《(全國通用版)2018-2019高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學案 新人教A版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(全國通用版)2018-2019高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學案 新人教A版選修2-1(11頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞
學習目標 1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題與特稱命題的真假,并掌握其判定方法.
知識點一 全稱量詞、全稱命題
思考 觀察下面的兩個語句,思考下列問題:
P:m≤5;
Q:對所有的m∈R,m≤5.
上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關系?
答案 語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎上增加了“所有的”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.
梳理 (1)全稱量詞及全稱命題的概念
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?
2、”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題.
(2)表示
將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示.那么,全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M,p(x),讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”.
(3)全稱命題的真假判定
要判定全稱命題是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)成立,但要判定全稱命題是假命題,只需舉出一個x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
知識點二 存在量詞、特稱命題
思考 找出下列命題的共同特征,并判斷其真假.
(1)存在x0∈R,x≤0;
(2)有些三棱錐是正四面體.
答案 所給
3、命題都是真命題,它們都表示“存在”的意思.
梳理 (1)存在量詞及特稱命題的要命
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.含有存在量詞的命題,叫做特稱命題.
(2)表示
特稱命題“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M,p(x0),讀作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
(3)特稱命題的真假判定
要判定一個特稱命題是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可,否則這一特稱命題就是假命題.
(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞.(×)
(2)全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的
4、含義是“存在性”.(√)
(3)全稱命題中一定含有全稱量詞,特稱命題中一定含有存在量詞.(×)
類型一 判斷命題的類型
例1 將下列命題用“?”或“?”表示.
(1)實數的平方是非負數;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一個負根;
(3)若直線l垂直于平面α內任一直線,則l⊥α.
考點 量詞與命題
題點 全稱(特稱)命題的符號表示
解 (1)?x∈R,x2≥0.
(2)?x0<0,ax+2x0+1=0(a<1).
(3)若?a?α,l⊥a,則l⊥α.
反思與感悟 判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題的關鍵是看量詞.由于某些全稱命題的量詞可能省略,所以要
5、根據命題表達的意義判斷,同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.
跟蹤訓練1 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.
(1)梯形的對角線相等;
(2)存在一個四邊形有外接圓;
(3)二次函數都存在零點;
(4)過兩條平行線有且只有一個平面.
考點 量詞與命題
題點 全稱(存在)量詞的識別
解 命題(1)完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”,很顯然為全稱命題.
命題(2)為特稱命題.
命題(3)完整的表述為“所有的二次函數都存在零點”,故為全稱命題.
命題(4)是命題“過任意兩條平行線有且只有一個平面”的簡寫,故為全稱命題.
類型二 判斷命題的真假
例2 判斷下列命題的真
6、假.
(1)?x∈R,x2-x+1>;
(2)?α,β,cos(α-β)=cos α-cos β;
(3)存在一個函數既是偶函數又是奇函數;
(4)每一條線段的長度都能用正有理數表示;
(5)存在一個實數x0,使等式x+x0+8=0成立.
考點 特稱(全稱)命題的真假性判斷
題點 特稱(全稱)命題真假的判斷
解 (1)真命題,∵x2-x+1-=x2-x+
=2+≥>0,∴x2-x+1>恒成立.
(2)真命題,例如α=,β=,符合題意.
(3)真命題,函數f(x)=0既是偶函數又是奇函數.
(4)假命題,如:邊長為1的正方形的對角線長為,它的長度就不是有理數.
(5)假
7、命題,因為該方程的判別式Δ=-31<0,故無實數解.
反思與感悟 要判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)都成立;如果在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題.
要判定特稱命題“?x0∈M,p(x0)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個特稱命題就是假命題.
跟蹤訓練2 判斷下列命題的真假.
(1)有一些奇函數的圖象過原點;
(2)?x0∈R,2x+x0+1<0;
(3)?x∈R,sin x+cos x≤.
考點 特稱(
8、全稱)命題的真假性判斷
題點 特稱(全稱)命題真假的判斷
解 (1)該命題中含有“有一些”,是特稱命題.如y=x是奇函數,其圖象過原點,故該命題是真命題.
(2)該命題是特稱命題.
∵2x+x0+1=22+≥>0,
∴不存在x0∈R,使2x+x0+1<0.故該命題是假命題.
(3)該命題是全稱命題.
∵sin x+cos x=sin≤恒成立,
∴對任意實數x,sin x+cos x≤都成立,故該命題是真命題.
類型三 利用全稱命題和特稱命題求參數的值或取值范圍
例3 已知下列命題p(x)為真命題,求x的取值范圍.
(1)命題p(x):x+1>x;
(2)命題p(x):x
9、2-5x+6>0;
(3)命題p(x):sin x>cos x.
考點 全稱命題的真假性判斷
題點 恒成立求參數的取值范圍
解 (1)∵x+1>x,∴1>0(此式恒成立),∴x∈R.
(2)∵x2-5x+6>0,∴(x-2)(x-3)>0,
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x,∴2kπ+
10、題過程中要注意變量取值范圍的限制.
跟蹤訓練3 已知命題p:“?x0∈R,sin x0<m”,命題q:“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”,若p,q均為真命題,求實數m的取值范圍.
考點 簡單邏輯聯結詞的綜合應用
題點 由含量詞的復合命題的真假求參數的取值范圍
解 因為“?x0∈R,sin x0<m”是真命題,所以m>-1.
又因為“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命題,
所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.
又p,q均為真命題,
所以實數m的取值范圍是(-1,2).
1.下列命題中,是正確的全稱命題的是( )
A.對任意的a,b∈R,都有a2+b2-2
11、a-2b+2<0
B.菱形的兩條對角線相等
C.?x0,=x0
D.對數函數在定義域上是單調函數
考點 全稱量詞與全稱命題
題點 全稱命題的識別
答案 D
2.下列命題中,既是真命題又是特稱命題的是( )
A.存在一個α,使tan(90°-α)=tan α
B.存在實數x0,使sin x0=
C.對一切α,sin(180°-α)=sin α
D.對任意α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
考點 特稱命題的真假性判斷
題點 特稱命題真假的判斷
答案 A
3.命題“有些負數滿足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述為
12、____________.
考點 存在量詞與特稱命題
題點 特稱命題的符號表示
答案 ?x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0
4.用量詞符號“?”“?”表述下列命題,并判斷真假.
(1)所有實數x都能使x2+x+1>0成立;
(2)對所有實數a,b,方程ax+b=0恰有一個解;
(3)一定有整數x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)所有的有理數x都能使x2+x+1是有理數.
考點 量詞與命題
題點 全稱(特稱)命題的符號表示
解 (1)?x∈R,x2+x+1>0;真命題.
(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命題.
(3)?x0,y0∈Z,3x0-2y
13、0=10;真命題.
(4)?x∈Q,x2+x+1是有理數;真命題.
利用含量詞的命題的真假求參數取值范圍的技巧
(1)轉化為恒成立問題:含參數的全稱命題為真時,常轉化為不等式的恒成立問題來處理,最終通過構造函數轉化為求函數的最值問題.
(2)轉化為方程或不等式有解問題:含參數的特稱命題為真時,常轉化為方程或不等式有解問題來處理,最終借助根的判別式或函數等相關知識獲得解決.
一、選擇題
1.下列說法正確的個數是( )
①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題;
②命題“?x∈R,x2+2<0”是全稱命題;
③命題“?x0∈R,x+4x0+4≤0”是特稱命題.
A.0
14、 B.1 C.2 D.3
考點 量詞與命題
題點 特稱(全稱)命題的識別
答案 C
解析 只有②③正確.
2.以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是( )
A.銳角三角形的內角是銳角或鈍角
B.至少有一個實數x,使x2≤0
C.兩個無理數的和必是無理數
D.存在一個負數x,使>2
考點 存在量詞與特稱命題
題點 特稱命題的真假判斷
答案 B
3.已知命題“?x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤0”是假命題,則實數a的取值范圍是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞) D.(-3,1)
考點 特稱命題的真假性判斷
題點
15、由特稱命題真假性求參數的取值范圍
答案 B
解析 原命題的否定為?x∈R,2x2+(a-1)x+>0,
由題意知,原命題的否定為真命題,則Δ=(a-1)2-4×2×<0,則-2
16、
5.下面命題是真命題的是( )
A.?x∈R,x3≥x
B.?x0∈R,x+1<2x0
C.?xy>0,x-y≥2
D.?x0,y0∈R,sin(x0+y0)=sin x0-sin y0
考點 量詞與命題
題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷
答案 D
6.若“?x∈,cos x≤m”是真命題,則實數m的最小值為( )
A.- B.- C. D.
考點 全稱命題的真假性判斷
題點 恒成立求參數的取值范圍
答案 C
7.下列全稱命題中真命題的個數為( )
①負數沒有對數;
②對任意的實數a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函數f(x)=x2-ax-
17、1與x軸恒有交點;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
考點 全稱量詞與全稱命題
題點 全稱命題的真假性判斷
答案 C
解析 ①②③為真命題;當x=y(tǒng)=0時,x2+|y|=0,
④為假命題.
二、填空題
8.若“?x∈,tan x≤m”是真命題,則實數m的最小值為________.
考點 全稱命題的真假性判斷
題點 恒成立求參數的取值范圍
答案 1
解析 ∵?x∈,∴tan x≤1,∴m≥1,故實數m的最小值為1.
9.已知命題p:?c>0,y=(3-c)x在R上為減函數,命題q:?x∈R,x2+2c-3>0.若p,q均
18、為真命題,則實數c的取值范圍為________.
考點 全稱命題的真假性判斷
題點 恒成立求參數的取值范圍
答案 (2,3)
解析 由于p∧q為真命題,所以p,q都是真命題,
所以解得2<c<3.
故實數c的取值范圍為(2,3).
10.若命題“?x0∈R,ax+ax0+1≤0”為假命題,則實數a的取值范圍為________.
考點 特稱命題的真假性判斷
題點 由特稱命題真假性求參數的取值范圍
答案 [0,4)
解析 由題意知,?x∈R,ax2+ax+1>0恒成立,
當a=0時,1>0恒成立,滿足條件;
當a≠0時,若ax2+ax+1>0恒成立,
則解得0<a<4.
19、綜上所述a∈[0,4).
11.有下列四個命題:
p1:?x0∈(0,+∞), <;
p2:?x0∈(0,1),>;
p3:?x∈(0,+∞),>;
p4:?x∈,<
其中為真命題的是________.
考點 量詞與命題
題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷
答案 p2,p4
解析 因為冪函數y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函數,所以命題p1是假命題;因為對數函數y=logax(0<a<1)是減函數,所以當x∈(0,1)時,0<logx<logx,所以0<<,即>,所以命題p2是真命題;因為函數y=在(0,+∞)上單調遞減,所以有0<y<1,當x∈(0,1]時,y=≥0
20、,當x∈(1,+∞)時,y=<0,所以命題p3是假命題;因為函數y=在上單調遞減,所以有0<y<1,而函數y=在上的函數值y>1,所以命題p4是真命題.
三、解答題
12.判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題,若是,用符號表示,并判斷其真假.
(1)存在一條直線,其斜率不存在;
(2)對所有的實數a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在實數x0,使得=2.
考點 全稱(特稱)命題的真假性判斷
題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷
解 (1)是特稱命題,用符號表示為“?直線l,l的斜率不存在”,是真命題.
(2)是全稱命題,用符號表示為“?a,b∈R,方程ax+b=0都有
21、唯一解”,是假命題.
(3)是特稱命題,用符號表示為“?x0∈R,=2”,是假命題.
13.已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x0∈R,x+2ax0+2-a=0”,若命題p,q均為真命題,求實數a的取值范圍.
考點 命題的真假性判斷
題點 由命題真假求參數的取值范圍
解 若p為真命題,則a≤x2對于x∈[1,2]恒成立,
所以a≤1.
若q為真命題,則關于x的方程x2+2ax+2-a=0有實根,
所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.
又p,q均為真命題,
所以實數a的取值范圍為a≤-2或a=1.
四、探究與拓展
14.下列四個
22、命題:
①沒有一個無理數不是實數;②空集是任何一個非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一個整數x,使得x2-x+1是整數.
其中是真命題的為( )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
考點 量詞與命題
題點 特稱(全稱)命題的真假性判斷
答案 C
解析?、偎袩o理數都是實數,為真命題;
②顯然為真命題;
③顯然不成立,為假命題;
④取x=1,能使x2-x+1=1是整數,為真命題.
15.已知f(x)=log2t,t∈[,8],若命題“對于函數f(t)值域內的所有實數m,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立”為真命題,求實數x的取值范圍.
考點 全稱命題的真假性判斷
題點 恒成立求參數的取值范圍
解 易知f(t)∈.
由題意知,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4=(x-2)m+(x-2)2,
則g(m)>0對任意m∈恒成立,
所以即
解得x>2或x<-1.
故實數x的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).
11