P在⊙O上時.請你直接寫出它的坐標;
〔2〕設(shè)點P的橫坐標為12.試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系.并說明理由.
[解析]
解
14、:⑴點P的坐標是〔2,3〕或〔6,3〕
⑵作AC⊥OP,C為垂足.
∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中,,又AP=12-4=8, ∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP與⊙A相交.
7、如圖.延長⊙O的半徑OA到B.使OA=AB.DE是圓的一條切線.E是切點.過點B作DE的垂線.C
A
B
D
O
E
垂足為點C.
求證:∠ACB=∠OAC.
[解析]證明:連結(jié)OE、AE.并過點A作AF⊥DE于點F. 〔3分〕
15、∵DE是圓的一條切線.E是切點.∴OE⊥DC.又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.
∴∠1=∠ACB.∠2=∠3.∵OA=OE.∴∠4=∠3.∴∠4=∠2. 又∵點A是OB的中點.
∴點F是EC的中點.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC.
8、如圖1.一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上.梯子與地面的傾斜角α為.
⑴求AO與BO的長;
⑵假設(shè)梯子頂端A沿NO下滑.同時底端B沿OM向右滑行.
①如圖2.設(shè)A點下滑到C點.B點向右滑行到D點.并且AC:BD=2:3.試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米;
②如圖3.當A點下滑到A’點
16、.B點向右滑行到B’點時.梯子AB的中點P也隨之運動到P’點.假設(shè)∠POP’=.試求AA’的長.
[解析]⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=.又AB=4米.∴米.
米. -------------- (3分)
⑵設(shè)在中,
根據(jù)勾股定理:
∴ ------------- (5分)
∴
∵∴∴ ------- (7分)
AC=2x=
即梯子頂端A沿NO下滑了米. ---- (8分)
⑶∵點P和點分別是的斜邊AB與的斜邊的中點
∴. ------------- (9分)
∴------- (10分)
∴∴
∵∴ ---- (11分)
∴----- (12分)∴米.
. .