《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理 新人教A版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 [做真題] 題型一　等差數(shù)列 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5　　　　　　 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：選A．法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)? 所以 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A． 法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)? 所以 解得 選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3； 選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；

2、 選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C； 選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D．故選A． 2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 解析：選B．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，因?yàn)閍1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B． 3．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　

3、) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：選A．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝×6＝－24，故選A． 4．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1， 所以＝＝＝＝4. 答案：4 題型二　等比數(shù)列 1．(201

4、9·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．8 C．4 D．2 解析：選C．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 2．(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共

5、掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 解析：選B．每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項(xiàng)的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得S7＝＝381，解得a1＝3，故選B． 3．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝，a＝a6，則S5＝________． 解析：通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝a6，

6、所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 答案： 4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m. 解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝

7、6. 綜上，m＝6. 題型三　等差、等比數(shù)列的判定與證明 (2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因

8、為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1. 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. [明考情] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項(xiàng)公式在考查基本運(yùn)算、基本概念的同時(shí)，也注重對(duì)函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查；對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的最大、最小值等問(wèn)題，主要是中低檔題． 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [典型例題] (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S

9、n，若a1＝1，＝，則數(shù)列{an}的公比q為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．2 C． D． (2)(2019·開封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3. ①若a3＋b3＝7，求{bn}的通項(xiàng)公式； ②若T3＝13，求Sn. 【解】　(1)選C．因?yàn)椋健?，所以q≠1.所以＝＝1＋q5，所以1＋q5＝，所以q＝. (2)①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，(*) 由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝

10、8，(**) 聯(lián)立(*)(**)，解得q＝2或q＝0(舍去)， 因此數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. ②因?yàn)門3＝1＋q＋q2，所以1＋q＋q2＝13， 解得q＝3或q＝－4， 由a2＋b2＝3，得d＝4－q， 所以d＝1或d＝8. 由Sn＝na1＋n(n－1)d， 得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n. 等差、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略 (1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列； (3)由于等比數(shù)列

11、的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常采用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(一題多題)(2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝12，S5＝90，則等差數(shù)列{an}的公差d＝(　　) A．2 B． C．3 D．4 解析：選C．法一：依題意，5×12＋d＝90，解得d＝3，故選C． 法二：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，S5＝90，所以5a3＝90，即a3＝18，因?yàn)閍1＝12，所以2d＝a3－a1＝18－12＝6，所以d＝3，故選C． 2．(一題多題)(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為

12、正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S5＝(　　) A．32 B．31 C．64 D．63 解析：選B．通解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S5＝31，故選B． 優(yōu)解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B． 3．(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3＝5，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閧an}

13、是等差數(shù)列，S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(a1＋a2)2＝a1(a1＋a2＋a3＋a4)，因?yàn)閍3＝5，所以(5－2d＋5－d)2＝(5－2d)(5－2d＋15)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以5＝a1＋(3－1)×2，即a1＝1，所以an＝2n－1. 答案：an＝2n－1 等差(比)數(shù)列的性質(zhì) [典型例題] (1)(2019·貴州省適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}中，a2與a4是方程x2－4x＋3＝0的兩個(gè)根，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．6　　　　　　　　　 B．8 C．10 D．12 (2)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0

14、的根，則的值為(　　) A．－ B．－ C． D．－或 (3)(2019·長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè))設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，則λ＝(　　) A． B． C．2 D．3 【解析】　(1)根據(jù)題意有a2＋a4＝4，在等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝4?a3＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝10.故選C． (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－，故選B． (

15、3)因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和， 若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8， 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列， 所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)， 所以2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)， 解得λ＝2. 【答案】　(1)C　(2)B　(3)C 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略 抓關(guān)系 抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解 用性質(zhì) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(一題多解)(2019

16、·福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，則a33＝(　　) A．82 B．97 C．100 D．115 解析：選C．通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由得解得所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故選C． 優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)知3a7＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故選C． 2．(一題多解)(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S

17、n，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時(shí)n的值為(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選D．法一：設(shè){an}的公差為d，則由題意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8>0，a9<0，所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8，故選D． 法二：設(shè){an}的公差為d，則由題意得，解得則Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最大值，故選D． 3．(一題多解)已知數(shù)列{an}滿足an＝若對(duì)于任意的n∈N*都有an>an＋1，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 解析：法一：因?yàn)閍n>an＋1，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以解得<λ<.

18、 所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是. 法二：因?yàn)閍n>an＋1恒成立，所以0<λ<1. 若0<λ≤，則當(dāng)n<6時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列或常數(shù)列，不滿足對(duì)任意的n∈N*都有an>an＋1； 若<λ<1，則當(dāng)n<6時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，又對(duì)任意的n∈N*都有an>an＋1，所以a6

19、an＋1}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？ 【解】　(1)證明：因?yàn)閍3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3， 所以an＝2an－1＋1， 所以a1＝1， ＝＝2(n≥2)， 所以數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an＋1＝2n， 所以an＝2n－1， 所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2， 所以n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0， 所以n＋Sn＝2an， 即n，an，Sn成等差數(shù)列． 判斷(證明)等差(比)數(shù)列應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)判斷或者證明數(shù)

20、列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他方法最后都會(huì)回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，但最后還得使用定義才能說(shuō)明其為等差數(shù)列． (2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時(shí)，不能僅僅證明an＋1＝qan，還要說(shuō)明a1≠0，才能遞推得出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零，最后判定數(shù)列{an}為等比數(shù)列．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－3an＝3n(n∈N*)且a1＝1. (1)設(shè)bn＝，證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：由已知得an＋1＝3an＋3n，得b

21、n＋1＝＝＝＋1＝bn＋1， 所以bn＋1－bn＝1，又a1＝1， 所以b1＝1， 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝＝n，所以an＝n·3n－1，cn＝， 所以Sn＝＝＝－. 2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝

22、an－1－an， 即＝(n≥2，n∈N*)． 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)因?yàn)閍1＝1， 所以b1＝2a1＝2. 因?yàn)閎n＝， 所以＝＋1， 即－＝1(n≥2)． 所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列． 所以＝＋(n－1)·1＝，故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝. 數(shù)列與新定義相交匯問(wèn)題 [典型例題] 對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項(xiàng)為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝_

23、_______． 【解析】　令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1， 所以bn＝b1＋(n－1)×1， a1＝a1， a2－a1＝b1， a3－a2＝b2， … an－an－1＝bn－1， 累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋＝(n－1)a2－(n－2)a1＋， 分別令n＝12，n＝22， 得 解得a1＝，a2＝100. 【答案】　100 數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路 (1)閱讀審清“新定義”． (2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí)． (3)利用“新定義”及常規(guī)

24、的數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2 解析：選C．因?yàn)閍n＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2. 2．(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝，＝，n∈

25、N＋，且bn＝.記Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，則3n＋1Pn＋Sn＝________． 解析：因?yàn)椋剑剑詁n＝＝－，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－.因?yàn)椋剑詁n＝＝，所以Pn＝b1×b2×…×bn＝××…×＝.又a1＝，故3n＋1Pn＋Sn＝＋－＝＝3. 答案：3 一、選擇題 1．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1.若數(shù)列為等差數(shù)列，則a9＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D．－ 解析：選C．因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，a3＝2，a7＝1， 所以數(shù)列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)

26、×＝，所以a9＝，故選C． 2．(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝2，S3＝－6，則S5＝(　　) A．18 B．10 C．－14 D．－22 解析：選D．法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意，得，解得，所以S5＝＝－22，故選D． 法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，令A(yù)＝，則Sn＝Aqn－A，，解得，所以Sn＝[(－2)n－1]，所以S5＝×[(－2)5－1]＝－22，故選D． 3．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan 的值是　(　　) A．－ B．－

27、1 C．－ D． 解析：選A．依題意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故選A． 4．(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，a5＋a7－a＝0，則S11的值為(　　) A．11 B．12 C．20 D．22 解析：選D．通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，則由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又a1>0，所以a1＋5d>0，則a1＋5d＝2，

28、則S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故選D． 優(yōu)解：因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合a5＋a7－a＝0，得2a6－a＝0，a6＝2，則S11＝＝＝11a6＝22，故選D． 5．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝4，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12，則a4＝(　　) A．4 B．32 C．108 D．256 解析：選D．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意知q>0，又首項(xiàng)a1＝4，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4·qn－1，又bn＝log2an，所以bn＝log2(

29、4·qn－1)＝2＋(n－1)log2q，所以{bn}為等差數(shù)列，則b1＋b2＋b3＝3b2＝12，所以b2＝4，由b2＝2＋(2－1)log2q＝4，解得q＝4，所以a4＝4×44－1＝44＝256.故選D． 6．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C．由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C． 二、填空題 7．(2019

30、·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝7.當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋2是乘積an·an＋1的個(gè)位數(shù)，則a2 019＝________． 解析：a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝9，a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，又2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝1. 答案：1 8．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不

31、可能為0； ②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ④“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0. 其中所有正確判斷的序號(hào)是________． 解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時(shí)，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以④正確． 答案：①④ 9．(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝f(x－1)＋1，an＝g＋g＋g＋…＋g(n∈N*)，則數(shù)列{a

32、n}的通項(xiàng)公式為________． 解析：因?yàn)閒(x)＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．因?yàn)間(x)＝f(x－1)＋1，所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，若x1＋x2＝2，則有g(shù)(x1)＋g(x2)＝2，所以an＝g＋g＋g＋…＋g＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1＝2n－1，即an＝2n－1，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. 答案：an＝2n－1 三、解答題 10．(2019·昆明市診斷測(cè)試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q<1，若a2＝2，a1＋a2＋a3＝7. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log2an

33、，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解：(1)由已知得， 則或(舍去)． 所以an＝4×＝23－n. (2)因?yàn)閎n＝log2an＝log223－n＝3－n，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為－1的等差數(shù)列． 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn， 則Tn＝＝. 11．(2019·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為－9，前三項(xiàng)的積為－15. (1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若{an}為遞增數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意得a2＝－3，則a1＝－3－d，a3＝－3＋d， 所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝

34、－15，得d2＝4，d＝±2， 所以an＝－2n＋1或an＝2n－7. (2)由題意得an＝2n－7，所以|an|＝， ①n≤3時(shí)，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2； ②n≥4時(shí)，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2. 綜上，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn＝. 12．(2019·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，a3＝7，且對(duì)任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n－1，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)

35、求使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值． 解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5. 又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2， 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝3，公差d＝2的等差數(shù)列， 于是an＝2n＋1， bn＝a2n－1＝2n＋1. (2)由(1)知，bn＝2n＋1. 于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2. 令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)， 又f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056， 故使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10. - 16 -